Вибрация

Часть серии по
Классическая механика
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Continuum Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистический
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция  / момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Коэффициент демпфирования Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерциальная  / неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение  ( линейное ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение  / перемещение  / частота  / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика
v т е

^[1] Вибрация - это механическое явление, при котором колебания возникают около точки равновесия . Слово происходит от латинского vibem («трясти, размахивать»). Колебания могут быть периодическими , например, движение маятника, или случайными , например, движение шины по гравийной дороге.

Вибрация может быть желательной, например, движение камертона , то трость в духовом инструменте или гармонике , А мобильный телефон , или конус громкоговорителя .

Однако во многих случаях вибрация нежелательна, тратя энергию и создавая нежелательный звук . Например, колебательные движения двигателей , электродвигателей или любого работающего механического устройства обычно нежелательны. Такие вибрации могут быть вызваны дисбалансом вращающихся частей, неравномерным трением или зацеплением зубьев шестерни . Тщательный дизайн обычно сводит к минимуму нежелательные вибрации.

Исследования звука и вибрации тесно связаны. Звук или волны давления генерируются вибрирующими структурами (например, голосовыми связками ); эти волны давления могут также вызывать вибрацию конструкций (например, барабанной перепонки ). Следовательно, попытки уменьшить шум часто связаны с проблемами вибрации.

Типы вибрации [ править ]

Свободная вибрация возникает, когда механическая система приводится в движение при первоначальном вводе и позволяет свободно вибрировать. Примерами этого типа вибрации являются втягивание ребенка обратно на качели и отпускание его или удар по камертону, позволяющий ему зазвенеть. Механическая система вибрирует на одной или нескольких собственных частотах и становится неподвижной.

Вынужденная вибрация - это когда к механической системе прикладывается изменяющееся во времени возмущение (нагрузка, смещение или скорость). Возмущение может быть периодическим и установившимся входом, переходным входом или случайным входом. Периодический вход может быть гармоническим или негармоническим возмущением. Примеры этих типов вибрации включают тряску стиральной машины из-за дисбаланса, транспортную вибрацию, вызванную двигателем или неровной дорогой, или вибрацию здания во время землетрясения. Для линейных систем частота установившейся вибрационной реакции, возникающей в результате приложения периодического гармонического входного сигнала, равна частоте приложенной силы или движения, причем величина отклика зависит от реальной механической системы.

Затухающая вибрация: когда энергия колеблющейся системы постепенно рассеивается за счет трения и других сопротивлений, говорят, что колебания затухают. Вибрации постепенно уменьшаются или меняют частоту или интенсивность, или прекращаются, и система остается в положении равновесия. Примером такого типа вибрации является автомобильные подвески , смоченной в амортизаторе .

Вибрационные испытания [ править ]

Вибрационное испытание выполняется путем введения в конструкцию функции нагнетания, обычно с помощью какого-либо типа встряхивателя. В качестве альтернативы, DUT (тестируемое устройство) прикрепляется к «столу» шейкера. Вибрационное испытание проводится для изучения реакции испытуемого устройства (ИУ) на определенную среду вибрации. Измеряемая реакция может быть способностью работать в условиях вибрации, усталостной долговечностью, резонансными частотами или выходным звуком скрипа и дребезжания ( NVH ). Тестирование на скрип и дребезжание выполняется с помощью специального тихого встряхивателя, который издает очень низкий уровень шума во время работы.

Для относительно низкочастотного нагнетания (обычно менее 100 Гц) используются сервогидравлические (электрогидравлические) вибраторы. Для более высоких частот (обычно от 5 Гц до 2000 Гц) используются электродинамические шейкеры. Как правило, одна или несколько «входных» или «контрольных» точек, расположенных на стороне DUT вибрационного приспособления, поддерживают заданное ускорение. ^[1] Другие «ответные» точки могут испытывать более высокие уровни вибрации (резонанс) или более низкий уровень вибрации (антирезонанс или демпфирование), чем контрольные точки. Часто бывает желательно достичь антирезонанса, чтобы система не стала слишком шумной, или для уменьшения нагрузки на определенные части из-за режимов вибрации, вызванных определенными частотами вибрации. ^[2]

Наиболее распространенные типы услуг вибрационных испытаний, проводимых лабораториями вибрационных испытаний, - синусоидальные и случайные. Синусоидальные (одночастотные) тесты выполняются для изучения структурной характеристики тестируемого устройства (DUT). На раннем этапе вибрационных испытаний контроллеры вибрационных машин ограничивались только управлением синусоидальным движением, поэтому выполнялись только синусоидальные испытания. Позже более совершенные аналоговые, а затем и цифровые контроллеры смогли обеспечить случайное управление (все частоты одновременно). Как правило, считается, что случайный (все частоты одновременно) тест более точно воспроизводит реальную среду, такую ​​как дорожные воздействия на движущийся автомобиль.

Большинство вибрационных испытаний проводится одновременно на «одной оси ИУ», даже если большая часть реальных вибраций возникает одновременно на разных осях. MIL-STD-810G, выпущенный в конце 2008 года, метод тестирования 527, требует тестирования нескольких возбудителей. Тест вибрации приспособление ^[3] используется для крепления DUT к столу шейкера должны быть разработано для диапазона частот тестовой вибрации спектра. Трудно сконструировать приспособление для испытания на вибрацию, которое дублирует динамический отклик (механическое сопротивление) ^[4] фактического используемого приспособления . По этой причине, для обеспечения повторяемости между испытаниями на вибрацию, вибрационные приспособления не имеют резонансов ^[4]в пределах тестового диапазона частот. Как правило, для небольших приспособлений и диапазонов более низких частот разработчик может выбрать конструкцию приспособления, не имеющую резонансов в диапазоне испытательных частот. Это становится труднее по мере увеличения ИУ и увеличения частоты тестирования. В этих случаях стратегии многоточечного управления могут уменьшить некоторые резонансы, которые могут возникнуть в будущем.

Некоторые методы испытаний на вибрацию ограничивают количество перекрестных помех (перемещение точки срабатывания во взаимно перпендикулярном направлении к проверяемой оси), которое может проявлять приспособление для испытания на вибрацию. Устройства, специально предназначенные для отслеживания или регистрации вибраций, называются виброскопами .

Анализ вибрации [ править ]

Анализ вибрации (VA), применяемый в промышленных условиях или в условиях технического обслуживания, направлен на снижение затрат на техническое обслуживание и время простоя оборудования путем обнаружения неисправностей оборудования. ^{[5] [6]} VA является ключевым компонентом программы мониторинга состояния (CM), и его часто называют профилактическим обслуживанием (PdM). ^[7] Чаще всего VA используется для обнаружения неисправностей во вращающемся оборудовании (вентиляторы, двигатели, насосы, редукторы и т. Д.), Таких как дисбаланс, перекос, неисправности подшипников качения и условия резонанса. ^[8]

VA может использовать единицы смещения, скорости и ускорения, отображаемые как временную форму волны (TWF), но чаще всего используется спектр, полученный из быстрого преобразования Фурье TWF. Спектр вибрации предоставляет важную частотную информацию, которая может помочь определить неисправный компонент.

Основы анализа вибрации можно понять, изучив простую модель « Масса-пружина-демпфер» . В самом деле, даже сложная конструкция, такая как кузов автомобиля, может быть смоделирована как "сумма" простых моделей масса-пружина-демпфер. Модель масса – пружина – демпфер является примером простого гармонического осциллятора . Математика, используемая для описания его поведения, идентична другим простым гармоническим генераторам, таким как цепь RLC .

Примечание. Эта статья не содержит пошаговых математических выводов, но сосредоточена на основных уравнениях и концепциях анализа вибрации. Пожалуйста, обратитесь к ссылкам в конце статьи для подробных выводов.

Свободная вибрация без демпфирования [ править ]

Чтобы начать исследование массы, пружины и демпфера, предположим, что демпфирование незначительно и к массе не приложена внешняя сила (т.е. свободная вибрация). Сила, приложенная к массе пружиной, пропорциональна величине растяжения пружины «x» (при условии, что пружина уже сжата из-за веса массы). Константа пропорциональности, k, представляет собой жесткость пружины и имеет единицы силы / расстояния (например, фунт-сила / дюйм или Н / м). Отрицательный знак означает, что сила всегда противодействует движению прикрепленной к ней массы:

${\ displaystyle F_ {s} = - kx. \!}$

Сила, создаваемая массой, пропорциональна ускорению массы согласно второму закону движения Ньютона :

${\displaystyle \Sigma \ F=ma=m{\ddot {x}}=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.}$

Сумма сил, действующих на массу, порождает обыкновенное дифференциальное уравнение :${\displaystyle \ m{\ddot {x}}+kx=0.}$

Если предположить, что возникновение вибрации начинается с растягивания пружины на расстояние A и ее отпускания, решение приведенного выше уравнения, описывающего движение массы, будет следующим:

${\displaystyle x(t)=A\cos(2\pi f_{n}t).\!}$

Это решение говорит , что она будет колебаться с простым гармоническим движением , который имеет амплитуду от А и частоты ф _п . Число f _n называется незатухающей собственной частотой . Для простой системы масса-пружина f _n определяется как:

${\displaystyle f_{n}={1 \over {2\pi }}{\sqrt {k \over m}}.\!}$

Примечание: угловая частота ω (ω = 2 π f ) в радианах в секунду часто используется в уравнениях, поскольку она упрощает уравнения, но обычно преобразуется в обычную частоту (единицы Гц.или эквивалентно циклов в секунду) при указании частоты системы. Если масса и жесткость системы известны, приведенная выше формула может определить частоту, с которой система вибрирует, когда она приводится в движение начальным возмущением. Каждая колебательная система имеет одну или несколько собственных частот, которые одновременно нарушаются при вибрации. Это простое соотношение можно использовать для общего понимания того, что происходит с более сложной системой, когда мы добавляем массу или жесткость. Например, приведенная выше формула объясняет, почему, когда автомобиль или грузовик полностью загружен, подвеска кажется «более мягкой», чем без нагрузки - масса увеличилась, что снизило собственную частоту системы.

Что вызывает вибрацию системы: с точки зрения сохранения энергии [ править ]

Колебательное движение можно понять с точки зрения сохранения энергии . В приведенном выше примере пружина была растянута на значение x, и поэтому в пружине хранится некоторая потенциальная энергия ( ). После отпускания пружина стремится вернуться в нерастянутое состояние (которое является состоянием с минимальной потенциальной энергией) и в процессе ускоряет массу. В момент, когда пружина достигла своего нерастянутого состояния, вся потенциальная энергия, которую мы передали путем растяжения, была преобразована в кинетическую энергию (${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}kx^{2}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$). Затем масса начинает замедляться, потому что теперь она сжимает пружину и в процессе передачи кинетической энергии обратно своему потенциалу. Таким образом, колебание пружины сводится к возврату кинетической энергии вперед и назад в потенциальную. В этой простой модели масса продолжает вечно колебаться с той же величиной, но в реальной системе демпфирование всегда рассеивает энергию, в конечном итоге приводя пружину в состояние покоя.

Свободная вибрация с гашением [ править ]

Когда к модели добавляется «вязкий» демпфер, это дает силу, пропорциональную скорости массы. Демпфирование называется вязким, потому что оно моделирует воздействие жидкости внутри объекта. Константа пропорциональности c называется коэффициентом демпфирования и имеет единицы измерения силы по отношению к скорости (фунт-сила-с / дюйм или н-с / м).

${\displaystyle F_{\text{d}}=-cv=-c{\dot {x}}=-c{\frac {dx}{dt}}.}$

Суммируя силы, действующие на массу, получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0.}$

Решение этого уравнения зависит от величины демпфирования. Если демпфирование достаточно мало, система по-прежнему вибрирует, но со временем перестает вибрировать. Этот случай называется недостаточным демпфированием, что важно при анализе вибрации. Если демпфирование увеличивается до точки, при которой система больше не колеблется, система достигла критической точки демпфирования . Если демпфирование превышает критическое значение демпфирования, система чрезмерно демпфируется . Значение, которого должен достичь коэффициент демпфирования для критического демпфирования в модели масса-пружина-демпфер, составляет:

${\displaystyle c_{\text{c}}=2{\sqrt {\text{km}}}.}$

Чтобы охарактеризовать величину демпфирования в системе, используется коэффициент, называемый коэффициентом демпфирования (также известный как коэффициент демпфирования и% критического демпфирования). Этот коэффициент демпфирования представляет собой просто отношение фактического демпфирования к количеству демпфирования, необходимого для достижения критического демпфирования. Формула для коэффициента демпфирования ( ) модели масса-пружина-демпфер:${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \zeta ={c \over 2{\sqrt {\text{km}}}}.}$

Например, металлические конструкции (например, фюзеляжи самолетов, коленчатые валы двигателей) имеют коэффициенты демпфирования менее 0,05, а автомобильные подвески находятся в диапазоне 0,2–0,3. Решение проблемы недостаточного демпфирования для модели масса-пружина-демпфер следующее:

${\displaystyle x(t)=Xe^{-\zeta \omega _{n}t}\cos \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n}t-\phi \right),\qquad \omega _{n}=2\pi f_{n}.}$

Значение X , начальной величины, а фазовый сдвиг , определяются на величину пружина растягивается. Формулы для этих значений можно найти в справочниках.${\displaystyle \phi ,}$

Затухающие и незатухающие собственные частоты [ править ]

Основные моменты, на которые следует обратить внимание в решении, - это экспоненциальный член и функция косинуса. Экспоненциальный член определяет, насколько быстро система «демпфирует» - чем больше коэффициент демпфирования, тем быстрее он демпфирует до нуля. Функция косинуса представляет собой колеблющуюся часть решения, но частота колебаний отличается от незатухающего случая.

Частота в этом случае называется «собственной частотой затухания» и связана с собственной частотой без затухания по следующей формуле:${\displaystyle f_{\text{d}},}$

${\displaystyle f_{\text{d}}=f_{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}.}$

Затухающая собственная частота меньше, чем собственная частота без затухания, но для многих практических случаев коэффициент затухания относительно невелик, и, следовательно, разница незначительна. Поэтому описание демпфирования и отсутствия демпфирования часто опускается при указании собственной частоты (например, при коэффициенте демпфирования 0,1 собственная частота демпфирования только на 1% меньше, чем незатухающая).

На графиках сбоку показано, как коэффициенты демпфирования 0,1 и 0,3 влияют на то, как система «звенит» со временем. На практике часто проводится экспериментальное измерение свободной вибрации после удара (например, с помощью молотка), а затем определение собственной частоты системы путем измерения скорости колебаний, а также коэффициента демпфирования путем измерения скорости колебаний. разлагаться. Собственная частота и коэффициент демпфирования важны не только для свободных колебаний, но и для характеристики поведения системы при вынужденной вибрации.

^[9]

Принудительная вибрация с демпфированием [ править ]

Поведение модели демпфера с пружинной массой меняется с добавлением гармонической силы. Сила этого типа может быть вызвана, например, вращающимся дисбалансом.

${\displaystyle F=F_{0}\sin(2\pi ft).\!}$

Суммируя силы, действующие на массу, получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=F_{0}\sin(2\pi ft).}$

Стационарное состояние решение этой задачи может быть записано в виде:

${\displaystyle x(t)=X\sin(2\pi ft+\phi ).\!}$

Результат показывает, что масса будет колебаться с той же частотой f приложенной силы, но со сдвигом фазы.${\displaystyle \phi .}$

Амплитуда колебаний «X» определяется по следующей формуле.

${\displaystyle X={F_{0} \over k}{1 \over {\sqrt {(1-r^{2})^{2}+(2\zeta r)^{2}}}}.}$

Где «r» определяется как отношение частоты гармонической силы к незатухающей собственной частоте модели масса-пружина-демпфер.

${\displaystyle r={\frac {f}{f_{n}}}.}$

Фазовый сдвиг определяется по следующей формуле.${\displaystyle \phi ,}$

${\displaystyle \phi =\arctan \left({\frac {-2\zeta r}{1-r^{2}}}\right).}$

График этих функций, называемый «частотной характеристикой системы», представляет собой одну из наиболее важных характеристик вынужденной вибрации. В слегка демпфированной системе, когда частота нагнетания приближается к собственной частоте ( ), амплитуда вибрации может стать чрезвычайно высокой. Это явление называется резонансом (впоследствии собственная частота системы часто упоминается как резонансная частота). В системах подшипников ротора любая скорость вращения, которая вызывает резонансную частоту, называется критической скоростью .${\displaystyle r\approx 1}$

Если в механической системе возникает резонанс, это может быть очень вредным, что в конечном итоге может привести к отказу системы. Следовательно, одна из основных причин для анализа вибрации состоит в том, чтобы предсказать, когда может возникнуть этот тип резонанса, а затем определить, какие шаги предпринять для предотвращения его возникновения. Как показывает график амплитуды, добавление демпфирования может значительно уменьшить величину вибрации. Кроме того, величина может быть уменьшена, если собственная частота может быть смещена в сторону от частоты нагнетания путем изменения жесткости или массы системы. Если система не может быть изменена, возможно, можно изменить частоту нагнетания (например, изменить скорость машины, генерирующей силу).

Ниже приведены некоторые другие моменты в отношении вынужденной вибрации, показанные на графиках частотной характеристики.

• При заданном соотношении частот амплитуда вибрации X прямо пропорциональна амплитуде силы (например, если вы удвоите силу, вибрация удвоится).${\displaystyle F_{0}}$
• С небольшим демпфированием или без него, вибрация находится в фазе с частотой нагнетания, когда отношение частот r  <1, и на 180 градусов не в фазе, когда отношение частот r  > 1
• Когда r  1, амплитуда - это просто отклонение пружины под действием статической силы. Это отклонение называется статическим отклонением. Следовательно, при r  1 влияние демпфера и массы минимально.${\displaystyle F_{0}.}$${\displaystyle \delta _{st}.}$
• Когда r  ≫ 1, амплитуда вибрации фактически меньше статического прогиба. В этой области сила, создаваемая массой ( F  =  ma ), является доминирующей, потому что ускорение, наблюдаемое массой, увеличивается с частотой. Поскольку прогиб пружины X уменьшается в этой области, сила, передаваемая пружиной ( F  =  kx ) на основание, уменьшается. Таким образом, система масса-пружина-демпфер изолирует гармоническую силу от монтажного основания - это называется виброизоляцией . Большее демпфирование фактически снижает эффекты виброизоляции, когда r  ≫ 1, потому что демпфирующая сила ( F${\displaystyle \delta _{st}.}$ =  cv ) также передается в базу.
• каким бы ни было демпфирование, вибрация на 90 градусов не совпадает по фазе с частотой нагнетания при соотношении частот r  = 1, что очень полезно, когда дело доходит до определения собственной частоты системы.
• каким бы ни было демпфирование, когда r  ≫ 1, вибрация на 180 градусов не совпадает по фазе с частотой нагнетания.
• каким бы ни было демпфирование, когда r  ≪ 1, вибрация находится в фазе с частотой воздействия

Причины резонанса [ править ]

Резонанс легко понять, если рассматривать пружину и массу как элементы накопления энергии - при этом масса хранит кинетическую энергию, а пружина - потенциальную энергию. Как обсуждалось ранее, когда на массу и пружину не действует внешняя сила, они передают энергию вперед и назад со скоростью, равной собственной частоте. Другими словами, чтобы эффективно перекачивать энергию как в массу, так и в пружину, требуется, чтобы источник энергии подавал энергию со скоростью, равной собственной частоте. Приложение силы к массе и пружине похоже на толкание ребенка на качелях: толчок необходим в нужный момент, чтобы качели становились все выше и выше. Как и в случае с качелями, приложенная сила не должна быть большой для получения больших движений, а должна просто добавлять энергию в систему.

Демпфер вместо накопления энергии рассеивает энергию. Поскольку демпфирующая сила пропорциональна скорости, чем больше движение, тем больше демпфер рассеивает энергию. Следовательно, есть момент, когда энергия, рассеиваемая демпфером, равна энергии, добавленной силой. В этот момент система достигла максимальной амплитуды и будет продолжать вибрировать на этом уровне до тех пор, пока прилагаемая сила остается неизменной. Если затухание отсутствует, нечему рассеивать энергию, и теоретически движение будет продолжать расти до бесконечности.

Приложение «комплексных» сил к модели масса – пружина – демпфер [ править ]

В предыдущем разделе к модели применялась только простая гармоническая сила, но ее можно значительно расширить с помощью двух мощных математических инструментов. Первый - это преобразование Фурье, которое принимает сигнал как функцию времени ( временная область ) и разбивает его на его гармонические составляющие как функцию частоты ( частотная область ). Например, применяя силу к модели масса-пружина-демпфер, которая повторяет следующий цикл - сила, равная 1  ньютону в течение 0,5 секунды, а затем отсутствие силы в течение 0,5 секунды. Этот тип силы имеет форму прямоугольной волны частотой 1 Гц .

Преобразование Фурье прямоугольной волны генерирует частотный спектр, который представляет величину гармоник, составляющих прямоугольную волну (фаза также генерируется, но обычно вызывает меньшее беспокойство и поэтому часто не отображается). Преобразование Фурье также можно использовать для анализа непериодических функций, таких как переходные процессы (например, импульсы) и случайные функции. Преобразование Фурье почти всегда вычисляется с использованием компьютерного алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) в сочетании с оконной функцией .

В случае нашей прямоугольной силы первая составляющая на самом деле является постоянной силой 0,5 ньютона и представлена ​​значением 0 Гц в частотном спектре. Следующая составляющая - синусоидальная волна частотой 1 Гц и амплитудой 0,64. Это показано линией с частотой 1 Гц. Остальные компоненты имеют нечетные частоты, и для генерации идеальной прямоугольной волны требуется бесконечное количество синусоидальных волн. Следовательно, преобразование Фурье позволяет интерпретировать силу как сумму прикладываемых синусоидальных сил вместо более «сложной» силы (например, прямоугольной волны).

В предыдущем разделе решение вибрации было дано для одной гармонической силы, но преобразование Фурье в целом дает множественные гармонические силы. Второй математический инструмент, «принцип суперпозиции» , позволяет суммировать решения от нескольких сил, если система является линейной . В случае модели пружина-масса-демпфер система является линейной, если сила пружины пропорциональна смещению, а демпфирование пропорционально скорости в интересующем диапазоне движения. Следовательно, решение проблемы с прямоугольной волной складывается из предсказанных вибраций от каждой из гармонических сил, обнаруженных в частотном спектре прямоугольной волны.

Модель частотной характеристики [ править ]

Решение проблемы вибрации можно рассматривать как отношение входа / выхода, где сила - это вход, а выход - это вибрация. Представление силы и вибрации в частотной области (амплитуда и фаза) допускает следующее соотношение:

${\displaystyle X(i\omega )=H(i\omega )\cdot F(i\omega ){\text{ or }}H(i\omega )={X(i\omega ) \over F(i\omega )}.}$

${\displaystyle H(i\omega )}$называется функцией частотной характеристики (также называемой передаточной функцией , но технически не точной) и имеет как амплитуду, так и фазовую составляющую (если она представлена ​​как комплексное число , действительная и мнимая составляющие). Величина частотной характеристики (АЧХ) была представлена ​​ранее для системы масса – пружина – демпфер.

${\displaystyle |H(i\omega )|=\left|{X(i\omega ) \over F(i\omega )}\right|={1 \over k}{1 \over {\sqrt {(1-r^{2})^{2}+(2\zeta r)^{2}}}},{\text{ where }}r={\frac {f}{f_{n}}}={\frac {\omega }{\omega _{n}}}.}$

Фаза FRF также была представлена ​​ранее как:

${\displaystyle \angle H(i\omega )=-\arctan \left({\frac {2\zeta r}{1-r^{2}}}\right).}$

Например, расчет FRF для системы масса – пружина – демпфер с массой 1 кг, жесткостью пружины 1,93 Н / мм и коэффициентом демпфирования 0,1. Значения пружины и массы дают собственную частоту 7 Гц для этой конкретной системы. Применение прямоугольной волны частотой 1 Гц, полученной ранее, позволяет рассчитать прогнозируемую вибрацию массы. На рисунке показана результирующая вибрация. В этом примере частота четвертой гармоники прямоугольной волны составляет 7 Гц. Частотная характеристика массы-пружины-демпфера, таким образом, выдает высокую вибрацию 7 Гц, хотя входная сила имеет относительно низкую гармонику 7 Гц. Этот пример подчеркивает, что результирующая вибрация зависит как от функции принуждения, так и от системы, к которой прикладывается сила.

На рисунке также показано представление результирующей вибрации во временной области. Это делается путем выполнения обратного преобразования Фурье, которое преобразует данные частотной области во временную область. На практике это делается редко, потому что частотный спектр предоставляет всю необходимую информацию.

Функция частотной характеристики (FRF) не обязательно должна быть рассчитана на основе данных о массе, демпфировании и жесткости системы, но может быть измерена экспериментально. Например, если применяется известная сила в диапазоне частот и если соответствующие вибрации измеряются, функция частотной характеристики может быть вычислена, таким образом характеризуя систему. Этот метод используется в области экспериментального модального анализа для определения вибрационных характеристик конструкции.

Системы с множественными степенями свободы и формы колебаний [ править ]

Простая модель масса-пружина-демпфер является основой анализа вибрации, но как насчет более сложных систем? Описанная выше модель масса-пружина-демпфер называется моделью с одной степенью свободы (SDOF), поскольку предполагается, что масса движется только вверх и вниз. В более сложных системах система должна быть разбита на несколько масс, которые движутся более чем в одном направлении, добавляя степени свободы. Основные концепции множественных степеней свободы (MDOF) можно понять, взглянув на модель с двумя степенями свободы, как показано на рисунке.

Уравнения движения системы 2DOF имеют следующий вид:

${\displaystyle m_{1}{\ddot {x_{1}}}+(c_{1}+c_{2}){\dot {x_{1}}}-c_{2}{\dot {x_{2}}}+(k_{1}+k_{2})x_{1}-k_{2}x_{2}=f_{1},}$

${\displaystyle m_{2}{\ddot {x_{2}}}-c_{2}{\dot {x_{1}}}+(c_{2}+c_{3}){\dot {x_{2}}}-k_{2}x_{1}+(k_{2}+k_{3})x_{2}=f_{2}.\!}$

Это можно переписать в матричном формате:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x_{1}}}\\{\ddot {x_{2}}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}+c_{2}&-c_{2}\\-c_{2}&c_{2}+c_{3}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\dot {x_{1}}}\\{\dot {x_{2}}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}k_{1}+k_{2}&-k_{2}\\-k_{2}&k_{2}+k_{3}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{Bmatrix}}.}$

Более компактная форма этого матричного уравнения может быть записана как:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\dot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}f\end{Bmatrix}}}$

где и - симметричные матрицы, называемые соответственно матрицами массы, демпфирования и жесткости. Матрицы представляют собой квадратные матрицы размером NxN, где N - количество степеней свободы системы.${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}},}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}}$

Следующий анализ включает случай, когда нет демпфирования и приложенных сил (т.е. свободная вибрация). Решение вязкозатухающей системы несколько сложнее. ^[10]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}=0.}$

Это дифференциальное уравнение можно решить, если принять следующий тип решения:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}.}$

Примечание. Использование экспоненциального решения - это математический прием, используемый для решения линейных дифференциальных уравнений. Используя формулу Эйлера и взяв только действительную часть решения, получается то же косинусное решение для системы с 1 степенью свободы. Экспоненциальное решение используется только потому, что им легче манипулировать математически.${\displaystyle {\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}}$

Тогда уравнение станет:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}=0.}$

Поскольку не может быть равным нулю, уравнение сводится к следующему.${\displaystyle e^{i\omega t}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0.}$

Проблема собственных значений [ править ]

Это относится к проблеме собственных значений в математике и может быть преобразовано в стандартный формат, предварительно умножив уравнение на${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0}$

и если: и${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \lambda =\omega ^{2}\,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0.}$

Решение проблемы приводит к N собственных значений (т.е. ), где N соответствует количеству степеней свободы. Собственные значения обеспечивают собственные частоты системы. Когда эти собственные значения подставляются обратно в исходный набор уравнений, значения , соответствующие каждому собственному значению, называются собственными векторами . Эти собственные векторы представляют формы колебаний системы. Решение задачи на собственные значения может быть довольно громоздким (особенно для задач со многими степенями свободы), но, к счастью, в большинстве программ математического анализа есть процедуры для собственных значений.${\displaystyle \omega _{1}^{2},\omega _{2}^{2},\cdots \omega _{N}^{2}}$${\displaystyle {\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}}$

Собственные значения и собственные векторы часто записываются в следующем матричном формате и описывают модальную модель системы:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }\omega _{r\diagdown }^{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\omega _{1}^{2}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\omega _{N}^{2}\end{bmatrix}}{\text{ and }}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}\psi _{1}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\psi _{2}\end{Bmatrix}}\cdots {\begin{Bmatrix}\psi _{N}\end{Bmatrix}}\end{bmatrix}}.}$

Простой пример с использованием модели с двумя степенями свободы может помочь проиллюстрировать концепции. Пусть обе массы имеют массу 1 кг, а жесткость всех трех пружин равна 1000 Н / м. Матрица массы и жесткости для этой задачи:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$ и ${\displaystyle {\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2000&-1000\\-1000&2000\end{bmatrix}}.}$

потом ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2000&-1000\\-1000&2000\end{bmatrix}}.}$

Собственные значения для этой задачи, задаваемые программой для собственных значений:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }\omega _{r\diagdown }^{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1000&0\\0&3000\end{bmatrix}}.}$

Собственные частоты в герцах тогда (запоминание ) и${\displaystyle \scriptstyle \omega =2\pi f}$${\displaystyle \scriptstyle f_{1}=5.033\mathrm {\ Hz} }$${\displaystyle \scriptstyle f_{2}=8.717{\text{ Hz}}.}$

Две формы колебаний для соответствующих собственных частот представлены как:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}\psi _{1}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\psi _{2}\end{Bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}-0.707\\-0.707\end{Bmatrix}}_{1}{\begin{Bmatrix}0.707\\-0.707\end{Bmatrix}}_{2}\end{bmatrix}}.}$

Поскольку система представляет собой систему с 2 степенями свободы, существует два режима с соответствующими собственными частотами и формами. Векторы формы колебаний не являются абсолютным движением, а просто описывают относительное движение степеней свободы. В нашем случае первый вектор формы моды говорит о том, что массы движутся вместе в фазе, поскольку они имеют одинаковое значение и знак. В случае вектора формы второй моды каждая масса движется в противоположном направлении с одинаковой скоростью.

Иллюстрация проблемы с несколькими степенями свободы [ править ]

Когда существует много степеней свободы, одним из методов визуализации форм колебаний является их анимация с использованием программного обеспечения для структурного анализа, такого как Femap , ANSYS или VA One от ESI Group . Пример анимации форм колебаний показан на рисунке ниже для консольной двутавровой балки, как показано с помощью модального анализа в ANSYS. В этом случае метод конечных элементов использовался для создания аппроксимации матриц массы и жесткости путем создания сетки для интересующего объекта с целью решения дискретной задачи на собственные значения.. Обратите внимание, что в этом случае метод конечных элементов обеспечивает аппроксимацию сетчатой ​​поверхности (для которой существует бесконечное количество режимов и частот колебаний). Следовательно, эта относительно простая модель, которая имеет более 100 степеней свободы и, следовательно, столько же собственных частот и форм колебаний, обеспечивает хорошее приближение для первых собственных частот и мод ^† . Как правило, для практического применения важны только первые несколько режимов.

^ Обратите внимание, что при выполнении численной аппроксимации любой математической модели необходимо убедиться в сходимости интересующих параметров.

Проблема с несколькими степенями свободы преобразована в проблему с одной степенью свободы [ править ]

Собственные векторы обладают очень важными свойствами, называемыми свойствами ортогональности. Эти свойства можно использовать для значительного упрощения решения моделей с несколькими степенями свободы. Можно показать, что собственные векторы обладают следующими свойствами:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}}}$и являются диагональными матрицами, которые содержат значения модальной массы и жесткости для каждого из режимов. (Примечание: поскольку собственные векторы (формы колебаний) можно масштабировать произвольно, свойства ортогональности часто используются для масштабирования собственных векторов, поэтому значение модальной массы для каждой моды равно 1. Матрица модальных масс является единичной матрицей )${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}}$

Эти свойства можно использовать для значительного упрощения решения моделей с несколькими степенями свободы путем выполнения следующего преобразования координат.

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}.}$

Использование этого преобразования координат в исходном дифференциальном уравнении свободных колебаний приводит к следующему уравнению.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

Воспользовавшись свойствами ортогональности, умножив это уравнение на ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

Свойства ортогональности затем упрощают это уравнение до:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

Это уравнение является основой анализа вибрации для систем с несколькими степенями свободы. Аналогичный результат можно получить для систем с демпфированием. ^[10] Ключевым моментом является то, что модальные матрицы массы и жесткости являются диагональными матрицами, и поэтому уравнения были «развязаны». Другими словами, проблема была преобразована из большой громоздкой задачи с множеством степеней свободы во множество задач с одной степенью свободы, которые могут быть решены с использованием тех же методов, описанных выше.

Решение для x заменяется решением для q , что называется модальными координатами или модальными факторами участия.

Может быть понятнее, если он записан как:${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix}}=q_{1}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{1}+q_{2}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{2}+q_{3}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{3}+\cdots +q_{N}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{N}.}$

В таком виде можно увидеть, что вибрация на каждой из степеней свободы является просто линейной суммой форм колебаний. Кроме того, степень "участия" каждой моды в окончательной вибрации определяется q, ее коэффициентом модального участия.

Режим жесткого тела [ править ]

Безудержная система с несколькими степенями свободы испытывает как поступательное движение твердого тела, так и / или вращение и вибрацию. Наличие режима твердого тела приводит к нулевой собственной частоте. Соответствующая форма моды называется режимом твердого тела.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Поищите вибрацию в Викисловаре, бесплатном словаре.

Викиданные имеют свойство: вибрация (P2806) (см. использование )

• Бесплатные таблицы Excel для оценки модальных параметров
• Справочник по анализу вибрации - Институт Мебиуса
• Мониторинг состояния и защита оборудования - Siemens AG

• [2]