В математике , А дифференциальный оператор является оператором определяется как функция от дифференцирования оператора. Полезно, в первую очередь с точки зрения обозначений, рассматривать дифференцирование как абстрактную операцию, которая принимает функцию и возвращает другую функцию (в стиле функций высшего порядка в информатике ).
В этой статье рассматриваются в основном линейные операторы, которые являются наиболее распространенным типом. Однако существуют и нелинейные дифференциальные операторы, такие как производная Шварца .
Определение
Предположим, что существует карта из функционального пространства в другое функциональное пространство и функция чтобы это изображение т.е. . Дифференциальный оператор представлен в виде линейной комбинации, конечно , порожденный и его производные, содержащие более высокую степень, такие как
где множество неотрицательных целых чисел, , называется мультииндексом , называется длина, - функции на некоторой открытой области в n -мерном пространстве и. Вышеупомянутая производная - это функция или, иногда, распределения или гиперфункции и или иногда, .
Обозначения
Самый распространенный дифференциальный оператор - это взятие производной . Общие обозначения для взятия первой производной по переменной x включают:
- , , а также .
При взятии производных более высокого порядка n оператор можно также записать:
- , , , или же .
Производная функции f от аргумента x иногда задается одним из следующих способов:
В D использование нотации и создание зачисляется на Оливера Хевисайда , который рассматривал дифференциальные операторы вида
в своем исследовании дифференциальных уравнений .
Одним из наиболее часто используемых дифференциальных операторов является оператор Лапласа , определяемый формулой
Другой дифференциальный оператор - это оператор Θ или тета-оператор , определенный в [1]
Это иногда также называют оператором гомогенность , потому что его собственные функции являются одночленов в г :
В n переменных оператор однородности имеет вид
Как и в случае одной переменной, собственные подпространства of - это пространства однородных многочленов .
В письменной форме, следуя общепринятому математическому соглашению, аргумент дифференциального оператора обычно помещается справа от самого оператора. Иногда используется альтернативное обозначение: результат применения оператора к функции в левой части оператора и в правой части оператора, а также разница, полученная при применении дифференциального оператора к функциям с обеих сторон, обозначаются стрелками следующим образом:
Такое обозначение двунаправленной стрелки часто используется для описания вероятностного тока квантовой механики.
Del
Дифференциальный оператор del, также называемый оператором набла , является важным векторным дифференциальным оператором. Он часто появляется в физике в таких местах, как дифференциальная форма уравнений Максвелла . В трехмерных декартовых координатах del определяется:
Del определяет градиент и используется для вычисления изгиба , дивергенции и лапласиана различных объектов.
Сопутствующий оператору
Для линейного дифференциального оператора T
сопряженный этого оператора определяется как оператор такой, что
где обозначение используется для скалярного произведения или внутреннего произведения . Следовательно, это определение зависит от определения скалярного произведения.
Формальное сопряжение по одной переменной
В функциональном пространстве функций, интегрируемых с квадратом на вещественном интервале ( a , b ) , скалярное произведение определяется как
где прямая над f ( x ) обозначает комплексное сопряжение f ( x ). Если к тому же добавить условие, что f или g обращается в нуль при а также , можно также определить сопряженный к T формулой
Эта формула не зависит явно от определения скалярного произведения. Поэтому иногда его выбирают как определение сопряженного оператора. Когдаопределяется в соответствии с этой формулой, он называется формально сопряженный с Т .
(Формально) самосопряженный оператор - это оператор, равный своему собственному (формальному) сопряженному.
Несколько переменных
Если Ω есть область в R п , и Р дифференциальный оператор на Q, то сопряженный Р определен в L 2 (Ω) по двойственности в аналогичным образом:
для всех гладких L 2 функций F , г . Так как гладкие функции плотны в L 2 , это определяет присоединенные на плотном подмножестве L 2 : P * является плотно определенный оператор .
Пример
Оператор Штурма – Лиувилля - хорошо известный пример формального самосопряженного оператора. Этот линейный дифференциальный оператор второго порядка L можно записать в виде
Это свойство можно доказать, используя формальное сопряженное определение выше.
Этот оператор является центральным в теории Штурма – Лиувилля, в которой рассматриваются собственные функции (аналоги собственных векторов ) этого оператора.
Свойства дифференциальных операторов
Дифференцирование линейное , т. Е.
где f и g - функции, а a - постоянная.
Любой многочлен в D с коэффициентами функции также дифференциальный оператор. Мы также можем составлять дифференциальные операторы по правилу
В этом случае требуется некоторая осторожность: во-первых, любые коэффициенты функции в операторе D 2 должны дифференцироваться столько раз, сколько требует применение D 1 . Чтобы получить кольцо таких операторов, мы должны предполагать производные всех порядков используемых коэффициентов. Во-вторых, это кольцо не будет коммутативным : оператор gD в целом не то же самое, что Dg . Фактически, мы имеем, например, базовое соотношение в квантовой механике :
Подкольцо операторов, являющихся полиномами от D с постоянными коэффициентами , напротив, коммутативно. Его можно охарактеризовать иначе: он состоит из трансляционно-инвариантных операторов.
Дифференциальные операторы также подчиняются теореме о сдвиге .
Несколько переменных
Те же конструкции могут быть выполнены с частными производными , дифференцирование по различным переменным, приводящее к операторам, которые коммутируют (см. Симметрию вторых производных ).
Кольцо полиномиальных дифференциальных операторов
Кольцо одномерных полиномиальных дифференциальных операторов
Если R кольцо, пусть быть некоммутативным кольцом многочленов над R в переменной D и X, и я двусторонний идеал , порожденный DX-XD-1, то кольцо одномерных полиномиальных дифференциальных операторов над R представляет собой фактор - кольцо. Это некоммутативное простое кольцо . Каждый элемент уникальным образом можно записать как R-линейную комбинацию одночленов вида. Он поддерживает аналог евклидова деления многочленов .
Дифференциальные модули более (для стандартного вывода) можно отождествить с модулями над .
Кольцо многомерных полиномиальных дифференциальных операторов
Если R кольцо, пусть быть некоммутативное кольцо многочленов над R в переменных, а I двусторонний идеал, порожденный элементами
для всех где является символом Кронекера , то кольцо многомерных полиномиальных дифференциальных операторов над R является факторкольцом.
Это некоммутативное простое кольцо . Каждый элемент уникальным образом записывается как R-линейная комбинация одночленов вида.
Координатно-независимое описание
В дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии часто бывает удобно иметь координатно- независимое описание дифференциальных операторов между двумя векторными расслоениями . Пусть E и F два векторных расслоения над дифференцируемой многообразия M . R - линейное отображение из секций Р : Г ( Е ) → Г ( Г ) называется быть к - го порядка линейного дифференциального оператора , если он пропускается через струи расслоения J K ( E ). Другими словами, существует линейное отображение векторных расслоений
такой, что
где j k : Γ ( E ) → Γ ( J k ( E )) - продолжение, которое сопоставляет любому сечению E его k -струю .
Это просто означает, что для данного участка s матрицы E значение P ( s ) в точке x ∈ M полностью определяется бесконечно малым поведением s порядка k по x . В частности , это означает , что Р ( ы ) ( х ) определяется ростком из й в х , которая выражается тем, что дифференциальные операторы являются локальными. Основополагающим результатом является теорема Петре, показывающая, что верно и обратное: любой (линейный) локальный оператор является дифференциальным.
Отношение к коммутативной алгебре
Эквивалентное, но чисто алгебраическое описание линейных дифференциальных операторов выглядит следующим образом: R -линейное отображение P является линейным дифференциальным оператором k- го порядка, если для любых k + 1 гладких функций у нас есть
Здесь скобка определяется как коммутатор
Эта характеризация линейных дифференциальных операторов показывает, что они являются частными отображениями между модулями над коммутативной алгеброй , позволяя рассматривать концепцию как часть коммутативной алгебры .
Примеры
- В приложениях к физике такие операторы, как оператор Лапласа, играют важную роль в построении и решении уравнений в частных производных .
- В дифференциальной топологии на внешние производные и производная Ли операторы имеют внутреннее значение.
- В абстрактной алгебре понятие вывода позволяет обобщать дифференциальные операторы, которые не требуют использования исчисления. Часто такие обобщения используются в алгебраической геометрии и коммутативной алгебре . См. Также джет (математика) .
- В развитии голоморфных функций одного комплексного переменного г = х + г у , иногда сложной функцией считается функцией двух действительных переменных х и у . Используются производные Виртингера , которые являются операторами в частных производных:
Этот подход также используется для изучения функций нескольких сложных переменных и функций двигательной переменной .
История
Концептуальный этап написания дифференциального оператора как чего-то отдельного приписывается Луи Франсуа Антуану Арбогасту в 1800 году [2].
Смотрите также
- Оператор разницы
- Дельта-оператор
- Эллиптический оператор
- Curl (математика)
- Дробное исчисление
- Инвариантный дифференциальный оператор
- Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами
- Лагранжева система
- Спектральная теория
- Энергетический оператор
- Оператор моментума
- Оператор DBAR
Рекомендации
- ^ EW Weisstein. «Тета-оператор» . Проверено 12 июня 2009 .
- ^ Джеймс Гассер (редактор), Антология логики: недавние и классические исследования в логике Джорджа Буля (2000), стр. 169; Google Книги .
Внешние ссылки
- СМИ, связанные с дифференциальными операторами, на Викискладе?
- "Дифференциальный оператор" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]