Пространства строк и столбцов

Векторы-строки матрицы . Пространство строк этой матрицы - это векторное пространство, созданное линейными комбинациями векторов-строк.

Векторы-столбцы матрицы . Пространство столбцов этой матрицы - это векторное пространство, созданное линейными комбинациями векторов-столбцов.

В линейной алгебре , то столбец пространство (также называемый диапазон или изображений ) из матрицы A является оболочка (набор всех возможных линейных комбинаций ) его векторов - столбцов . Пространство столбцов матрицы - это изображение или диапазон соответствующего преобразования матрицы .

Позвольте быть поле . Колонка пространство в $м$ $\times$ $п$ матрицы с компонентами является линейным подпространством в м - пространстве . Размерность пространства столбца называется рангом матрицы и составляет не более $мин ($ $м$ $,$ $п$ $)$ . ^[1] Определение для матриц над кольцом также возможно . ${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {F} ^ {m}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$

Строка пространство определяется аналогично.

Пространство строки и пространство столбца матрицы $A$ иногда обозначают как $C (A T)$ и $C (A)$ соответственно. ^[2]

В статье рассматриваются матрицы действительных чисел . Пространства строк и столбцов являются подпространствами реальных пространств и соответственно. ^[3] ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$

Обзор [ править ]

Пусть $A$ - матрица размером $m на$ $n$ . потом

$rank (A) = dim (rowsp (A)) = dim (colsp (A))$ , ^[4]
$ранг (A)$ = количество опорных точек в любом эшелоне формы $A$ ,
$Оценка ( )$ = максимальное число линейно независимых строк или столбцов $A$ . ^[5]

Если рассматривать матрицу как линейное преобразование из в , то пространство столбцов матрицы равно изображению этого линейного преобразования. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$

Столбец пространство матрицы $A$ есть множество всех линейных комбинаций столбцов в $A$ . Если $A = [a 1 \dots a n]$ , то $colsp (A) = span ({a 1,\dots, a n})$ .

Концепция ряд космических обобщается матрицы над , полем комплексных чисел или над любым полем . ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Интуитивно, учитывая матрицу $A$ , действие матрицы $A$ на вектор $x$ вернет линейную комбинацию столбцов $A,$ взвешенных по координатам $x в$ качестве коэффициентов. Другой способ смотреть на это является то , что он будет (1) первый проект $х$ в строке пространства $А$ , (2) выполняет обратимый преобразование, и (3) место результирующий вектор $у$ в пространстве столбцов матрицы $A$ . Таким образом, результат $у = х$ должны находиться в пространстве столбцов матрицы $A$ . См. Разложение по сингулярным числамдля получения более подробной информации об этой второй интерпретации. ^{[ требуется разъяснение ]}

Пример [ править ]

Учитывая матрицу $J$ :

{\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} 2 & 4 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & -2 & 1 & 0 & 5 \\ 1 & 6 & 2 & 2 & 2 \\ 3 & 6 & 2 & 5 & 1 \ end {bmatrix}}}

строки являются , , , . Следовательно, пространство строк $J$ - это подпространство, натянутое на ${$ $r$ $1$ $,$ $r$ $2$ $,$ $r$ $3$ $,$ $r$ $4$ $}$ . Поскольку эти четыре вектора-строки линейно независимы , пространство строк является 4-мерным. Более того, в этом случае видно, что все они ортогональны вектору $n$ $= [6, -1, 4, -4, 0]$ , поэтому можно сделать вывод, что пространство строк состоит из всех векторов в , которые ортогональны к $п$ . ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1} = {\ begin {bmatrix} 2 & 4 & 1 & 3 & 2 \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {2} = {\ begin {bmatrix} -1 & -2 & 1 & 0 & 5 \ end {bmatrix}}}$ $\mathbf {r} _{3}={\begin{bmatrix}1&6&2&2&2\end{bmatrix}}$ $\mathbf {r} _{4}={\begin{bmatrix}3&6&2&5&1\end{bmatrix}}$ $\mathbb {R} ^{5}$ $\mathbb {R} ^{5}$

Колонка [ править ]

Определение [ править ]

Пусть $K$ является полем из скаляров . Пусть $A$ - матрица размера $m \times n$ с векторами-столбцами $v 1, v 2,\dots, v n$ . Линейная комбинация этих векторов является любой вектор вида

c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n},

где $c 1, c 2,\dots, c n$ - скаляры. Множество всех возможных линейных комбинаций $об 1, ..., V п$ называется столбец пространства из $A$ . То есть пространство столбцов $A$ - это промежуток векторов $v 1,\dots, v n$ .

Любая линейная комбинация векторов-столбцов матрицы $A$ может быть записана как произведение $A$ на вектор-столбец:

{\begin{array}{rcl}A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}a_{11}+\cdots +c_{n}a_{1n}\\\vdots \\c_{1}a_{m1}+\cdots +c_{n}a_{mn}\end{bmatrix}}=c_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+\cdots +c_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}\\&=&c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{array}}

Следовательно, пространство столбцов матрицы $A$ состоит из всех возможных произведений $A x$ для $x \in C n$ . Это то же самое, что и изображение (или диапазон ) соответствующего матричного преобразования .

Пример

Если , то векторы столбцов

V

1

= [1, 0, 2]

T

и

V

2

= [0, 1, 0]

T

.

A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\2&0\end{bmatrix}}

Линейная комбинация v ₁ и v ₂ - это любой вектор вида

c_{1}{\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\2c_{1}\end{bmatrix}}\,

Множество всех таких векторов столбцов пространство

A

. В этом случае пространство столбцов - это в точности набор векторов

(x, y, z) \in R 3,

удовлетворяющих уравнению

z = 2 x

(с использованием декартовых координат , этот набор представляет собой плоскость, проходящую через начало координат в трехмерном пространстве ).

Основа [ править ]

Столбцы $A$ охватывают пространство столбцов, но они не могут образовывать основу, если векторы столбцов не являются линейно независимыми . К счастью, элементарные операции со строками не влияют на отношения зависимости между векторами-столбцами. Это позволяет использовать сокращение строк, чтобы найти основу для пространства столбцов.

Например, рассмотрим матрицу

A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}.

Столбцы этой матрицы охватывают пространство столбцов, но они не могут быть линейно независимыми , и в этом случае некоторое их подмножество будет составлять основу. Чтобы найти это основание, приведем $A$ к сокращенной форме эшелона строк :

{\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\0&1&1&1\\0&2&2&-3\\0&-1&-1&4\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&1\\0&1&1&1\\0&0&0&-5\\0&0&0&5\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.

^[6]

На данный момент ясно, что первый, второй и четвертый столбцы линейно независимы, а третий столбец представляет собой линейную комбинацию первых двух. (В частности, $v 3 = -2 v 1 + v 2.$ ) Следовательно, первый, второй и четвертый столбцы исходной матрицы являются основой для пространства столбцов:

{\begin{bmatrix}1\\2\\1\\1\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}3\\7\\5\\2\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}4\\9\\1\\8\end{bmatrix}}.

Обратите внимание, что независимые столбцы сокращенной формы эшелона строк - это в точности столбцы со сводными точками . Это позволяет определить, какие столбцы являются линейно независимыми, сводя их только к эшелонированной форме .

Вышеупомянутый алгоритм может использоваться в общем для поиска отношений зависимости между любым набором векторов и для выбора основы из любого связующего набора. Кроме того, найти основу для столбца пространства $A$ эквивалентно нахождению основы для строки пространства транспонированной матрицы $T$ .

Чтобы найти основу в практических условиях (например, для больших матриц), обычно используется разложение по сингулярным числам .

Размер [ править ]

Размерность пространства столбца называется рангом матрицы. Ранг равен количеству опорных точек в сокращенной форме эшелона строк и является максимальным количеством линейно независимых столбцов, которые могут быть выбраны из матрицы. Например, матрица 4 × 4 в приведенном выше примере имеет третий ранг.

Поскольку пространство столбцов является изображением соответствующего преобразования матрицы , ранг матрицы такой же, как размер изображения. Например, преобразование, описанное вышеприведенной матрицей, отображает все в какое-то трехмерное подпространство . $\mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$

Дефектности матрицы представляет размерность нуль - пространства , и равно количеству столбцов в восстановленной форме строки эшелона , которые не имеют шарниров. ^[7] Ранг и недействительность матрицы $A$ с $n$ столбцами связаны уравнением:

\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n.\,

Это известно как теорема о ранге недействительности .

Отношение к левому пустому пространству [ править ]

Левый нуль - пространство из $А$ есть множество всех векторов $х$ , такое , что $х T A = 0 T$ . Это то же самое , как нуль - пространство в транспонированной из $A$ . Произведение матрицы $A T$ и вектора $x$ может быть записано в терминах скалярного произведения векторов:

A^{\mathsf {T}}\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {v} _{n}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},

потому , что векторы - строки из $A T$ являются транспонированные векторов - столбцов $v K$ из $A$ . Таким образом , $Т$ $х$ $=$ $0$ тогда и только тогда , когда $х$ является ортогональным (перпендикулярным) к каждому из векторов - столбцов $A$ .

Отсюда следует , что левое пространство нуля (нулевое пространство $A T$ ) является ортогональным дополнением к колонку пространству $A$ .

Для матрицы $A$ пространство столбцов, пространство строк, пустое пространство и левое пустое пространство иногда называют четырьмя фундаментальными подпространствами .

Для матриц над кольцом [ править ]

Точно так же пространство столбцов (иногда обозначаемое как пространство правого столбца) может быть определено для матриц над кольцом $K$ как

\sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}c_{k}

для любого $c 1,\dots, c n$ , с заменой векторного $m$ -пространства на « правый свободный модуль », который изменяет порядок скалярного умножения вектора $v k$ на скаляр $c k$ , так что он записывается в необычном вектор порядка - скаляр . ^[8]

Строка [ править ]

Определение [ править ]

Пусть $K$ является полем из скаляров . Пусть $A$ - матрица размера $m \times n$ с векторами-строками $r 1, r 2,\dots, r m$ . Линейная комбинация этих векторов является любой вектор вида

c_{1}\mathbf {r} _{1}+c_{2}\mathbf {r} _{2}+\cdots +c_{m}\mathbf {r} _{m},

где $c 1, c 2,\dots, c m$ - скаляры. Множество всех возможных линейных комбинаций $г 1, ..., г м$ называются строкой пространства из $A$ . То есть пространство строк $A$ - это промежуток векторов $r 1,\dots, r m$ .

Например, если

A={\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\end{bmatrix}},

тогда векторами-строками будут $r 1 = [1, 0, 2]$ и $r 2 = [0, 1, 0]$ . Линейная комбинация $r 1$ и $r 2$ - это любой вектор вида

c_{1}{\begin{bmatrix}1&0&2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&2c_{1}\end{bmatrix}}.

Множество всех таких векторов строки пространство $A$ . В этом случае пространство строк - это в точности набор векторов $(x, y, z) \in K 3,$ удовлетворяющих уравнению $z = 2 x$ (с использованием декартовых координат , этот набор представляет собой плоскость, проходящую через начало координат в трехмерном пространстве ).

Для матрицы, представляющей однородную систему линейных уравнений , пространство строк состоит из всех линейных уравнений, следующих из уравнений системы.

Столбец пространство $A$ равно пространству строк $A T$ .

Основа [ править ]

Пространство строк не зависит от элементарных операций со строками . Это позволяет использовать сокращение строк, чтобы найти основу для пространства строк.

Например, рассмотрим матрицу

A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}.

Строки этой матрицы охватывают пространство строк, но они не могут быть линейно независимыми , и в этом случае строки не будут базисом. Чтобы найти основу, сводим $A$ к форме эшелона строки :

$r 1$ , $r 2$ , $r 3$ представляют собой строки.

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}&\xrightarrow {\mathbf {r} _{2}-2\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{2}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\1&5&2\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{3}-\,\,\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&2&0\end{bmatrix}}\\&\xrightarrow {\mathbf {r} _{3}-2\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{1}-3\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{1}} {\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

Когда матрица находится в эшелонированной форме, ненулевые строки являются основой для пространства строк. В этом случае базис - ${[1, 3, 2], [2, 7, 4]}$ . Другой возможный базис ${[1, 0, 2], [0, 1, 0]}$ возникает в результате дальнейшего сокращения. ^[9]

Этот алгоритм может использоваться в общем для поиска основы для диапазона набора векторов. Если матрица дополнительно упрощается до уменьшенной формы эшелона строк , то результирующий базис однозначно определяется пространством строк.

Иногда вместо этого удобно найти основу для пространства строк из строк исходной матрицы (например, этот результат полезен для элементарного доказательства того, что детерминантный ранг матрицы равен ее рангу). Поскольку операции строк могут повлиять на линейную зависимость отношение векторов рядов, такой базис вместо найден косвенно используя тот факт , что столбец пространство $A T$ равно пространство строк $A$ . Используя приведенный выше пример матрицы $A$ , найдите $A T$ и приведите его к форме эшелона строк:

A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&2&1\\3&7&5\\2&4&2\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&2\\0&0&0\end{bmatrix}}.

Оси показывают , что первые два столбца $A T$ образуют базис в пространстве столбцов матрицы $A T$ . Таким образом, первые два ряда $A$ (до каких - либо сокращений строк) также образует основу строки пространства $A$ .

Размер [ править ]

Измерение из строки пространства называется рангом матрицы. Это то же самое, что и максимальное количество линейно независимых строк, которые можно выбрать из матрицы, или, что то же самое, количество точек поворота. Например, матрица 3 × 3 в приведенном выше примере имеет ранг два. ^[9]

Ранг матрицы также равен размеру пространства столбцов . Размерность нуль - пространства называется аннулированием матрицы, и связано с рангом по следующему уравнению:

\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n,

где $п$ есть число столбцов матрицы $A$ . Вышеприведенное уравнение известно как теорема ранга-недействительности .

Отношение к пустому пространству [ править ]

Нуль - пространство матрицы $A$ есть множество всех векторов $х$ , для которого $А х = 0$ . Произведение матрицы $A$ и вектора $x$ может быть записано в терминах скалярного произведения векторов:

A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {r} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {r} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},

где $R 1, ..., г м$ являются строки векторов $A$ . Таким образом , $х$ $=$ $0$ тогда и только тогда , когда $х$ является ортогональным (перпендикулярным) к каждому из векторов - строк $A$ .

Отсюда следует, что нулевое пространство $A$ является ортогональным дополнением к пространству строк. Например, если пространство строки представляет собой плоскость, проходящую через начало координат в трех измерениях, то пустое пространство будет перпендикулярной линией, проходящей через начало координат. Это обеспечивает доказательство теоремы о ранге-недействительности (см. Размерность выше).

Пространство строк и пустое пространство - это два из четырех основных подпространств, связанных с матрицей $A$ (два других - пространство столбцов и оставшееся пустое пространство ).

Отношение к coimage [ править ]

Если $V$ и $W$ являются векторные пространства , то ядро из линейного преобразования $Т : V \to W$ есть множество векторов $v \in V$ , для которых $Т (v) = 0$ . Ядро линейного преобразования аналогично пустому пространству матрицы.

Если $V$ - внутреннее пространство продукта , то ортогональное дополнение к ядру можно рассматривать как обобщение пространства строк. Это иногда называют кообраз из $T$ . Преобразование $Т$ взаимно однозначно на его кообраз и кообраз отображает изоморфно на изображение из $T$ .

Когда $V$ не является внутренним пространством продукта, кообраз $T$ может быть определен как фактор-пространство $V / ker (T)$ .

См. Также [ править ]

Евклидово подпространство

Ссылки и примечания [ править ]

^ Линейная алгебра, как обсуждается в этой статье, является очень хорошо известной математической дисциплиной, для которой существует множество источников. Почти весь материал в этой статье можно найти в Lay 2005, Meyer 2001 и Strang 2005.
Перейти ↑ Strang, Gilbert (2016). Введение в линейную алгебру (Пятое изд.). Уэлсли, Массачусетс: Wellesley-Cambridge Press. С. 128, 168. ISBN 978-0-9802327-7-6. OCLC 956503593 .
↑ Антон (1987 , стр.179)
↑ Антон (1987 , стр.183)
^ Борегард & Fraleigh (1973 , стр. 254)
^ В этом вычислении используетсяалгоритм сокращения строк Гаусса – Жордана . Каждый из показанных шагов включает в себя несколько элементарных операций со строками.
^ Столбцы без стержней представляют собой свободные переменные в связанной однородной системе линейных уравнений .
^ Важно, только если $K$ не коммутативен . Фактически, эта форма является просто произведением $A c$ матрицы $A$ на вектор-столбец $c$ из $K n,$ где порядок факторов сохраняется , в отличие от формулы выше .
^ a b Пример действителен для действительных чисел , рациональных чисел и других числовых полей . Это не обязательно верно для полей и колец с ненулевой характеристикой .

Дальнейшее чтение [ править ]

Антон, Ховард (1987), Элементарная линейная алгебра (5-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
Акслер, Шелдон Джей (1997), Linear Algebra Done Done Right (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
Банерджи, Судипто; Рой, Аниндья (6 июня 2014 г.), Линейная алгебра и матричный анализ для статистики (1-е изд.), CRC Press, ISBN 978-1-42-009538-8
Beauregard, Raymond A .; Фрали, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
Лэй, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 978-0-321-28713-7
Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Пирсон Прентис Холл
Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, Архивируются с оригинала на 1 марта 2001
Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Брукс / Коул, ISBN 0-534-99845-3
Стрэнг, Гилберт (19 июля 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (4-е изд.), Брукс Коул, ISBN 978-0-03-010567-8

Внешние ссылки [ править ]

В Викиучебнике есть книга на тему: Линейная алгебра / Пространства столбцов и строк.

Вайсштейн, Эрик В. «Пространство рядов» . MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. «Колонное пространство» . MathWorld .
Гилберт Стрэнг , Лекция по линейной алгебре Массачусетского технологического института по четырем фундаментальным подпространствам в Google Video, из MIT OpenCourseWare
Видеоурок Khan Academy
Лекция Гилберта Стрэнга из Массачусетского технологического института о пространстве столбцов и нулевом пространстве
Пространство строк и столбцов

[ReferenceA-1] Линейная алгебра, как обсуждается в этой статье, является очень хорошо известной математической дисциплиной, для которой существует множество источников. Почти весь материал в этой статье можно найти в Lay 2005, Meyer 2001 и Strang 2005.

[2] Перейти ↑ Strang, Gilbert (2016). Введение в линейную алгебру (Пятое изд.). Уэлсли, Массачусетс: Wellesley-Cambridge Press. С. 128, 168. ISBN 978-0-9802327-7-6. OCLC 956503593 .

[3] Антон (1987 , стр.179)

[4] Антон (1987 , стр.183)

[5] Борегард & Fraleigh (1973 , стр. 254)

[6] ^ В этом вычислении используетсяалгоритм сокращения строк Гаусса – Жордана . Каждый из показанных шагов включает в себя несколько элементарных операций со строками.

[7] Столбцы без стержней представляют собой свободные переменные в связанной однородной системе линейных уравнений .

[8] Важно, только если $K$ не коммутативен . Фактически, эта форма является просто произведением $A c$ матрицы $A$ на вектор-столбец $c$ из $K n,$ где порядок факторов сохраняется , в отличие от формулы выше .

[example-9] Пример действителен для действительных чисел , рациональных чисел и других числовых полей . Это не обязательно верно для полей и колец с ненулевой характеристикой .

[1]

vтеЛинейная алгебра
Основные понятия	Скалярный Вектор Векторное пространство Скалярное умножение Векторная проекция Линейный пролет Линейная карта Линейная проекция Линейная независимость Линейная комбинация Основа Смена основы Векторы строк и столбцов Пространства строк и столбцов Ядро Собственные значения и собственные векторы Транспонировать Линейные уравнения
Матрицы	Блокировать Разложение Обратимый Незначительный Умножение Классифицировать Трансформация Правило Крамера Гауссово исключение
Билинейный	Ортогональность Скалярное произведение Внутреннее пространство продукта Внешний продукт Процесс Грама – Шмидта
Полилинейная алгебра	Детерминант Перекрестное произведение Тройной продукт Семимерное перекрестное произведение Геометрическая алгебра Внешняя алгебра Бивектор Мультивектор Тензор Внешний морфизм
Конструкции векторного пространства	Двойной Прямая сумма Функциональное пространство Частное Подпространство Тензорное произведение
Числовой	Плавающая запятая Численная стабильность Основные подпрограммы линейной алгебры Разреженная матрица Сравнение библиотек линейной алгебры
Категория Контур Математический портал Commons Викибук Викиверситет