Коробчатая топология

В топологии , то декартово произведение из топологических пространств можно дать несколько различных топологий. Один из наиболее очевидных вариантов - это блочная топология , в которой база задается декартовыми произведениями открытых множеств в компонентных пространствах. ^[1] Другой возможностью является топология произведения , где база задается декартовыми произведениями открытых множеств в компонентных пространствах, только конечное число из которых может не равняться всему компонентному пространству.

Хотя блочная топология имеет несколько более интуитивное определение, чем топология продукта, она удовлетворяет меньшему количеству желаемых свойств. В частности, если все компонентные пространства компактны , блочная топология на их декартовом произведении не обязательно будет компактной, хотя топология произведения на их декартовом произведении всегда будет компактной. В общем случае топология коробки более тонкая, чем топология произведения, хотя они согласуются в случае конечных прямых произведений (или когда все множители, кроме конечного числа, тривиальны ).

Определение [ править ]

Учитывая , что${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle X: = \ prod _ {я \ in I} X_ {я},}$

или (возможно бесконечное) декартово произведение топологических пространств , индексированные с помощью , то топология коробки на порождается основанием${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle i \ in I}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle B = \ left \ {\ prod _ {i \ in I} U_ {i} \ mid U_ {i} {\ text {open in}} X_ {i} \ right \}.}$

Название коробка происходит от случая R ^п , в котором базисные наборы выглядят как коробки.

Свойства [ править ]

Коробчатая топология на R ^ω : ^[2]

• Топология коробки полностью обычная.
• Коробчатая топология не является ни компактной, ни связной.
• Коробчатая топология не является первой счетной (следовательно, не метризуемой )
• Коробчатая топология неразделима
• Коробчатая топология является паракомпактной (а значит, нормальной и полностью регулярной), если гипотеза континуума верна

Пример - нарушение непрерывности [ править ]

Следующий пример основан на кубе Гильберта . Пусть R ^ω обозначим счетную декартово произведение R с самим собой, то есть множество всех последовательностей в R . Equip R с обычной топологией и R & ^omega с топологией коробки. Определять:

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{\omega }\\x\mapsto (x,x,x,\ldots )\end{cases}}}$

Таким образом, все составляющие функции идентичны и, следовательно, непрерывны, однако мы покажем, что f не является непрерывным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим открытый набор

${\displaystyle U=\prod _{n=1}^{\infty }\left(-{\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}\right).}$

Предположим, что f непрерывны. Тогда, поскольку:

${\displaystyle f(0)=(0,0,0,\ldots )\in U,}$

должно существовать такое, что Но это означало бы, что ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle (-\varepsilon ,\varepsilon )\subset f^{-1}(U).}$

${\displaystyle f\left({\tfrac {\varepsilon }{2}}\right)=\left({\tfrac {\varepsilon }{2}},{\tfrac {\varepsilon }{2}},{\tfrac {\varepsilon }{2}},\ldots \right)\in U,}$

что неверно, поскольку для Таким образом, f не является непрерывным, даже если все его составляющие функции являются.${\displaystyle {\tfrac {\varepsilon }{2}}>{\tfrac {1}{n}}}$${\displaystyle n>{\tfrac {2}{\varepsilon }}.}$

Пример - нарушение компактности [ править ]

Рассмотрим счетное произведение , где для каждого I , с дискретной топологией. Коробчатая топология также будет дискретной топологией. Поскольку дискретные пространства компактны тогда и только тогда, когда они конечны, мы сразу видим, что это не компактно, даже если его компонентные пространства таковы. ${\displaystyle X=\prod X_{i}}$${\displaystyle X_{i}=\{0,1\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle X}$также не является секвенциально компактным: рассмотрим последовательность, заданную формулой ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$

${\displaystyle (x_{n})_{m}={\begin{cases}0&m<n\\1&m\geq n\end{cases}}}$

Поскольку в последовательности нет двух одинаковых точек, последовательность не имеет предельной точки и, следовательно , не является последовательно компактной.${\displaystyle X}$

Сходимость в топологии коробки [ править ]

Топологии часто лучше всего понять, описывая, как сходятся последовательности. В общем, декартово произведение пространства с самим собой над множеством индексов именно пространство функций от к , обозначим . Топология произведения дает топологию поточечной сходимости ; последовательности функций сходятся тогда и только тогда, когда они сходятся в каждой точке .${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\textstyle \prod _{s\in S}X=X^{S}}$${\displaystyle S}$

Поскольку блочная топология более тонкая, чем топология продукта, сходимость последовательности в блочной топологии является более строгим условием. Предполагая, что это Хаусдорф, последовательность функций в сходится в блочной топологии к функции тогда и только тогда, когда она сходится поточечно и существует конечное подмножество, и существует такое, что для всех последовательность в является постоянной для всех . Другими словами, последовательность в конечном итоге постоянна почти для всех и единообразна. ^[3]${\displaystyle X}$${\displaystyle (f_{n})_{n}}$${\displaystyle X^{S}}$${\displaystyle f\in X^{S}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S_{0}\subset S}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle (f_{n}(s))_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle s\in S\setminus S_{0}}$${\displaystyle (f_{n}(s))_{n}}$${\displaystyle s}$

Сравнение с топологией продукта [ править ]

Базисные множества в топологии продукта имеют почти то же определение, что и выше, за исключением того, что все U _i , кроме конечного числа , равны компонентному пространству X _i . Топология продукта удовлетворяет очень желаемому свойству для отображений f _i  : Y → X _i в пространства компонентов: отображение продукта f : Y → X, определяемое функциями компонентов f _i, является непрерывным тогда и только тогда, когда все f _iнепрерывны. Как показано выше, это не всегда выполняется в блочной топологии. Это фактически делает блочную топологию очень полезной для предоставления контрпримеров - многие качества, такие как компактность , связность , метризуемость и т. Д., Если им обладают фактор-пространства, обычно не сохраняются в продукте с этой топологией.

См. Также [ править ]

• Набор цилиндров
• Список топологий

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Стин, Линн А. и Сибах, Дж. Артур-младший ; Контрпримеры в топологии , Холт, Райнхарт и Уинстон (1970). ISBN 0030794854 . 
• Уиллард, Стивен (2004). Общая топология . Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.

Внешние ссылки [ править ]

• «Коробчатая топология» . PlanetMath .