Набор цилиндров

В математике , А множество цилиндров представляет собой набор в стандартной основе для открытых множеств в топологии продукта ; они также являются производящим семейством цилиндрической σ-алгебры , которая в счетном случае является произведением σ-алгебры .

Наборы цилиндров особенно полезны в обеспечении основы естественной топологии продукта счетного числа копий набора . Если V - конечное множество , то каждый элемент V может быть представлен буквой, а счетное произведение может быть представлено набором строк букв.

Общее определение [ править ]

Учитывая набор наборов, рассмотрим декартово произведение всех наборов в коллекции. Каноническая проекция , соответствующая некоторым это функция , которая отображает каждый элемент продукта его компонента. Множество цилиндров является прообразом канонической проекции или конечного пересечения таких прообразов. В явном виде это набор формы,${\ displaystyle S}$ ${\ Displaystyle \ textstyle X = \ prod _ {Y \ in S} Y \,}$${\ displaystyle Y \ in S}$ ${\ displaystyle p_ {Y}: от X \ до Y}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} p_ {Y_ {i}} ^ {- 1} \ left (A_ {i} \ right) = \ left \ {\ left (x \ right) \ в X \ mid x_ {Y_ {1}} \ in A_ {1}, \ dots, x_ {Y_ {n}} \ in A_ {n} \ right \}}$

для любого выбора , конечная последовательность множеств и подмножеств для . Здесь обозначает компонент .${\ displaystyle n}$${\ displaystyle Y_ {1}, ... Y_ {n} \ in S}$ ${\ displaystyle A_ {i} \ substeq Y_ {i}}$${\ Displaystyle 1 \ Leq я \ Leq п}$${\ displaystyle x_ {Y} \ in Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle x \ in X}$

Затем, когда все множества в являются топологическими пространствами , топология продукта генерируется наборами цилиндров, соответствующими открытым множествам компонентов. То есть цилиндры вида где для каждого , открытого в . Точно так же в случае измеримых пространств цилиндрическая σ-алгебра - это та, которая порождается цилиндрическими множествами, соответствующими измеримым множествам компонентов. Для счетного произведения цилиндрическая σ-алгебра является произведением σ-алгеброй . ^[1]${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} p_ {Y_ {i}} ^ {- 1} \ left (U_ {i} \ right)}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle U_ {i}}$${\displaystyle Y_{i}}$

Ограничение, что множество цилиндров является пересечением конечного числа открытых цилиндров, важно; разрешение бесконечных пересечений обычно приводит к более тонкой топологии. В последнем случае результирующая топология представляет собой блочную топологию ; Наборы цилиндров никогда не являются кубами Гильберта .

Наборы цилиндров в изделиях дискретных наборов [ править ]

Позвольте быть конечным набором, содержащим n объектов или букв . Совокупность всех бибесконечных строк в этих буквах обозначается через${\displaystyle S=\{1,2,\ldots ,n\}}$

${\displaystyle S^{\mathbb {Z} }=\{x=(\ldots ,x_{-1},x_{0},x_{1},\ldots ):x_{k}\in S\;\forall k\in \mathbb {Z} \}.}$

Естественная топология на - это дискретная топология . Базовые открытые множества в дискретной топологии состоят из отдельных букв; Таким образом, открытые цилиндры топологии продукта на это${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{\mathbb {Z} }}$

${\displaystyle C_{t}[a]=\{x\in S^{\mathbb {Z} }:x_{t}=a\}.}$

Пересечения конечного числа открытых цилиндров - это множества цилиндров

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{t}[a_{0},\ldots ,a_{m}]&=C_{t}[a_{0}]\,\cap \,C_{t+1}[a_{1}]\,\cap \cdots \cap \,C_{t+m}[a_{m}]\\&=\{x\in S^{\mathbb {Z} }:x_{t}=a_{0},\ldots ,x_{t+m}=a_{m}\}\end{aligned}}.}$

Наборы цилиндров представляют собой закрытые наборы . Как элементы топологии, цилиндрические множества по определению являются открытыми множествами. Дополнение к открытому множеству - это замкнутое множество, но дополнение к множеству цилиндров - это объединение цилиндров, поэтому множества цилиндров также являются замкнутыми и, следовательно, открытыми.

Определение векторных пространств [ править ]

Принимая во внимание конечное или бесконечномерным мерное векторное пространство над полем К (например, реальных или комплексных чисел ), множества цилиндров может быть определен как${\displaystyle V}$

${\displaystyle C_{A}[f_{1},\ldots ,f_{n}]=\{x\in V:(f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_{n}(x))\in A\}}$

где представляет собой борелевское множество в , и каждый представляет собой линейный функционал на ; то есть , то алгебраическое пространство , сопряженное к . При работе с топологическими векторными пространствами вместо этого определение делается для элементов - непрерывного двойственного пространства . То есть функционалы считаются непрерывными линейными функционалами.${\displaystyle A\subset K^{n}}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f_{j}\in (V^{*})^{\otimes n}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f_{j}\in (V^{\prime })^{\otimes n}}$${\displaystyle f_{j}}$

Приложения [ править ]

Наборы цилиндров часто используются для определения топологии множеств, которые являются подмножествами и часто встречаются при изучении символической динамики ; см., например, подсдвиг конечного типа . Наборы цилиндров часто используются для определения меры с помощью теоремы Колмогорова о расширении ; например, размер набора цилиндров длиной m может быть равен 1 / м или 1/2 ^м . ${\displaystyle S^{\mathbb {Z} }}$

Наборы цилиндров могут использоваться для определения метрики в пространстве: например, один говорит, что две строки являются ε-близкими, если доля 1-ε букв в строках совпадает.

Поскольку строки в можно рассматривать как p -адические числа , часть теории p -адических чисел может быть применена к цилиндрическим множествам, и, в частности, определение p -адических мер и p -адических метрик применяется к цилиндрическим множествам. Эти типы пространств с мерой появляются в теории динамических систем и называются неособыми одометрами . Обобщением этих систем является марковский одометр . ${\displaystyle S^{\mathbb {Z} }}$

Цилиндровые множества над топологическими векторными пространствами являются основным ингредиентом в формальном определении интеграла Фейнман пути или функционального интеграл в квантовой теории поля , а функция распределения из статистической механики .

См. Также [ править ]

• Цилиндрическая σ-алгебра
• Размер набора цилиндров
• Ультрапродукт

Ссылки [ править ]

• Р. А. Минлос (2001) [1994], "Набор цилиндров" , Энциклопедия математики , EMS Press