Вероятность тока

Часть серии по
Квантовая механика
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Амплитуда вероятности Распределение вероятностей Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовый Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Фокское пространство
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома. Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер Функциональная интеграция
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Транзакционный
Дополнительные темы Гипотеза термализации собственного состояния Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Blackett Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

В квантовой механике , то текущая вероятность (иногда называемая вероятность потока ) представляет собой математическую величина , описывающая поток вероятности в терминах вероятности в единицу времени на единицу площади. В частности, если описывать плотность вероятности как неоднородную жидкость, то ток вероятности - это скорость потока этой жидкости. Это аналогично массовым токам в гидродинамике и электрическим токам в электромагнетизме . Это реальный вектор , как и плотность электрического тока.. Концепция вероятностного тока - полезный формализм в квантовой механике. Ток вероятности инвариантен относительно калибровочного преобразования .

Определение (нерелятивистский 3-текущий) [ править ]

Частица со свободным спином 0 [ править ]

В нерелятивистской квантовой механике, вероятность тока J из волновой функции в одном измерении определяется как ^[1]${\ displaystyle \ Psi}$

${\displaystyle j={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}-\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}\right)={\frac {\hbar }{m}}\Im \left\{\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right\},}$

где обозначает комплексное сопряжение из волновой функции и обозначает мнимую часть . Обратите внимание, что ток вероятности пропорционален вронскиану .${\displaystyle \Psi ^{*}}$${\displaystyle \Im }$ ${\displaystyle W(\Psi ,\Psi ^{*})}$

В трех измерениях это обобщается на

${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}\Im \left\{\Psi ^{*}\nabla \Psi \right\}\,,}$

где - приведенная постоянная Планка , - масса частицы , - волновая функция , и обозначает оператор del или градиента .${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \nabla }$

Это можно упростить с помощью оператора кинетического импульса :

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$

чтобы получить

${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)\,.}$

В этих определениях используется позиционный базис (т.е. для волновой функции в позиционном пространстве ), но импульсное пространство возможно.

Частица со спином 0 в электромагнитном поле [ править ]

Приведенное выше определение следует изменить для системы во внешнем электромагнитном поле . В системе единиц СИ , А заряженные частицы массы т и электрического заряда Q включает в себя член , обусловленный взаимодействием с электромагнитным полем; ^[2]

${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]\,\!}$

где A = A ( r , t) - магнитный потенциал (он же « A- поле»). Термин д имеет размеры импульса. Обратите внимание, что здесь используется канонический импульс, который не является калибровочно-инвариантным , в отличие от оператора кинетического импульса .${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {P}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }$

В гауссовых единицах :

${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2{\frac {q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]\,\!}$

где c - скорость света .

Спин сек частиц в электромагнитном поле [ править ]

Если частица имеет спин , у нее есть соответствующий магнитный момент , поэтому необходимо добавить дополнительный член, включающий взаимодействие спина с электромагнитным полем. В единицах СИ: ^[3]

${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}}{s}}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )\,\!}$

где S - спиновый вектор частицы с соответствующим спиновым магнитным моментом μ _S и спиновым квантовым числом s . В гауссовых единицах:

${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2{\frac {q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}c}{s}}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )\,\!}$

Связь с классической механикой [ править ]

Волновую функцию также можно записать в комплексной экспоненциальной ( полярной ) форме: ^[4]

${\displaystyle \Psi =Re^{iS/\hbar }}$

где R и S - действительные функции от r и t .

Написанная таким образом, плотность вероятности равна

${\displaystyle \rho =\Psi ^{*}\Psi =R^{2}}$

а ток вероятности равен:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} &={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)\\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left(Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{iS/\hbar }-Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{-iS/\hbar }\right)\\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left[Re^{-iS/\hbar }(e^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R+{\frac {i}{\hbar }}Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S)-Re^{iS/\hbar }(e^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R-{\frac {i}{\hbar }}Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S)\right].\end{aligned}}}$

Экспоненты и члены R ∇ R сокращаются:

${\displaystyle ={\frac {\hbar }{2mi}}\left[{\frac {i}{\hbar }}R^{2}\mathbf {\nabla } S+{\frac {i}{\hbar }}R^{2}\mathbf {\nabla } S\right].}$

Наконец, комбинируя и сокращая константы и заменяя R ² на ρ,

${\displaystyle \mathbf {j} =\rho {\frac {\mathbf {\nabla } S}{m}}.}$

Если взять знакомую формулу тока:

${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {v} ,}$

где v - скорость частицы (а также групповая скорость волны), мы можем связать скорость с ∇ S / m , что то же самое, что приравнять ∇ S к классическому импульсу p = m v . Эта интерпретация согласуется с теорией Гамильтона – Якоби , в которой

${\displaystyle \mathbf {p} =\nabla S}$

в декартовых координатах определяется как ∇ S , где S - главная функция Гамильтона .

Мотивация [ править ]

Уравнение неразрывности для квантовой механики [ править ]

Определение вероятностного тока и уравнение Шредингера можно использовать для вывода уравнения неразрывности , которое имеет точно такие же формы, что и для гидродинамики и электромагнетизма : ^[5]

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {j} =0}$

где плотность вероятности определяется как${\displaystyle \rho \,}$

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)\,}$.

Если проинтегрировать обе части уравнения неразрывности по объему, так что

${\displaystyle \int _{V}\left({\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}\right)\mathrm {d} V+\int _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {j} \right)\mathrm {d} V=0}$

то из теоремы о дивергенции следует, что уравнение неразрывности эквивалентно интегральному уравнению

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}|\Psi |^{2}\mathrm {d} V+}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {j} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$

где V является любой объем и S является границей V . Это закон сохранения вероятности в квантовой механике.

В частности, если Ψ является волновым , описывающими одну частицей, интеграл в первом члене предыдущего уравнения, без производной по времени, есть вероятность получения значения в пределах V , когда положение частицы измеряются. Второе слагаемое , то скорость , при которой вероятность течет из объема V . В общей сложности в уравнение состояния , что производная по времени от вероятности частицы измеряемой в V равна скорости , с которой вероятность впадает в V .

Передача и отражение через потенциалы [ править ]

В областях, где возникает ступенчатый потенциал или потенциальный барьер , ток вероятности связан с коэффициентами передачи и отражения, соответственно, T и R ; они измеряют степень отражения частиц от потенциального барьера или прохождения через него. Оба удовлетворяют:

${\displaystyle T+R=1\,,}$

где T и R могут быть определены как:

${\displaystyle T={\frac {|\mathbf {j} _{\mathrm {trans} }|}{|\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }|}}\,,\quad R={\frac {|\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }|}{|\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }|}}\,,}$

где j _inc , j _ref и j _trans - соответственно падающий, отраженный и прошедший токи вероятности, а вертикальные полосы указывают величины векторов тока. Связь между T и R может быть получена из сохранения вероятности:

${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {trans} }+\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }=\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\,.}$

В терминах единичного вектора n, нормального к преграде, это эквивалентно:

${\displaystyle T=\left|{\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {trans} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right|\,,\qquad R=\left|{\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right|\,,}$

где абсолютные значения требуются для предотвращения отрицательных значений T и R.

Примеры [ править ]

Плоская волна [ править ]

Для плоской волны, распространяющейся в пространстве:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\,Ae^{i(\mathbf {k} \cdot {\mathbf {r} }-\omega t)}}$

плотность вероятности везде постоянна;

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=|A|^{2}\rightarrow {\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}=0}$

(то есть плоские волны являются стационарными состояниями ), но ток вероятности отличен от нуля - квадрат абсолютной амплитуды волны, умноженной на скорость частицы;

${\displaystyle \mathbf {j} \left(\mathbf {r} ,t\right)=\left|A\right|^{2}{\hbar \mathbf {k} \over m}=\rho {\frac {\mathbf {p} }{m}}=\rho \mathbf {v} }$

иллюстрирующий, что частица может двигаться, даже если ее пространственная плотность вероятности не имеет явной зависимости от времени.

Частица в коробке [ править ]

Для частицы в ящике , в одном пространственном измерении и длины L , ограниченной областью;

${\displaystyle 0<x<L\,\!}$

собственные состояния энергии

${\displaystyle \Psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)}$

и ноль в других местах. Соответствующие токи вероятности

${\displaystyle j_{n}={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0}$

поскольку

${\displaystyle \Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}}$

Дискретное определение [ править ]

Для частицы в одном измерении на , у нас есть гамильтониан, где - дискретный лапласиан с оператором правого сдвига на . Тогда ток вероятности определяется как с оператором скорости, равным и является оператором положения на . Поскольку обычно используется оператор умножения , мы можем безопасно писать .${\displaystyle \ell ^{2}\left(\mathbb {Z} \right)}$${\displaystyle H=-\Delta +V}$${\displaystyle -\Delta \equiv 2I-S-S^{\ast }}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \ell ^{2}\left(\mathbb {Z} \right)}$${\displaystyle j\equiv 2\Im \{{\bar {\Psi }}iv\Psi \}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v\equiv -i[X,\,H]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \ell ^{2}\left(\mathbb {Z} \right)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \ell ^{2}\left(\mathbb {Z} \right)}$${\displaystyle -i[X,\,H]=-i[X,\,-\Delta ]=-i\left[X,\,-S-S^{\ast }\right]=iS-iS^{\ast }}$

В результате находим: ${\displaystyle j\left(x\right)\equiv 2\Im \{{\bar {\Psi }}(x)iv\Psi (x)\}=2\Im \{{\bar {\Psi }}(x)\left((-S\Psi )(x)+(S^{\ast }\Psi )(x)\right)\}=2\Im \{{\bar {\Psi }}(x)\left(-\Psi (x-1)+\Psi (x+1)\right)\}}$

Ссылки [ править ]

• Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание), Р. Резник, Р. Эйсберг, Джон Вили и сыновья, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0