Индуцированная топология

В топологии и смежных областях математики , А.Н. индуцированная топология на топологическом пространстве является топологией , что делает данную ( индуцирующую ) функцию или набор функций непрерывных из этого топологического пространства. ^{[1] [2]}

Коиндуцированных топологии или конечная топология делает данную ( coinducing ) совокупность функций , непрерывных в этом топологическом пространстве. ^[3]

Определение [ править ]

Случай только одной функции [ править ]

Пусть это множество, .${\ Displaystyle X_ {0}, X_ {1}}$${\ displaystyle f: X_ {0} \ to X_ {1}}$

Если - топология на , то топология, созданная на , есть .${\ displaystyle \ tau _ {0}}$${\ displaystyle X_ {0}}$ ${\ displaystyle X_ {1}}$ ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle \ {U_ {1} \ substeq X_ {1} | f ^ {- 1} (U_ {1}) \ in \ tau _ {0} \}}$

Если - топология на , то топология, индуцированная на , есть .${\ Displaystyle \ тау _ {1}}$${\ displaystyle X_ {1}}$ ${\ displaystyle X_ {0}}$ ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle \ {е ^ {- 1} (U_ {1}) | U_ {1} \ in \ tau _ {1} \}}$

Самый простой способ запомнить приведенные выше определения - это заметить, что поиск обратного изображения используется в обоих. Это потому, что инверсный образ сохраняет объединение и пересечение . Поиск прямого изображения не сохраняет пересечение в целом. Вот пример, когда это становится препятствием. Рассмотрим набор с топологией , набором и функцией, такой что . Набор подмножеств - это не топология, потому что но .${\ Displaystyle X_ {0} = \ {- 2, -1,1,2 \}}$${\ Displaystyle \ {\ {- 2, -1 \}, \ {1,2 \} \}}$${\ Displaystyle X_ {1} = \ {- 1,0,1 \}}$${\ displaystyle f: X_ {0} \ to X_ {1}}$${\ Displaystyle f (-2) = - 1, f (-1) = 0, f (1) = 0, f (2) = 1}$${\ Displaystyle \ тау _ {1} = \ {е (U_ {0}) | U_ {0} \ in \ tau _ {0} \}}$${\ Displaystyle \ {\ {- 1,0 \}, \ {0,1 \} \} \ substeq \ tau _ {1}}$${\displaystyle \{-1,0\}\cap \{0,1\}\notin \tau _{1}}$

Ниже приведены эквивалентные определения.

Топология коиндуцирован на по является лучшим топологии таким образом, что является непрерывным . Это частный случай финальной топологии на .${\displaystyle \tau _{1}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (X_{0},\tau _{0})\to (X_{1},\tau _{1})}$${\displaystyle X_{1}}$

Топология, индуцированная с помощью, является самой грубой топологией , которая является непрерывной . Это частный случай исходной топологии на .${\displaystyle \tau _{0}}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (X_{0},\tau _{0})\to (X_{1},\tau _{1})}$${\displaystyle X_{0}}$

Общий случай [ править ]

Дано множество X и индексированный семейство ( Y _я ) _{я ∈ I} из топологических пространств с функциями

${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i},}$

топология на индуцированный этих функций является топология грубая на X таким образом, что каждый${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$

${\displaystyle f_{i}:(X,\tau )\to Y_{i}}$

является непрерывным . ^{[1] [2]}

Явно индуцированная топология - это набор открытых множеств, порожденный всеми множествами вида , где - открытое множество в для некоторого i ∈ I , при конечных пересечениях и произвольных объединениях. Наборы часто называют наборами цилиндров . Если I содержит ровно один элемент, все открытые множества являются цилиндрическими множествами.${\displaystyle f_{i}^{-1}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle f_{i}^{-1}(U)}$${\displaystyle (X,\tau )}$

Примеры [ править ]

• Топология фактор - топология коиндуцирован на карте фактор.
• Топология произведения является топология , индуцированная выступами .${\displaystyle {\text{proj}}_{j}:X\to X_{j}}$
• Если это отображение включения , то индуцирует на в топологии подпространства .${\displaystyle f:X_{0}\to X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X_{0}}$
• Слабая топология является то , что индуцированная двойным на топологическом векторном пространстве . ^[1]

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Ху, Сзе-Цен (1969). Элементы общей топологии . Холден-Дэй.

См. Также [ править ]

• Естественная топология
• Исходная топология и конечная топология используются как синонимы, хотя обычно только в том случае , когда (со) индуцирование коллекция состоит из более чем одной функции.