В математике , собственная функция из линейного оператора D , определенного на некотором пространстве функций являются любой ненулевой функция F в этом пространстве , что при воздействии на D , только умножаются на некотором коэффициенте масштабирования , называемом собственным значением . В виде уравнения это условие можно записать как
для некоторого скалярного собственного значения λ. [1] [2] [3] Решения этого уравнения также могут подчиняться граничным условиям, которые ограничивают допустимые собственные значения и собственные функции.
Собственная функция - это тип собственного вектора .
Собственные функции
В общем, собственный вектор линейного оператора D, определенного в некотором векторном пространстве, является ненулевым вектором в области определения D, который, когда D действует на него, просто масштабируется некоторым скалярным значением, называемым собственным значением. В частном случае, когда D определено в функциональном пространстве, собственные векторы называются собственными функциями . То есть функция f является собственной функцией D, если она удовлетворяет уравнению
( 1 )
где λ - скаляр. [1] [2] [3] Решения уравнения ( 1 ) также могут подчиняться граничным условиям. Из-за граничных условий возможные значения λ обычно ограничиваются, например, дискретным набором λ 1 , λ 2 ,… или непрерывным набором в некотором диапазоне. Множество всех возможных собственных значений D иногда называют его спектром , который может быть дискретным, непрерывным или сочетанием того и другого. [1]
Каждое значение λ соответствует одной или нескольким собственным функциям. Если несколько линейно независимых собственных функций имеют одно и то же собственное значение, собственное значение называется вырожденным, а максимальное количество линейно независимых собственных функций, связанных с одним и тем же собственным значением, является степенью вырождения или геометрической кратностью собственного значения . [4] [5]
Производный пример
Широко используемый класс линейных операторов, действующих в бесконечномерных пространствах, - это дифференциальные операторы в пространстве C ∞ бесконечно дифференцируемых вещественных или комплексных функций действительного или комплексного аргумента t. Например, рассмотрим производный оператор с уравнением на собственные значения
Это дифференциальное уравнение можно решить, умножив обе части на и интеграция. Ее решение - экспоненциальная функция
- собственная функция оператора производной, где f 0 - параметр, зависящий от граничных условий. Обратите внимание, что в этом случае собственная функция сама является функцией связанного с ней собственного значения λ, которое может принимать любое действительное или комплексное значение. В частности, заметим, что при λ = 0 собственная функция f ( t ) является постоянной.
Предположим в примере, что f ( t ) подчиняется граничным условиям f (0) = 1 и. Затем мы обнаруживаем, что
где λ = 2 - единственное собственное значение дифференциального уравнения, которое также удовлетворяет граничному условию.
Ссылка на собственные значения и собственные векторы матриц
Собственные функции могут быть выражены как векторы-столбцы, а линейные операторы могут быть выражены как матрицы, хотя они могут иметь бесконечные размеры. В результате многие концепции, связанные с собственными векторами матриц, переносятся на изучение собственных функций.
Определите внутренний продукт в функциональном пространстве, в котором D определяется как
проинтегрировано в некотором интересующем диапазоне для t, называемом Ω. * Обозначает комплексное сопряжение .
Предположим, что функциональное пространство имеет ортонормированный базис, заданный набором функций { u 1 ( t ), u 2 ( t ),…, u n ( t )}, где n может быть бесконечным. Для ортонормированного базиса
где δ ij - символ Кронекера, и его можно рассматривать как элементы единичной матрицы .
Функции можно записать как линейную комбинацию базисных функций,
например, посредством разложения Фурье функции f ( t ). Коэффициенты Ь J могут быть уложены в п от 1 вектор - столбец Ь = [ Ь 1 Ь 2 ... б п ] T . В некоторых особых случаях, таких как коэффициенты ряда Фурье синусоидальной функции, этот вектор-столбец имеет конечную размерность.
Кроме того, определите матричное представление линейного оператора D с элементами
Мы можем записать функцию Df ( t ) либо как линейную комбинацию базисных функций, либо как D, действующий на разложение f ( t ),
Взяв скалярное произведение каждой части этого уравнения на произвольную базисную функцию u i ( t ),
Это матричное умножение Ab = c, записанное в обозначении суммирования, и является матричным эквивалентом оператора D, действующего на функцию f ( t ), выраженную в ортонормированном базисе. Если f ( t ) - собственная функция оператора D с собственным значением λ, то Ab = λb .
Собственные значения и собственные функции эрмитовых операторов
Многие из операторов, встречающихся в физике, эрмитовы . Предположим, что линейный оператор D действует в функциональном пространстве, которое является гильбертовым пространством с ортонормированным базисом, заданным набором функций { u 1 ( t ), u 2 ( t ),…, u n ( t )}, где n может быть бесконечным. В этом базисе оператор D имеет матричное представление A с элементами
проинтегрировано в некотором интересующем диапазоне для t, обозначенного Ω.
По аналогии с эрмитовыми матрицами , D является эрмитами оператора , если IJ = ц *, или: [6]
Рассмотрим эрмитов оператор D с собственными значениями λ 1 , λ 2 ,… и соответствующими собственными функциями f 1 ( t ), f 2 ( t ),…. Этот эрмитов оператор обладает следующими свойствами:
- Его собственные значения действительны, λ i = λ i * [4] [6]
- Его собственные функции подчиняются условию ортогональности: если i ≠ j [6] [7] [8]
Второе условие всегда выполняется при λ i ≠ λ j . Для вырожденных собственных функций с одним и тем же собственным значением λ i всегда можно выбрать ортогональные собственные функции, которые охватывают собственное подпространство, связанное с λ i , например, с помощью процесса Грама-Шмидта . [5] В зависимости от того, является ли спектр дискретным или непрерывным, собственные функции можно нормализовать, установив внутреннее произведение собственных функций равным либо дельте Кронекера, либо дельта-функции Дирака , соответственно. [8] [9]
Для многих эрмитовых операторов, особенно операторов Штурма-Лиувилля , третье свойство
- Его собственные функции составляют основу функционального пространства, на котором определяется оператор [5]
Как следствие, во многих важных случаях собственные функции эрмитова оператора образуют ортонормированный базис. В этих случаях произвольная функция может быть выражена как линейная комбинация собственных функций эрмитова оператора.
Приложения
Вибрирующие струны
Пусть ч ( х , т ) обозначит смещение поперечного из нагруженного упругой струны, такие как вибрирующие струны одного струнного инструмента , в зависимости от положения х вдоль струны и по времени т . Применяя законы механики к бесконечно малым частям струны, функция h удовлетворяет уравнению в частных производных
которое называется (одномерным) волновым уравнением . Здесь c - постоянная скорость, которая зависит от натяжения и массы струны.
Эта проблема решается методом разделения переменных . Если предположить, что h ( x , t ) можно записать как произведение вида X ( x ) T ( t ) , мы можем составить пару обыкновенных дифференциальных уравнений:
Каждое из них является уравнением на собственные значения с собственными значениями и - ω 2 соответственно. При любых значениях ω и c уравнениям удовлетворяют функции
где фазовые углы φ и ψ - произвольные действительные постоянные.
Если мы наложим граничные условия, например, что концы струны зафиксированы в точках x = 0 и x = L , а именно X (0) = X ( L ) = 0 , и что T (0) = 0 , мы ограничим собственные значения. Для этих граничных условий sin ( φ ) = 0 и sin ( ψ ) = 0 , поэтому фазовые углы φ = ψ = 0 и
Это последнее граничное условие вынуждает ω принимать значение ω n =ncπ/L, где n - любое целое число. Таким образом, зажатая струна поддерживает семейство стоячих волн вида
В примере струнного инструмента, частоты со п является частота п -й гармоники , которая называется ( п - 1) -й обертон .
Уравнение Шредингера
В квантовой механике , то уравнение Шредингера
с гамильтоновым оператором
можно решить разделением переменных, если гамильтониан не зависит явно от времени. [10] В этом случае волновая функция Ψ ( r , t ) = φ ( r ) T ( t ) приводит к двум дифференциальным уравнениям:
( 2 )
( 3 )
Оба этих дифференциальных уравнений на собственные значения уравнения с собственным значением Е . Как показано в предыдущем примере, решение уравнения ( 3 ) является экспоненциальным
Уравнение ( 2 ) является не зависящим от времени уравнением Шредингера. Собственные функции φ k оператора Гамильтона являются стационарными состояниями квантово-механической системы, каждое с соответствующей энергией E k . Они представляют допустимые энергетические состояния системы и могут быть ограничены граничными условиями.
Гамильтонов оператор H является примером эрмитова оператора, собственные функции которого образуют ортонормированный базис. Когда гамильтониан не зависит явно от времени, общие решения уравнения Шредингера представляют собой линейные комбинации стационарных состояний, умноженных на колебательное T ( t ) , [11] или, для системы с непрерывным спектром,
Успех уравнения Шредингера в объяснении спектральных характеристик водорода считается одним из величайших достижений физики 20-го века.
Сигналы и системы
При исследовании сигналов и систем собственной функцией системы является сигнал f ( t ), который при вводе в систему дает ответ y ( t ) = λf ( t ) , где λ - комплексное скалярное собственное значение. [12]
Смотрите также
- Собственные значения и собственные векторы
- Теорема Гильберта – Шмидта.
- Спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений
- Комбинатор с фиксированной точкой
- Собственные функции преобразования Фурье
Заметки
Цитаты
- ^ a b c Давыдов 1976 , с. 20.
- ^ a b Kusse & Westwig 1998 , стр. 435.
- ^ а б Вассерман 2016 .
- ^ а б Давыдов 1976 , с. 21.
- ^ a b c Kusse & Westwig 1998 , стр. 437.
- ^ a b c Kusse & Westwig 1998 , стр. 436.
- ↑ Давыдов 1976 , с. 24.
- ^ а б Давыдов 1976 , с. 29.
- ↑ Давыдов 1976 , с. 25.
- ↑ Давыдов 1976 , с. 51.
- ↑ Давыдов 1976 , с. 52.
- ^ Жиро, Rabenstein & Stenger 2001 , стр. 49.
Процитированные работы
- Курант, Ричард; Гильберт, Дэвид. Методы математической физики . Том 1. Wiley. ISBN 047150447-5.
|volume=
имеет дополнительный текст ( справка ) (Том 2: ISBN 047150439-4 ) - Давыдов А.С. (1976). Квантовая механика . Переведено, отредактировано и с дополнениями Д. тер Хаара (2-е изд.). Оксфорд: Pergamon Press. ISBN 008020438-4.
- Жирод, Бернд ; Рабенштейн, Рудольф; Стенджер, Александр (2001). Сигналы и системы (2-е изд.). Вайли. ISBN 047198800-6.
- Кусс, Брюс; Вествиг, Эрик (1998). Математическая физика . Нью-Йорк: Wiley Interscience. ISBN 047115431-8.
- Вассерман, Эрик В. (2016). «Собственная функция» . MathWorld . Wolfram Research . Проверено 12 апреля 2016 года .
Внешние ссылки
- Больше изображений (без GPL) в Atom in a Box