Ядро (линейная алгебра)

В математике , то ядро из линейной карты , также известное как нуль - пространство или нуль - пространство , является линейным подпространством в области карты , которая отображается на нулевой вектор. ^{[1] [2]} То есть, учитывая линейное отображение L  : V → W между двумя векторными пространствами V и W , ядро L является векторным пространством всех элементов v из V таких, что L ( v ) = 0, где 0 обозначает нулевой вектор в W , ^[3] или более символически:

${\displaystyle \ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}.}$

Свойства [ править ]

Ядро и образ отображения L .

Ядро L представляет собой линейное подпространство в области V . ^{[4] [3]} В линейном отображении L  : V → W два элемента V имеют один и тот же образ в W тогда и только тогда, когда их различие лежит в ядре L :

${\displaystyle L(\mathbf {v} _{1})=L(\mathbf {v} _{2})\iff L(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})=\mathbf {0} .}$

Из этого следует , что образ L является изоморфно к фактору из V по ядру:

${\displaystyle \operatorname {im} (L)\cong V/\ker(L).}$

В случае , когда V является конечномерным , то отсюда следует теорема ранга дефектности :

${\displaystyle \dim(\ker L)+\dim(\operatorname {im} L)=\dim(V).}$

где, рангом мы понимаем размерность образа L , и ничтожности , что из ядра L . ^[5]

Когда V является пространством внутреннего произведения , фактор V / ker ( L ) можно отождествить с ортогональным дополнением в V к ker ( L ) . Это обобщение линейных операторов пространства строк или кообраза матрицы.

Приложение к модулям [ править ]

Понятие ядра также имеет смысл для гомоморфизмов из модулей , которые являются обобщением векторных пространств , где скаляры являются элементами кольца , а не в поле . Область отображения - это модуль, а ядро ​​составляет подмодуль . Здесь понятия ранга и недействительности не обязательно применимы.

В функциональном анализе [ править ]

Если V и W являются топологические векторные пространства таким образом, что W конечномерно, то линейный оператор L :  V  →  W является непрерывной тогда и только тогда , когда ядро L является замкнутым подпространством V .

Представление как матричное умножение [ править ]

Рассмотрим линейное отображение , представленное как т × п матрицы А с коэффициентами в поле К (обычно или ), который действует на вектор - столбцов х с п составляющими над K . Ядром этой линейной карты является набор решений уравнения A x = 0 , где 0 понимается как нулевой вектор . Размерность ядра А называется недействительность из A . В набор-строитель нотации ,${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \operatorname {N} (A)=\operatorname {Null} (A)=\operatorname {ker} (A)=\left\{\mathbf {x} \in K^{n}|A\mathbf {x} =\mathbf {0} \right\}.}$

Матричное уравнение эквивалентно однородной системе линейных уравнений :

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} \;\;\Leftrightarrow \;\;{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{alignedat}}}$

Таким образом, ядро ​​матрицы A совпадает с решением вышеуказанных однородных уравнений.

Свойства подпространства [ править ]

Ядро матрицы A размера m × n над полем K является линейным подпространством в K ⁿ . То есть ядро A , множество Null ( A ), имеет следующие три свойства:

1. Null ( A ) всегда содержит нулевой вектор , поскольку A 0 = 0 .
2. Если x ∈ Null ( A ) и y ∈ Null ( A ) , то x + y ∈ Null ( A ) . Это следует из дистрибутивности умножения матриц над сложением.
3. Если x ∈ Null ( A ) и c - скаляр c ∈ K , то c x ∈ Null ( A ) , поскольку A ( c x ) = c ( A x ) = c 0 = 0 .

Пространство строки матрицы [ править ]

Произведение A x может быть записано в терминах скалярного произведения векторов следующим образом:

${\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}.}$

Здесь ₁ , ..., _м обозначают строки матрицы A . Отсюда следует , что х находится в ядре А , тогда и только тогда , когда х является ортогональным (или перпендикулярно) к каждому из векторов - строк A (поскольку ортогональности определен как имеющий скалярное произведение 0).

Пространство строк или кообраз, из матрицы А является оболочкой из векторов - строк A . По приведенным выше рассуждениям ядро A является ортогональным дополнением к пространству строк. То есть, вектор х лежит в ядре А , тогда и только тогда , когда она перпендикулярна каждый вектор в пространстве строки A .

Размер строки пространства А называется ранг из А , а размерность ядра А называется недействительность из A . Эти величины связаны теоремой ранга – недействительности

${\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n.}$^[5]

Оставшееся пустое пространство [ править ]

Левое пространство нуль или Коядро , из матрицы A состоит из всех векторов - столбцов х , такие , что х ^T A  =  0 ^Т , где Т означает транспонирование матрицы. Левый нуль - пространство А такое же , как ядро A ^T . Левое пустое пространство для A является ортогональным дополнением к колонку пространству от А , и двойственно коядру ассоциированного линейного преобразования. Ядро, пространство строк, пространство столбцов и левое пустое пространство Aявляются четыре основных подпространства , связанные с матрицей А .

Неоднородные системы линейных уравнений [ править ]

Ядро также играет роль в решении неоднородной системы линейных уравнений:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} \quad {\text{or}}\quad {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}}$

Если u и v - два возможных решения вышеуказанного уравнения, то

${\displaystyle A(\mathbf {u} -\mathbf {v} )=A\mathbf {u} -A\mathbf {v} =\mathbf {b} -\mathbf {b} =\mathbf {0} \,}$

Таким образом, разность любых двух решений уравнения А х  =  Ь лежит в ядре A .

Отсюда следует, что любое решение уравнения A x  =  b может быть выражено как сумма фиксированного решения v и произвольного элемента ядра. То есть набор решений уравнения A x  =  b равен

${\displaystyle \left\{\mathbf {v} +\mathbf {x} \mid A\mathbf {v} =\mathbf {b} \land \mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)\right\},}$

С геометрической точки зрения это означает, что решение, заданное для A x  =  b, является переносом ядра A на вектор v . См. Также альтернативу Фредгольма и плоскость (геометрия) .

Иллюстрация [ править ]

Ниже приводится простая иллюстрация вычисления ядра матрицы (см. § Вычисление методом исключения Гаусса ниже, где описаны методы, лучше подходящие для более сложных вычислений). Иллюстрация также затрагивает пространство строк и его связь с ядром.

Рассмотрим матрицу

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.}$

Ядро этой матрицы состоит из всех векторов ( x , y , z ) ∈ R 3, для которых

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

которая может быть выражена как однородная система линейных уравнений, включающая x , y и z :

${\displaystyle {\begin{aligned}2x+3y+5z&=0,\\-4x+2y+3z&=0.\end{aligned}}}$

Те же линейные уравнения могут быть записаны в матричной форме как:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].}$

С помощью исключения Гаусса – Жордана матрица может быть уменьшена до:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&1/16&0\\0&1&13/8&0\end{array}}\right].}$

Переписывая матрицу в виде уравнения, получаем:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {1}{16}}z\\y&=-{\frac {13}{8}}z.\end{aligned}}}$

Элементы ядра могут быть дополнительно выражены в параметрической форме следующим образом:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1/16\\-13/8\\1\end{bmatrix}}\quad ({\text{where }}c\in \mathbb {R} )}$

Поскольку c - это свободная переменная, охватывающая все действительные числа, это может быть выражено одинаково хорошо как:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.}$

Ядро A является в точности набором решений этих уравнений (в данном случае линия, проходящая через начало координат в R ³ ). Здесь, так как вектор (-1, -26,16) ^Т представляет собой основу из ядра A . Недействительность A равна 1.

Следующие скалярные произведения равны нулю:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\quad \mathrm {and} \quad {\begin{bmatrix}-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\mathrm {,} }$

которая иллюстрирует , что векторы в ядре A ортогональны к каждому из векторов - строк A .

Эти два (линейно независимых векторов - строк) охватывают пространство строк -a плоскости , ортогональной к вектору (-1, -26,16) ^T .

С рангом 2 для A , нулевым значением 1 для A и размерностью 3 для A у нас есть иллюстрация теоремы о ранге-нуле.

Примеры [ править ]

• Если L :  R ^m  →  R ⁿ , то ядро L является множеством решений однородной системы линейных уравнений . Как на иллюстрации выше, если L - оператор:

${\displaystyle L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+3x_{3})}$

то ядро L - это множество решений уравнений

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1}&\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{alignedat}}}$

• Обозначим через C [0,1] векторное пространство всех непрерывных вещественнозначных функций на интервале [0,1] и определим L :  C [0,1] →  R по правилу

${\displaystyle L(f)=f(0.3){\text{.}}\,}$

Тогда ядро L состоит из всех функций f  ∈  C [0,1], для которых f (0.3) = 0.

• Пусть C ^∞ ( R ) - векторное пространство всех бесконечно дифференцируемых функций R  →  R , и пусть D :  C ^∞ ( R ) →  C ^∞ ( R ) - оператор дифференцирования :

${\displaystyle D(f)={\frac {df}{dx}}{\text{.}}}$

Тогда ядро D состоит из всех функций из C ^∞ ( R ), производные которых равны нулю, т.е. множества всех постоянных функций .

• Пусть R ^∞ - прямое произведение бесконечного числа копий R , и пусть s :  R ^∞  →  R ^∞ - оператор сдвига

${\displaystyle s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ){\text{.}}}$

Тогда ядро s - это одномерное подпространство, состоящее из всех векторов ( x ₁ , 0, 0, ...).

• Если V представляет собой внутреннее пространство продукта и W есть подпространство, ядро ортогональной проекции V  →  W является ортогональным дополнением к W в V .

Вычисление методом исключения Гаусса [ править ]

Базис ядра матрицы может быть вычислена путем исключения Гаусса .

С этой целью для данной матрицы A размера m × n мы сначала строим матрицу с дополнениями по строкам, где I - единичная матрица размера n × n . ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}},}$

Вычисляя его эшелонированную форму столбцов с помощью исключения Гаусса (или любого другого подходящего метода), мы получаем матрицу A, базис ядра A состоит из ненулевых столбцов C , так что соответствующий столбец B является нулевым столбцом .${\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}.}$

Фактически, вычисление может быть остановлено, как только верхняя матрица находится в форме эшелона столбцов: оставшаяся часть вычислений состоит в изменении базиса векторного пространства, генерируемого столбцами, верхняя часть которых равна нулю.

Например, предположим, что

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$

потом

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Помещение верхней части в эшелонированную форму столбцов с помощью операций с столбцами на всей матрице дает

${\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&-7&9\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Последние три столбца B - нулевые столбцы. Следовательно, три последних вектора C ,

${\displaystyle \left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{array}}\right]}$

является основой ядра A .

Доказательство того, что метод вычисляет ядро: поскольку операции с столбцами соответствуют постумножению на обратимые матрицы, факт, сводящийся к тому, что существует обратимая матрица, такая, что с формой эшелона столбцов. Таким образом, и вектор-столбец принадлежит ядру (то есть ) тогда и только тогда, когда As находится в форме эшелона столбцов, тогда и только тогда, когда ненулевые элементы соответствуют нулевым столбцам By, умножая на , можно сделать вывод, что это случай тогда и только тогда, когда является линейной комбинацией соответствующих столбцов${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}P={\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}},}$${\displaystyle B}$${\displaystyle AP=B,}$ ${\displaystyle IP=C,}$${\displaystyle AC=B.}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {0} }$${\displaystyle B\mathbf {w} =\mathbf {0} ,}$${\displaystyle \mathbf {w} =P^{-1}\mathbf {v} =C^{-1}\mathbf {v} .}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B\mathbf {w} =\mathbf {0} ,}$${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle B.}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbf {v} =C\mathbf {w} }$${\displaystyle C.}$

Числовые вычисления [ править ]

Проблема вычисления ядра на компьютере зависит от характера коэффициентов.

Точные коэффициенты [ править ]

Если коэффициенты матрицы являются точно заданными числами, форма столбцов матрицы может быть вычислена с помощью алгоритма Барейсса более эффективно, чем с помощью исключения Гаусса. Еще более эффективно использовать модульную арифметику и китайскую теорему об остатках , которая сводит проблему к нескольким аналогичным задачам над конечными полями (это позволяет избежать накладных расходов, вызванных нелинейностью вычислительной сложности целочисленного умножения). ^{[ необходима цитата ]}

Для коэффициентов в конечном поле метод исключения Гаусса работает хорошо, но для больших матриц, которые встречаются в криптографии и вычислении базиса Гребнера , известны лучшие алгоритмы, которые имеют примерно такую ​​же вычислительную сложность , но быстрее и лучше работают с современным компьютерным оборудованием . ^{[ необходима цитата ]}

Вычисление с плавающей запятой [ править ]

Для матриц, элементы которых являются числами с плавающей запятой , проблема вычисления ядра имеет смысл только для таких матриц, в которых количество строк равно их рангу: из-за ошибок округления матрица с плавающей запятой почти всегда имеет полный ранг. , даже если это аппроксимация матрицы гораздо меньшего ранга. Даже для полноранговой матрицы возможно вычислить ее ядро, только если она хорошо обусловлена , т. Е. Имеет низкое число обусловленности . ^{[6] [ необходима ссылка ]}

Даже для хорошо обусловленной матрицы полного ранга метод исключения Гаусса ведет себя некорректно: он приводит к ошибкам округления, которые слишком велики для получения значимого результата. Поскольку вычисление ядра матрицы является частным случаем решения однородной системы линейных уравнений, ядро ​​может быть вычислено с помощью любого из различных алгоритмов, предназначенных для решения однородных систем. Современное программное обеспечение для этой цели - библиотека Lapack . ^{[ необходима цитата ]}

См. Также [ править ]

Примечания и ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Done Right (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0.
• Лэй, Дэвид С. (2005), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 978-0-321-28713-7.
• Мейер, Карл Д. (2001), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, Архивируются с оригинала на 2009-10-31.
• Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Брукс / Коул, ISBN 0-534-99845-3.
• Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (прикладная версия) (9-е изд.), Wiley International.
• Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Пирсон Прентис Холл.
• Ланг, Серж (1987). Линейная алгебра . Springer. ISBN 9780387964126.
• Trefethen, Lloyd N .; Бау, Дэвид III (1997), Числовая линейная алгебра , SIAM, ISBN 978-0-89871-361-9.

Внешние ссылки [ править ]

В Викиучебнике есть книга на тему: Линейная алгебра / Нулевые пространства.

• "Ядро матрицы" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Khan Academy , Введение в нулевое пространство матрицы