Мультииндексная нотация

Мультииндексная нотация - это математическая нотация, которая упрощает формулы, используемые в многомерном исчислении , уравнениях в частных производных и теории распределений , путем обобщения концепции целочисленного индекса на упорядоченный набор индексов.

Определение и основные свойства [ править ]

П - мерный мультииндекс является п - кортеж

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

из неотрицательных целых чисел (т.е. элемента п - мерный набор из натуральных чисел , обозначается ).${\displaystyle \mathbb {N} _{0}^{n}}$

Для мультииндексов и один определяет:${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$

Покомпонентная сумма и разность

${\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}$

Частичный заказ

${\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}}$

Сумма компонентов (абсолютное значение)

${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$

Факториал

${\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}$

Биномиальный коэффициент

${\displaystyle {\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}}$

Полиномиальный коэффициент

${\displaystyle {\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha !}}}$

где .${\displaystyle k:=|\alpha |\in \mathbb {N} _{0}}$

Мощность

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}$.

Частная производная высшего порядка

${\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}}$

где (см. также 4-градиент ). Иногда также используются обозначения . ^[1]${\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}}$${\displaystyle D^{\alpha }=\partial ^{\alpha }}$

Некоторые приложения [ править ]

Нотация с несколькими индексами позволяет расширить многие формулы из элементарного исчисления до соответствующего случая с несколькими переменными. Ниже приведены некоторые примеры. Во всех следующих случаях, (или ) , и (или ).${\displaystyle x,y,h\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \alpha ,\nu \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$${\displaystyle f,g,a_{\alpha }\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

Полиномиальная теорема

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\biggr )}^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\binom {k}{\alpha }}\,x^{\alpha }}$

Многобиномиальная теорема

${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}$

Обратите внимание: поскольку x + y - вектор, а α - мультииндекс, выражение слева является сокращением от ( x ₁ + y ₁ ) ^{α ₁} ... ( x _n + y _n ) ^{α _n} .

Формула Лейбница

Для гладких функций f и g

${\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.}$

Серия Тейлор

Для аналитической функции F в п переменных имеет один

${\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}^{}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.}$

Фактически, для достаточно гладкой функции мы имеем аналогичное разложение Тейлора

${\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),}$

где последний член (остаток) зависит от точной версии формулы Тейлора. Например, для формулы Коши (с целым остатком) получаем

${\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.}$

Общий линейный дифференциальный оператор в частных производных

Формальный линейный оператор в частных производных N-го порядка от n переменных записывается как

${\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.}$

Интеграция по частям

Для гладких функций с компактным носителем в ограниченной области имеем${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{\Omega }{}{u(\partial ^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{}{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.}$

Эта формула используется для определения распределений и слабых производных .

Пример теоремы [ править ]

Если - мультииндексы и , то${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Доказательство [ править ]

Доказательство следует из правила мощности для обыкновенной производной ; если α и β находятся в {0, 1, 2,. . .}, тогда

${\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}\qquad (1)}$

Предположим , и . Тогда у нас есть это${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$${\displaystyle \beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}}$

Для каждого i в {1,. . .,  n } функция зависит только от . Таким образом, в изложенном выше каждое частичное дифференцирование сводится к соответствующему обычному дифференцированию . Следовательно, из уравнения (1) следует, что обращается в нуль, если α _i  >  β _i хотя бы для одного i в {1,. . .,  n }. Если это не так, т. Е. Если α  ≤  β как мультииндексы, то${\displaystyle x_{i}^{\beta _{i}}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \partial /\partial x_{i}}$${\displaystyle d/dx_{i}}$${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }}$

${\displaystyle {\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}}$

для каждого и следует теорема.${\displaystyle i}$${\displaystyle \Box }$

См. Также [ править ]

• Обозначения Эйнштейна
• Обозначение индекса
• Исчисление Риччи

Ссылки [ править ]

• Сен-Раймонд, Ксавье (1991). Элементарное введение в теорию псевдодифференциальных операторов . Глава 1.1. CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9 

Эта статья включает материал из многоиндексной производной мощности на PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .