Вибрация струны

Вибрация, стоячие волны в струне. Фундаментальные и первые 5 обертонов в гармоническом ряде .

Вибрации в строке является волной . Резонанс заставляет вибрирующую струну издавать звук с постоянной частотой , то есть с постоянной высотой звука . Если длина или натяжение струны отрегулированы правильно, воспроизводимый звук будет музыкальным . Вибрирующие струны являются основой струнных инструментов, таких как гитары , виолончели и фортепиано .

Волна [ править ]

Скорость распространения волны в струне ( ) пропорциональна квадратному корню из силы натяжения струны ( ) и обратно пропорциональна квадратному корню из линейной плотности ( ) струны:${\ displaystyle v}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle v = {\ sqrt {T \ over \ mu}}.}$

Эта связь была обнаружена Винченцо Галилей в конце 1500-х годов. ^{[ необходима цитата ]}

Вывод [ править ]

Источник: ^[1]

Позвольте быть длиной куска струны, ее массой и ее линейной плотностью . Если углы и малы, то горизонтальные компоненты натяжения с обеих сторон могут быть аппроксимированы константой , для которой результирующая горизонтальная сила равна нулю. Соответственно, используя приближение малых углов, горизонтальные напряжения, действующие с обеих сторон сегмента струны, задаются выражением${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle T}$

${\ Displaystyle T_ {1x} = T_ {1} \ cos (\ alpha) \ приблизительно T.}$

${\ Displaystyle T_ {2x} = T_ {2} \ cos (\ beta) \ приблизительно T.}$

Согласно второму закону Ньютона для вертикальной составляющей, масса (которая является произведением линейной плотности и длины) этого куска, умноженного на его ускорение , будет равна чистой силе, действующей на этот предмет:${\ displaystyle a}$

${\ Displaystyle \ Sigma F_ {y} = T_ {1y} -T_ {2y} = - T_ {2} \ sin (\ beta) + T_ {1} \ sin (\ alpha) = \ Delta ma \ приблизительно \ mu \ Delta x {\ frac {\ partial ^ {2} y} {\ partial t ^ {2}}}.}$

Разделив это выражение на и подставив первое и второе уравнения, получим (мы можем выбрать либо первое, либо второе уравнение для , поэтому мы удобно выбираем каждое из них с углом согласования и )${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\displaystyle -{\frac {T_{2}\sin(\beta )}{T_{2}\cos(\beta )}}+{\frac {T_{1}\sin(\alpha )}{T_{1}\cos(\alpha )}}=-\tan(\beta )+\tan(\alpha )={\frac {\mu \Delta x}{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

Согласно малоугловому приближению, касательные углов на концах струны равны наклонам на концах с дополнительным знаком минус из-за определения и . Использование этого факта и перестановка дает${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\frac {1}{\Delta x}}\left(\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x+\Delta x}-\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x}\right)={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

В пределе, который приближается к нулю, левая часть представляет собой определение второй производной от :${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

Это волновое уравнение для , а коэффициент при второй производной по времени равен ; таким образом${\displaystyle y(x,t)}$${\displaystyle {\frac {1}{v^{2}}}}$

${\displaystyle v={\sqrt {T \over \mu }},}$

Там , где есть скорость распространения волны в строке (см статью на волновом уравнении для более об этом). Однако этот вывод справедлив только для колебаний малой амплитуды; для струн большой амплитуды это не очень хорошее приближение для длины струны, горизонтальная составляющая натяжения не обязательно постоянна. Горизонтальные напряжения не очень хорошо аппроксимируются .${\displaystyle v}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle T}$

Частота волны [ править ]

После того, как скорость распространения известно, частота от звука , полученного в строке может быть вычислена. Скорость распространения волны равна длине волны , деленной на период , или , умноженному на частоту :${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle v={\frac {\lambda }{\tau }}=\lambda f.}$

Если длина струны равна , основная гармоника - это гармоника , создаваемая вибрацией, узлами которой являются два конца струны, как и половина длины волны основной гармоники. Отсюда получаем законы Мерсенна :${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle f={\frac {v}{2L}}={1 \over 2L}{\sqrt {T \over \mu }}}$

где - натяжение (в Ньютонах), - линейная плотность (то есть масса на единицу длины), - длина колеблющейся части струны. Следовательно:${\displaystyle T}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle L}$

• чем короче струна, тем выше частота основной
• чем выше напряжение, тем выше частота основной
• чем легче струна, тем выше частота основной

Более того, если мы возьмем n-ю гармонику как имеющую длину волны, заданную формулой , то мы легко получим выражение для частоты n-й гармоники:${\displaystyle \lambda _{n}=2L/n}$

${\displaystyle f_{n}={\frac {nv}{2L}}}$

А для струны, находящейся под натяжением Т с линейной плотностью , то${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle f_{n}={\frac {n}{2L}}{\sqrt {\frac {T}{\mu }}}}$

Наблюдение за колебаниями струны [ править ]

Можно увидеть формы волны на вибрирующей струне, если частота достаточно низкая и вибрирующая струна находится перед экраном ЭЛТ, например, телевизора или компьютера ( не аналогового осциллографа). Этот эффект называется стробоскопическим эффектом , и скорость, с которой кажется, что струна колеблется, является разницей между частотой струны и частотой обновления экрана. То же самое может произойти с люминесцентной лампой со скоростью, которая равна разнице между частотой струны и частотой переменного тока.. (Если частота обновления экрана равна частоте строки или кратному ей целому числу, строка будет оставаться неподвижной, но деформированной.) При дневном свете и других не колеблющихся источниках света этот эффект не возникает, и строка остается неподвижной, но толще, светлее или размыто из-за постоянного зрения .

Аналогичный, но более контролируемый эффект можно получить с помощью стробоскопа . Это устройство позволяет согласовать частоту ксеноновой лампы-вспышки с частотой колебаний струны. В темной комнате это ясно показывает форму волны. В противном случае можно использовать гибкуили, что может быть проще, путем регулировки головок машины, чтобы получить такую ​​же или кратную частоту переменного тока для достижения того же эффекта. Например, в случае гитары, шестая (самая низкая) струна, прижатая к третьему ладу, дает соль с частотой 97,999 Гц. Небольшая регулировка может изменить его до 100 Гц, что ровно на одну октаву выше частоты переменного тока в Европе и большинстве стран Африки и Азии, 50 Гц. В большинстве стран Америки, где частота переменного тока составляет 60 Гц, изменение A # на пятой струне, первом ладу с 116,54 Гц на 120 Гц, дает аналогичный эффект.

Пример из реальной жизни [ править ]

Этот раздел, возможно, содержит оригинальные исследования . Пожалуйста, улучшите его , проверив сделанные утверждения и добавив встроенные цитаты . Заявления, содержащие только оригинальные исследования, следует удалить. ( Март 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Википедия пользователя Джексон Профессиональный Солист XL электрическая гитара имеет гайку -До- моста расстояние (соответствующее выше) 25 5 / 8 в. И Д'Аддарио XL Никель-раневые Супер-света калибра EXL-120 электрические гитары струны с следующие характеристики производителя:${\displaystyle L}$

Характеристики производителя D'Addario EXL-120

Номер строки	Толщина [дюймы] ( )${\displaystyle d}$	Рекомендуемое натяжение [фунты] ( )${\displaystyle T}$	${\displaystyle \rho }$[г / см 3 ]
1	0,00899	13,1	7.726 (стальной сплав)
2	0,0110	11.0	"
3	0,0160	14,7	"
4	0,0241	15,8	6.533 (стальной сплав с никелевой обмоткой)
5	0,0322	15,8	"
6	0,0416	14,8	"

Учитывая приведенные выше характеристики, каковы были бы вычисленные частоты колебаний ( ) основных гармоник вышеуказанных струн, если бы струны были натянуты с натяжением, рекомендованным производителем?${\displaystyle f}$

Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем начать с формулы из предыдущего раздела :${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle f={\frac {1}{2L}}{\sqrt {\frac {T}{\mu }}}}$

Линейная плотность может быть выражена через пространственную (масса / объем) плотность через соотношение , где - радиус струны, а - диаметр (или толщина) в таблице выше:${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mu =\pi r^{2}\rho =\pi d^{2}\rho /4}$${\displaystyle r}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle f={\frac {1}{2L}}{\sqrt {\frac {T}{\pi d^{2}\rho /4}}}={\frac {1}{2Ld}}{\sqrt {\frac {4T}{\pi \rho }}}={\frac {1}{Ld}}{\sqrt {\frac {T}{\pi \rho }}}}$

Для целей вычислений мы можем заменить указанное выше натяжение посредством второго закона Ньютона (Сила = масса × ускорение) выражением , где - масса, которая на поверхности Земли имела бы эквивалентный вес, соответствующий значениям натяжения в приведенная выше таблица, относящаяся к стандартному ускорению свободного падения у поверхности Земли, см / с ² . (Эта замена удобна здесь, поскольку натяжение струн, указанное выше производителем, выражено в фунтах силы , которые наиболее удобно преобразовать в эквивалентные массы в килограммах с помощью известного коэффициента преобразования 1 фунт = 453,59237 г.) Вышеупомянутая формула затем явно становится:${\displaystyle T}$${\displaystyle T=ma}$${\displaystyle m}$${\displaystyle T}$${\displaystyle g_{0}=980.665}$

${\displaystyle f_{\mathrm {Hz} }={\frac {1}{L_{\mathrm {in} }\times 2.54\ \mathrm {cm/in} \times d_{\mathrm {in} }\times 2.54\ \mathrm {cm/in} }}{\sqrt {\frac {T_{\mathrm {lb} }\times 453.59237\ \mathrm {g/lb} \times 980.665\ \mathrm {cm/s^{2}} }{\pi \times \rho _{\mathrm {g/cm^{3}} }}}}}$

Используя эту формулу для вычисления строки № 1 выше дает:${\displaystyle f}$

${\displaystyle f_{1}={\frac {1}{25.625\ \mathrm {in} \times 2.54\ \mathrm {cm/in} \times 0.00899\ \mathrm {in} \times 2.54\ \mathrm {cm/in} }}{\sqrt {\frac {13.1\ \mathrm {lb} \times 453.59237\ \mathrm {g/lb} \times 980.665\ \mathrm {cm/s^{2}} }{\pi \times 7.726\ \mathrm {g/cm^{3}} }}}\approx 330\ \mathrm {Hz} }$

Повторение этого вычисления для всех шести струн приводит к следующим частотам. Рядом с каждой частотой показана музыкальная нота (в научном обозначении высоты тона ) в стандартной настройке гитары , частота которой наиболее близка, подтверждая, что натягивание вышеуказанных струн с рекомендованным производителем натяжением действительно приводит к стандартным высотам гитары:

См. Также [ править ]

• Ладные инструменты
• Музыкальная акустика
• Колебания кругового барабана
• Эксперимент Мельде
• 3-й мост (гармонический резонанс на основе равных разделений струн)
• Струнный резонанс
• Изменение фазы отражения

Ссылки [ править ]

• Молтено, TCA; NB Tufillaro (сентябрь 2004 г.). «Экспериментальное исследование динамики струны». Американский журнал физики . 72 (9): 1157–1169. Bibcode : 2004AmJPh..72.1157M . DOI : 10.1119 / 1.1764557 .
• Туфилларо, Н.Б. (1989). «Нелинейные и хаотические колебания струны». Американский журнал физики . 57 (5): 408. Bibcode : 1989AmJPh..57..408T . DOI : 10.1119 / 1.16011 .

Конкретный

Внешние ссылки [ править ]

• " Вибрирующая струна " Алена Горили и Марка Робертсона-Тесси, Демонстрационный проект Вольфрама .