Волновое уравнение

Сферические волны, исходящие от точечного источника.

Решение двумерного волнового уравнения

Волновое уравнением является важным вторым порядком линейного дифференциальным уравнения в частных для описания волн -кака они встречаются в классической физике -such , как механические волны (например , водных волны, звуковые волны и сейсмические волны ) или световые волны. Он возникает в таких областях, как акустика , электромагнетизм и гидродинамика .

Исторически проблема вибрирующей струны, такой как струна музыкального инструмента, изучалась Жаном ле Рондом Даламбером , Леонардом Эйлером , Даниэлем Бернулли и Жозефом-Луи Лагранжем . ^{[1] [2] [3] [4] [5]} В 1746 году Даламбер открыл одномерное волновое уравнение, а через десять лет Эйлер открыл трехмерное волновое уравнение. ^[6]

Введение [ править ]

Волновое уравнение - это уравнение в частных производных, которое может ограничивать некоторую скалярную функцию u = u ( x ₁ , x ₂ ,…, x _n ; t ) временной переменной t и одной или нескольких пространственных переменных x ₁ , x ₂ ,…, х _п . Величина u может быть, например, давлением в жидкости или газе или смещениемвдоль некоторого определенного направления частиц колеблющегося твердого тела вдали от их положений покоя. Уравнение

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}\;=\;c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}}\right)}$

где c - фиксированный неотрицательный действительный коэффициент .

Используя обозначения ньютоновской механики и векторного исчисления , волновое уравнение можно записать более компактно как

${\displaystyle {\ddot {u}}=c^{2}\nabla ^{2}u}$

где двойная точка обозначает двойную производную по времени от u , ∇ - оператор набла , а ∇ ² = ∇ · ∇ - (пространственный) лапласовский оператор :

${\displaystyle {\ddot {u}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}\quad \quad \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)\quad \quad \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}}$

Решение этого уравнения может быть довольно сложным, но его можно проанализировать как линейную комбинацию простых решений, которые представляют собой плоские синусоидальные волны с различными направлениями распространения и длинами волн, но все с одинаковой скоростью распространения c . Такой анализ возможен, поскольку волновое уравнение линейно ; так что любое кратное решения также является решением, а сумма любых двух решений снова является решением. Это свойство в физике называется принципом суперпозиции .

Само по себе волновое уравнение не определяет физического решения; единственное решение обычно получается путем постановки задачи с дополнительными условиями, такими как начальные условия , которые задают амплитуду и фазу волны. Другой важный класс проблем возникает в замкнутых пространствах, задаваемых граничными условиями , решения для которых представляют собой стоячие волны или гармоники , аналогичные гармоникам музыкальных инструментов.

Волновое уравнение - простейший пример гиперболического дифференциального уравнения . Он и его модификации играют фундаментальную роль в механике сплошных сред , квантовой механике , физике плазмы , общей теории относительности , геофизике и многих других научных и технических дисциплинах.

Волновое уравнение в одном измерении пространства [ править ]

Волновое уравнение в одномерном пространстве можно записать следующим образом:

${\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}{\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}}$.

Это уравнение обычно описывается как имеющее только одно пространственное измерение x , потому что единственной другой независимой переменной является время t . Тем не менее, зависимая переменная u может представлять второе пространственное измерение, если, например, смещение u происходит в направлении y , как в случае струны, расположенной в плоскости x - y .

Вывод волнового уравнения [ править ]

Волновое уравнение в одном пространственном измерении может быть получено в различных физических условиях. Наиболее известно, что это можно вывести для случая струны, которая колеблется в двумерной плоскости, причем каждый из ее элементов натягивается в противоположных направлениях силой натяжения . ^[7]

Другая физическая установка для вывода волнового уравнения в одном пространственном измерении использует закон Гука . В теории упругости закон Гука является приближением для определенных материалов, утверждая, что величина, на которую деформируется материальное тело ( деформация ), линейно связана с силой, вызывающей деформацию ( напряжение ).

Из закона Гука [ править ]

Волновое уравнение в одномерном случае может быть получено из закона Гука следующим образом: представьте себе массив маленьких гирь массой m, соединенных между собой безмассовыми пружинами длиной h . Пружины имеют пружины из к :

Здесь зависимая переменная u ( x ) измеряет расстояние от точки равновесия массы, расположенной в точке x , так что u ( x ) по существу измеряет величину возмущения (т. Е. Деформации), которое распространяется в упругом материале. Силы, действующие на массу m в точке x + h, равны:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\rm {Newton}}&=m\cdot a(t)=m\cdot {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t)\\F_{\rm {Hooke}}&=F_{x+2h}-F_{x}=k\left[{u(x+2h,t)-u(x+h,t)}\right]-k[u(x+h,t)-u(x,t)]\end{aligned}}}$

Уравнение движения груза в точке x + h получается приравниванием этих двух сил:

${\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)={k \over m}[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]}$

где зависимость u ( x ) от времени сделана явной.

Если массив гирь состоит из N гирь, равномерно расположенных по длине L = Nh общей массы M = Nm , и общей жесткости пружины массива K = k / N, мы можем записать приведенное выше уравнение как:

${\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)={KL^{2} \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^{2}}.}$

Переходя к пределу N → ∞, h → 0 и предполагая гладкость, получаем:

${\displaystyle {\partial ^{2}u(x,t) \over \partial t^{2}}={KL^{2} \over M}{\partial ^{2}u(x,t) \over \partial x^{2}},}$

что из определения второй производной . KL ² / M - квадрат скорости распространения в данном конкретном случае.

Напряжение пульса в баре [ править ]

В случае импульса напряжения, распространяющегося в продольном направлении через стержень, стержень действует так же, как бесконечное количество последовательно соединенных пружин, и его можно рассматривать как расширение уравнения, выведенного для закона Гука. Однородный стержень, т. Е. Постоянного поперечного сечения, сделанный из линейного упругого материала, имеет жесткость K, определяемую соотношением

${\displaystyle K={EA \over L},}$

Где A - площадь поперечного сечения, а E - модуль Юнга материала. Волновое уравнение принимает вид

${\displaystyle {\partial ^{2}u(x,t) \over \partial t^{2}}={EAL \over M}{\partial ^{2}u(x,t) \over \partial x^{2}}.}$

AL равен объему бара и, следовательно,

${\displaystyle {\frac {AL}{M}}={\frac {1}{\rho }},}$

где ρ - плотность материала. Волновое уравнение сводится к

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={E \over \rho }{\partial ^{2}u(x,t) \over \partial x^{2}}.}$

Следовательно, скорость волны напряжения в стержне равна √ E / ρ .

Общее решение [ править ]

Алгебраический подход [ править ]

Одномерное волновое уравнение необычно для уравнения в частных производных тем, что может быть найдено относительно простое общее решение. Определение новых переменных: ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=x-ct\\\eta &=x+ct\end{aligned}}}$

изменяет волновое уравнение на

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}=0,}$

что приводит к общему решению

${\displaystyle u(\xi ,\eta )=F(\xi )+G(\eta )}$

или эквивалентно:

${\displaystyle u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct).}$

Другими словами, решения волнового уравнения 1D представляют собой суммы в правой функции бегущей F и функции левого бегущей G . «Перемещение» означает, что форма этих отдельных произвольных функций по отношению к x остается постоянной, однако функции перемещаются влево и вправо со временем со скоростью c . Его вывел Жан ле Ронд д'Аламбер . ^[9]

Другой способ получить этот результат - заметить, что волновое уравнение может быть "факторизовано":

${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0.}$

В результате, если мы определим v таким образом,

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}}=v,}$

тогда

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}-c{\frac {\partial v}{\partial x}}=0.}$

Отсюда v должно иметь вид G ( x + ct ) , и отсюда можно вывести правильную форму полного решения u . ^[10]

Для задачи с начальным значением можно определить произвольные функции F и G, удовлетворяющие начальным условиям:

${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$

${\displaystyle u_{t}(x,0)=g(x).}$

Результатом является формула Даламбера :

${\displaystyle u(x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)\mathrm {d} s}$

В классическом смысле, если f ( x ) ∈ C ^k и g ( x ) ∈ C ^{k −1,} то u ( t , x ) ∈ C ^k . Однако формы сигналов F и G также могут быть обобщенными функциями, такими как дельта-функция. В этом случае решение можно интерпретировать как импульс, идущий вправо или влево.

Основное волновое уравнение - это линейное дифференциальное уравнение, поэтому оно будет соответствовать принципу суперпозиции . Это означает, что чистое смещение, вызванное двумя или более волнами, является суммой смещений, которые были бы вызваны каждой волной в отдельности. Кроме того, поведение волны можно проанализировать, разбив волну на составляющие, например, преобразование Фурье разбивает волну на синусоидальные составляющие.

Собственные моды плоской волны [ править ]

Другой способ найти решения одномерного волнового уравнения - сначала проанализировать его частотные собственные моды . Так называемая собственная мода - это решение, которое колеблется во времени с четко определенной постоянной угловой частотой ω, так что временная часть волновой функции принимает вид e ^−iωt = cos ( ωt ) - i sin ( ωt ) , и амплитуда является функцией f ( x ) пространственной переменной x , что дает разделение переменных для волновой функции:

${\displaystyle u_{\omega }(x,t)=e^{-i\omega t}f(x).}$

Это дает обыкновенное дифференциальное уравнение для пространственной части f ( x ) :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u_{\omega }}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left(e^{-i\omega t}f(x)\right)=-\omega ^{2}e^{-i\omega t}f(x)=c^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(e^{-i\omega t}f(x)\right),}$

Следовательно:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}f(x)=-\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}f(x),}$

что в точности является уравнением на собственные значения для f ( x ) , отсюда и название собственной моды. Он имеет хорошо известные решения для плоских волн

${\displaystyle f(x)=Ae^{\pm ikx},}$

с волновым числом k = ω / c .

Полная волновая функция для этой собственной моды тогда представляет собой линейную комбинацию

${\displaystyle u_{\omega }(x,t)=e^{-i\omega t}\left(Ae^{-ikx}+Be^{ikx}\right)=Ae^{-i(kx+\omega t)}+Be^{i(kx-\omega t)},}$

где комплексные числа A, B, вообще говоря , зависят от любых начальных и граничных условий задачи.

Собственные моды полезны при построении полного решения волнового уравнения, потому что каждая из них тривиально изменяется во времени с фазовым фактором . так что полное решение может быть разложено на разложение по собственным модам${\displaystyle e^{-i\omega t}}$

${\displaystyle u(x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }s(\omega )u_{\omega }(x,t)\mathrm {d} \omega }$

или в терминах плоских волн,

${\displaystyle {\begin{aligned}u(x,t)&=\int _{-\infty }^{\infty }s_{+}(\omega )e^{-i(kx+\omega t)}\mathrm {d} \omega +\int _{-\infty }^{\infty }s_{-}(\omega )e^{i(kx-\omega t)}\mathrm {d} \omega \\&=\int _{-\infty }^{\infty }s_{+}(\omega )e^{-ik(x+ct)}\mathrm {d} \omega +\int _{-\infty }^{\infty }s_{-}(\omega )e^{ik(x-ct)}\mathrm {d} \omega \\&=F(x-ct)+G(x+ct)\end{aligned}}}$

что в точности в том же виде, что и в алгебраическом подходе. Функции s _± ( ω ) известны как компонента Фурье и определяются начальными и граничными условиями. Это так называемый метод частотной области , альтернативный прямому распространению во временной области , такому как метод FDTD , волнового пакета u ( x , t ), который является полным для представления волн без замедления времени. Полнота разложения Фурье для представления волн в присутствии замедления времени была поставлена ​​под сомнение из-за чирп-волновых решений, учитывающих изменение во времени ω . ^[11] Решения с чирп-волнами кажутся особенно подразумеваемыми очень большими, но ранее необъяснимыми остатками радара в аномалии пролета , и отличаются от синусоидальных решений тем, что они могут быть приняты на любом расстоянии только при пропорционально смещенных частотах и ​​временных задержках, соответствующих прошлым состояниям чирпа источник.

Скалярное волновое уравнение в трех измерениях [ править ]

Решение начальной задачи для волнового уравнения в трехмерном пространстве может быть получено из соответствующего решения для сферической волны. Затем результат можно использовать для получения того же решения в двух пространственных измерениях.

Сферические волны [ править ]

Волновое уравнение можно решить, используя технику разделения переменных . Чтобы получить решение с постоянными частотами, сначала преобразуем волновое уравнение по времени в виде Фурье-преобразования:

${\displaystyle \Psi ({\vec {r}},t)=\int _{-\infty }^{\infty }\Psi ({\vec {r}},\omega )e^{-i\omega t}\mathrm {d} \omega .}$

Итак, мы получаем,

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\Psi ({\vec {r}},\omega )=0.}$

Это уравнение Гельмгольца, и его можно решить с помощью разделения переменных. Если для описания проблемы используются сферические координаты, то решение угловой части уравнения Гельмгольца дается сферическими гармониками, и радиальное уравнение теперь принимает вид ^[12]

${\displaystyle \left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}+k^{2}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}\right]f_{l}(r)=0}$

Здесь k ≡ ω / c, и теперь полное решение дается формулой

${\displaystyle \Psi ({\vec {r}},\omega )=\sum _{lm}\left[A_{lm}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+A_{lm}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]Y_{lm}(\theta ,\phi ),}$

где h⁽¹⁾
_l( kr ) и h⁽²⁾
_l( kr ) - сферические функции Ганкеля .

Пример [ править ]

Чтобы лучше понять природу этих сферических волн, вернемся назад и рассмотрим случай, когда l = 0. В этом случае нет угловой зависимости, а амплитуда зависит только от радиального расстояния, т.е. Ψ ( r → , t ) → u ( r , t ). В этом случае волновое уравнение сводится к

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\Psi ({\vec {r}},t)=0\rightarrow \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u(r,t)=0}$

Это уравнение можно переписать как

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial r^{2}}}=0;\,}$

где величина ru удовлетворяет одномерному волновому уравнению. Следовательно, есть решения в виде

${\displaystyle u(r,t)={\frac {1}{r}}F(r-ct)+{\frac {1}{r}}G(r+ct),}$

где F и G являются общими решениями одномерного волнового уравнения и могут интерпретироваться как выходящая или входящая сферическая волна соответственно. Такие волны генерируются точечным источником , и они создают резкие сигналы, форма которых изменяется только за счет уменьшения амплитуды с увеличением r (см. Иллюстрацию сферической волны вверху справа). Такие волны существуют только в случаях нечетных размеров пространства. ^{[ необходима цитата ]}

Для физических примеров несферических волновых решений трехмерного волнового уравнения, которые действительно обладают угловой зависимостью, см. Дипольное излучение .

Монохроматическая сферическая волна [ править ]

Хотя слово «монохроматический» не совсем точно, так как оно относится к свету или электромагнитному излучению с четко определенной частотой, дух состоит в том, чтобы обнаружить собственную моду волнового уравнения в трех измерениях. Следуя выводам из предыдущего раздела о собственных модах плоских волн , если мы снова ограничим наши решения сферическими волнами, которые колеблются во времени с четко определенной постоянной угловой частотой ω, то преобразованная функция ru ( r , t ) будет иметь решения в виде простых плоских волн,

${\displaystyle ru(r,t)=Ae^{i(\omega t\pm kr)},}$ или же

${\displaystyle u(r,t)={\frac {A}{r}}e^{i\left(\omega t\pm kr\right)}.}$

Отсюда видно, что пиковая интенсивность колебания сферической волны, характеризуемая как квадрат амплитуды волны

${\displaystyle I=|u(r,t)|^{2}={\frac {|A|^{2}}{r^{2}}}}$.

падает со скоростью, пропорциональной 1 / r ² , пример закона обратных квадратов .

Решение общей начальной задачи [ править ]

Волновое уравнение линейно по u и не изменяется при переносе в пространстве и времени. Следовательно, мы можем генерировать большое количество решений, переводя и суммируя сферические волны. Пусть φ ( ξ , η , ζ ) - произвольная функция трех независимых переменных, а сферическая волновая форма F - дельта-функция: то есть пусть F - слабый предел непрерывных функций, интеграл которых равен единице, но носитель (область, где функция отлична от нуля) сжимается к началу координат. Пусть семейство сферических волн имеет центр в ( ξ , η , ζ ), и пусть r будет радиальным расстоянием от этой точки. Таким образом

${\displaystyle r^{2}=(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}.}$

Если u - суперпозиция таких волн с весовой функцией φ , то

${\displaystyle u(t,x,y,z)={\frac {1}{4\pi c}}\iiint \varphi (\xi ,\eta ,\zeta ){\frac {\delta (r-ct)}{r}}\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} \eta \,\mathrm {d} \zeta ;}$

знаменатель 4 πc является удобством.

Из определения дельта-функции u можно также записать как

${\displaystyle u(t,x,y,z)={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\varphi (x+ct\alpha ,y+ct\beta ,z+ct\gamma )\mathrm {d} \omega ,}$

где α, β , и γ координаты на единичной сфере S и ω является областью элемент на S . Этот результат интерпретируется как u ( t , x ) в t раз больше среднего значения φ на сфере радиуса ct с центром в x :

${\displaystyle u(t,x,y,z)=tM_{ct}[\phi ].}$

Следует, что

${\displaystyle u(0,x,y,z)=0,\quad u_{t}(0,x,y,z)=\phi (x,y,z).}$

Среднее значение является четной функцией от t , и, следовательно, если

${\displaystyle v(t,x,y,z)={\frac {\partial }{\partial t}}\left(tM_{ct}[\psi ]\right),}$

тогда

${\displaystyle v(0,x,y,z)=\psi (x,y,z),\quad v_{t}(0,x,y,z)=0.}$

Эти формулы дают решение начальной задачи для волнового уравнения. Они показывают , что решение в данной точке Р , учитывая ( т , х , у , г ) зависит только от данных на сфере радиуса карат , который пересекается световой конус обращается в обратном направлении от P . Это не зависит от данных о внутренней части этой сферы. Таким образом, внутренняя часть сферы - это пробел для решения. Это явление называется принципом Гюйгенса.. Это верно для нечетных чисел размерности пространства, где для одного измерения интегрирование выполняется по границе интервала относительно меры Дирака. Его не устраивают даже пространственные измерения. Феномен лакун широко исследовался Атьей , Боттом и Гордингом (1970, 1973).

Скалярное волновое уравнение в двух пространственных измерениях [ править ]

В двух измерениях пространства волновое уравнение имеет вид

${\displaystyle u_{tt}=c^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right).}$

Мы можем использовать трехмерную теорию для решения этой проблемы, если мы будем рассматривать u как функцию в трех измерениях, которая не зависит от третьего измерения. Если

${\displaystyle u(0,x,y)=0,\quad u_{t}(0,x,y)=\phi (x,y),}$

тогда формула трехмерного решения принимает вид

${\displaystyle u(t,x,y)=tM_{ct}[\phi ]={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\phi (x+ct\alpha ,\,y+ct\beta )\mathrm {d} \omega ,}$

где α и β - первые две координаты на единичной сфере, а d ω - элемент площади на сфере. Этот интеграл можно переписать в виде двойного интеграла по кругу D с центром ( x , y ) и радиусом ct :

${\displaystyle u(t,x,y)={\frac {1}{2\pi ct}}\iint _{D}{\frac {\phi (x+\xi ,y+\eta )}{\sqrt {(ct)^{2}-\xi ^{2}-\eta ^{2}}}}\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} \eta .}$

Очевидно, что решение в точке ( t , x , y ) зависит не только от данных о световом конусе, где

${\displaystyle (x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}=c^{2}t^{2},}$

но также и на данных, которые являются внутренними для этого конуса.

Скалярное волновое уравнение в общей размерности и формулы Кирхгофа [ править ]

Мы хотим найти решения u _tt - ∆ u = 0 для u  : R ⁿ × (0, ∞) → R с u ( x , 0) = g ( x ) и u _t ( x , 0) = h ( x ) . См. Evans для более подробной информации.

Нечетные размеры [ править ]

Предположим, что n ≥ 3 - нечетное целое число и g ∈ C ^{m +1} ( R ⁿ ) , h ∈ C ^m ( R ⁿ ) для m = ( n + 1) / 2 . Пусть γ _n = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅… ⋅ ( n - 2) и пусть

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}gdS\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}hdS\right)\right]}$

тогда

u ∈ C ² ( R ⁿ × [0, ∞))

u _tt - Δ u = 0 в R ⁿ × (0, ∞)

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u(x,t)&=g(x^{0})\\\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u_{t}(x,t)&=h(x^{0})\end{aligned}}}$

Четные размеры [ править ]

Предположим, что n ≥ 2 - четное целое число и g ∈ C ^{m +1} ( R ⁿ ) , h ∈ C ^m ( R ⁿ ) , для m = ( n + 2) / 2 . Пусть γ _n = 2 ⋅ 4 ⋅… ⋅ n и пусть

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {g}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{\frac {1}{2}}}}\mathrm {d} y\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {h}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{\frac {1}{2}}}}\mathrm {d} y\right)\right]}$

тогда

u ∈ C ² ( R ⁿ × [0, ∞))

u _tt - Δ u = 0 в R ⁿ × (0, ∞)

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u(x,t)&=g(x^{0})\\\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u_{t}(x,t)&=h(x^{0})\end{aligned}}}$

Проблемы с границами [ править ]

Одно измерение пространства [ править ]

Формулировка Штурма – Лиувилля [ править ]

Гибкая струна, натянутая между двумя точками x = 0 и x = L, удовлетворяет волновому уравнению для t > 0 и 0 < x < L . В граничных точках u может удовлетворять множеству граничных условий. Общая форма, подходящая для приложений:

${\displaystyle -u_{x}(t,0)+au(t,0)=0,}$

${\displaystyle u_{x}(t,L)+bu(t,L)=0,}$

где a и b неотрицательны. Случай, когда u требуется, чтобы обратиться в нуль в конечной точке, является пределом этого условия, когда соответствующие a или b стремятся к бесконечности. Метод разделения переменных заключается в поиске решения этой задачи в специальном виде

${\displaystyle u(t,x)=T(t)v(x).}$

Следствием этого является то, что

${\displaystyle {\frac {T''}{c^{2}T}}={\frac {v''}{v}}=-\lambda .}$

Собственное значение λ необходимо определить так, чтобы существовало нетривиальное решение краевой задачи

${\displaystyle v''+\lambda v=0,}$

${\displaystyle -v'(0)+av(0)=0,\quad v'(L)+bv(L)=0.}$

Это частный случай общей проблемы теории Штурма – Лиувилля . Если a и b положительны, все собственные значения положительны, а решения являются тригонометрическими функциями. Решение, удовлетворяющее интегрируемым с квадратом начальным условиям для u и u _t, может быть получено разложением этих функций в соответствующий тригонометрический ряд.

Исследование численными методами [ править ]

Аппроксимируя непрерывную струну конечным числом равноудаленных массовых точек, получаем следующую физическую модель:

Если каждая материальная точка имеет массу m , натяжение струны равно f , расстояние между массовыми точками равно Δ x и u _i , i = 1,…, n - смещение этих n точек от их точек равновесия (т. Е. их положение на прямой между двумя точками крепления струны) вертикальная составляющая силы по направлению к точке i + 1 равна

${\displaystyle {\frac {u_{i+1}-u_{i}}{\Delta x}}f}$

( 1 )

а вертикальная составляющая силы по направлению к точке i - 1 равна

${\displaystyle {\frac {u_{i-1}-u_{i}}{\Delta x}}f}$

( 2 )

Суммируя эти две силы и поделив на массу m, получаем для вертикального движения:

${\displaystyle {\ddot {u}}_{i}=\left({\frac {f}{m\Delta x}}\right)\left(u_{i+1}+u_{i-1}-2u_{i}\right)}$

( 3 )

Поскольку массовая плотность равна

${\displaystyle \rho ={\frac {m}{\Delta x}}}$

это можно написать

${\displaystyle {\ddot {u}}_{i}=\left({\frac {f}{\rho {\Delta x}^{2}}}\right)\left(u_{i+1}+u_{i-1}-2u_{i}\right)}$

( 4 )

Волновое уравнение получается, если Δ x → 0, и в этом случае u _i ( t ) принимает вид u ( x , t ), где u ( x , t ) - непрерывная функция двух переменных,··ты _япринимает вид ∂ ² u / ∂ t ² и

${\displaystyle {\frac {u_{i+1}+u_{i-1}-2u_{i}}{{\Delta x}^{2}}}\to {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

Но дискретная формулировка ( 3 ) уравнения состояния с конечным числом массовых точек как раз подходит для численного распространения движения струны. Граничное условие

${\displaystyle u(0,t)=u(L,t)=0}$

где L - длина струны принимает в дискретной формулировке вид, что для крайних точек u ₁ и u _n уравнения движения имеют вид

${\displaystyle {\ddot {u}}_{1}={\left({\frac {c}{\Delta x}}\right)}^{2}\left(u_{2}-2u_{1}\right)}$

( 5 )

и

${\displaystyle {\ddot {u}}_{n}={\left({\frac {c}{\Delta x}}\right)}^{2}\left(u_{n-1}-2u_{n}\right)}$

( 6 )

а для 1 < i < n

${\displaystyle {\ddot {u}}_{i}={\left({\frac {c}{\Delta x}}\right)}^{2}\left(u_{i+1}+u_{i-1}-2u_{i}\right)}$

( 7 )

где c = √ f / ρ .

Если струна аппроксимирована 100 дискретными материальными точками, получается 100 связанных дифференциальных уравнений второго порядка ( 5 ), ( 6 ) и ( 7 ) или эквивалентно 200 связанных дифференциальных уравнений первого порядка.

Распространение их до времени

${\displaystyle {\frac {L}{c}}k(0.05),\,k=0,\cdots ,5}$

Используя многоступенчатый метод 8-го порядка, находятся 6 состояний, показанных на рисунке 2:

Красная кривая - это начальное состояние в нулевой момент времени, в котором струна «освобождена» в заранее определенной форме ^[13] со всеми . Синяя кривая - это состояние во времени, то есть по истечении времени, которое соответствует времени, в течение которого волна, движущаяся с номинальной волновой скоростью c = √ f / ρ , потребует одну четвертую длины струны.${\displaystyle {\dot {u}}_{i}=0}$${\displaystyle {\tfrac {L}{c}}(0.25),}$

На рисунке 3 показана форма струны в моменты времени . Волна движется в правильном направлении со скоростью c = √ f / ρ без активного ограничения граничными условиями на двух крайних точках струны. Форма волны постоянна, т.е. кривая действительно имеет форму f ( x - ct ) .${\displaystyle {\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=6,\cdots ,11}$

На рисунке 4 показана форма струны в моменты времени . Ограничение на правом краю начинает мешать движению, не позволяя волне поднять конец струны.${\displaystyle {\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=12,\cdots ,17}$

На рисунке 5 показана форма струны в моменты, когда направление движения меняется на противоположное. Красная, зеленая и синяя кривые - это состояния в моменты времени, а 3 черные кривые соответствуют состояниям в моменты времени, когда волна начинает двигаться назад влево.${\displaystyle {\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=18,\cdots ,23}$${\displaystyle {\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=18,\cdots ,20}$${\displaystyle {\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=21,\cdots ,23}$

На рисунках 6 и 7, наконец, показана форма струны в моменты времени и . Теперь волна движется влево, и ограничения в конечных точках больше не действуют. Когда, наконец, появится другой край струны, направление снова изменится на обратное, как показано на рисунке 6.${\displaystyle {\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=24,\cdots ,29}$${\displaystyle {\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=30,\cdots ,35}$

Несколько пространственных измерений [ править ]

Одномерная начально-краевая теория может быть расширена до произвольного числа пространственных измерений. Рассмотрим область D в м - мерном х пространства, с границей B . Тогда волновое уравнение должно выполняться, если x находится в D и t > 0. На границе D решение u должно удовлетворять

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}+au=0,\,}$

где п есть единичный вектор внешней нормали к B , а является неотрицательной функцией , определенной на B . Случай , когда у обращается в нуль на B является предельным случаем для более приближающейся бесконечности. Начальные условия:

${\displaystyle u(0,x)=f(x),\quad u_{t}(0,x)=g(x),\,}$

где f и g определены в D. Эта проблема может быть решена путем разложения f и g по собственным функциям лапласиана в D, которые удовлетворяют граничным условиям. Таким образом, собственная функция v удовлетворяет

${\displaystyle \nabla \cdot \nabla v+\lambda v=0,\,}$

в D и

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial n}}+av=0,\,}$

на Б.

В случае двух пространственных измерений собственные функции можно интерпретировать как режимы колебаний барабанной пластинки, натянутой на границу B. Если B - круг, то эти собственные функции имеют угловую составляющую, которая является тригонометрической функцией полярного угла θ. , умноженное на функцию Бесселя (целого порядка) радиальной составляющей. Дальнейшие детали находятся в уравнении Гельмгольца .

Если граница является сферой в трех измерениях пространства, угловые компоненты собственных функций являются сферическими гармониками , а радиальные компоненты - функциями Бесселя полуцелого порядка.

Неоднородное волновое уравнение в одном измерении [ править ]

Неоднородное волновое уравнение в одном измерении имеет следующий вид:

${\displaystyle u_{tt}(x,t)-c^{2}u_{xx}(x,t)=s(x,t)\,}$

с начальными условиями, заданными

${\displaystyle u(x,0)=f(x)\,}$

${\displaystyle u_{t}(x,0)=g(x)\,}$

Функцию s ( x , t ) часто называют функцией источника, поскольку на практике она описывает влияние источников волн на несущую их среду. Физические примеры функций источника включают в себя силу , движущую волну на строке, или заряд или плотность тока в калибровке Лоренца от электромагнетизма .

Один из методов решения задачи начального значения (с начальными значениями, как указано выше) состоит в использовании особого свойства волнового уравнения в нечетном числе пространственных измерений, а именно, что его решения учитывают причинность. То есть для любой точки ( x _i , t _i ) значение u ( x _i , t _i ) зависит только от значений f ( x _i + ct _i ) и f ( x _i - ct _i ) и значения функцииg ( x ) между ( x _i - ct _i ) и ( x _i + ct _i ) . Это можно увидеть в формуле Даламбера , изложенной выше, где только эти величины присутствуют в ней. Физически, если максимальная скорость распространения равна c , то никакая часть волны, которая не может распространиться в данную точку за данный момент времени, не может повлиять на амплитуду в той же точке и в тот же момент времени.

С точки зрения поиска решения, это свойство причинности означает, что для любой заданной точки на рассматриваемой линии единственной областью, которую необходимо учитывать, является область, охватывающая все точки, которые могут причинно повлиять на рассматриваемую точку. Обозначим область , которая влияет случайно точку ( х _я , т _I ) , как R _C . Предположим, мы интегрируем неоднородное волновое уравнение по этой области.

${\displaystyle \iint \limits _{R_{C}}\left(c^{2}u_{xx}(x,t)-u_{tt}(x,t)\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} t=\iint \limits _{R_{C}}s(x,t)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} t.}$

Чтобы значительно упростить это, мы можем использовать теорему Грина, чтобы упростить левую часть, чтобы получить следующее:

${\displaystyle \int _{L_{0}+L_{1}+L_{2}}\left(-c^{2}u_{x}(x,t)\,\mathrm {d} t-u_{t}(x,t)\mathrm {d} x\right)=\iint \limits _{R_{C}}s(x,t)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} t.}$

Левая часть теперь представляет собой сумму трех линейных интегралов по границам области причинности. Их довольно легко вычислить.

${\displaystyle \int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}-u_{t}(x,0)\,\mathrm {d} x=-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,\mathrm {d} x.}$

Вышеупомянутый член, который нужно интегрировать по времени, исчезает, потому что задействованный временной интервал равен нулю, поэтому d t = 0.

Для двух других сторон области стоит отметить, что x ± ct является константой, а именно x _i ± ct _i , где знак выбран соответствующим образом. Используя это, мы можем получить соотношение d x ± c d t = 0 , снова выбрав правильный знак:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{L_{1}}\left(-c^{2}u_{x}(x,t)\,\mathrm {d} t-u_{t}(x,t)\,\mathrm {d} x\right)&=\int _{L_{1}}\left(cu_{x}(x,t)\,\mathrm {d} x+cu_{t}(x,t)\,\mathrm {d} t\right)\\&=c\int _{L_{1}}\,\mathrm {d} u(x,t)\\&=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i}).\end{aligned}}}$

И аналогично для последнего граничного сегмента:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{L_{2}}\left(-c^{2}u_{x}(x,t)\,\mathrm {d} t-u_{t}(x,t)\,\mathrm {d} x\right)&=-\int _{L_{2}}\left(cu_{x}(x,t)\,\mathrm {d} x+cu_{t}(x,t)\,\mathrm {d} t\right)\\&=-c\int _{L_{2}}\,\mathrm {d} u(x,t)\\&=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i}).\end{aligned}}}$

Складываем три результата вместе и возвращаем их в исходный интеграл:

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{R_{C}}s(x,t)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} t&=-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,\mathrm {d} x+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i})+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})\\&=2cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}$

Решая относительно u ( x _i , t _i ), мы приходим к

${\displaystyle u(x_{i},t_{i})={\frac {f(x_{i}+ct_{i})+f(x_{i}-ct_{i})}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,\mathrm {d} x+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t_{i}}\int _{x_{i}-c\left(t_{i}-t\right)}^{x_{i}+c\left(t_{i}-t\right)}s(x,t)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} t.}$

В последнем уравнении последовательности явно указаны границы интеграла по функции источника. Глядя на это решение, которое справедливо для всех вариантов ( x _i , t _i ), совместимых с волновым уравнением, становится ясно, что первые два члена являются просто формулой Даламбера, как указано выше как решение однородного волнового уравнения в одном измерении. Разница в третьем слагаемом - интеграле по источнику.

Другие системы координат [ править ]

В трех измерениях волновое уравнение, записанное в эллиптических цилиндрических координатах , может быть решено путем разделения переменных, что приводит к дифференциальному уравнению Матье .

Дальнейшие обобщения [ править ]

Упругие волны [ править ]

Уравнение упругой волны (также известное как уравнение Навье – Коши ) в трех измерениях описывает распространение волн в изотропной однородной упругой среде. Большинство твердых материалов эластичны, поэтому это уравнение описывает такие явления, как сейсмические волны на Земле и ультразвуковые волны, используемые для обнаружения дефектов в материалах. Хотя это уравнение является линейным, оно имеет более сложную форму, чем приведенные выше уравнения, поскольку оно должно учитывать как продольное, так и поперечное движение:

${\displaystyle \rho {\ddot {\mathbf {u} }}=\mathbf {f} +(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} )}$

куда:

• λ и μ - так называемые параметры Ламе, описывающие упругие свойства среды,
• ρ - плотность,
• f - функция источника (движущая сила),
• и у является вектором смещения.

Используя ∇ × (∇ × u ) = ∇ (∇ ⋅ u ) - ∇ ⋅ ∇ u = ∇ (∇ ⋅ u ) - ∆ u, уравнение упругой волны можно переписать в более общую форму уравнения Навье – Коши.

Обратите внимание, что в уравнении упругой волны и сила, и смещение являются векторными величинами. Таким образом, это уравнение иногда называют векторным волновым уравнением. В качестве помощи для понимания читатель заметит, что если f и ∇ ⋅ u установлены в ноль, это становится (фактически) уравнением Максвелла для распространения электрического поля E , которое имеет только поперечные волны.

Отношение дисперсии [ править ]

В диспергирующих волновых явлениях скорость распространения волны зависит от длины волны, которая отражается дисперсионным соотношением

${\displaystyle \omega =\omega (\mathbf {k} ),}$

где ω - угловая частота, а k - волновой вектор, описывающий плоские волновые решения. Для световых волн закон дисперсии ω = ± c | k | , но в целом постоянная скорость c заменяется переменной фазовой скоростью :

${\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega (k)}{k}}.}$

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• MF Atiyah, R. Bott, L. Garding, " Лакуны для гиперболических дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами I ", Acta Math. , 124 (1970), 109–189.
• MF Atiyah, R. Bott, L. Garding, " Лакуны для гиперболических дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами II ", Acta Math. , 131 (1973), 145–206.
• Р. Курант, Д. Гильберт, Методы математической физики, т. II . Interscience (Wiley), Нью-Йорк, 1962 год.
• Л. Эванс, "Уравнения в частных производных". Провиденс Американского математического общества, 1998.
• « Линейные волновые уравнения », EqWorld: мир математических уравнений.
• « Нелинейные волновые уравнения », EqWorld: мир математических уравнений.
• Уильям С. Лейн, " MISN-0-201 Волновое уравнение и его решения ", проект PHYSNET .

Внешние ссылки [ править ]

• Нелинейных волновых уравнений с помощью Стивена Вольфрама и Роб Кнапп, нелинейного волнового уравнения проводника от Wolfram Demonstrations проекта .
• Математические аспекты волновых уравнений обсуждаются на Dispersive PDE Wiki .
• Грэм В. Гриффитс и Уильям Э. Шиссер (2009). Линейные и нелинейные волны . Scholarpedia , 4 (7): 4308. DOI: 10.4249 / scholarpedia.4308

Викискладе есть медиафайлы, связанные с волновым уравнением .