В математике , то класс Тодда определенная конструкция теперь считается частью теории в алгебраической топологии от характеристических классов . Класс Тодда векторного расслоения может быть определен с помощью теории классов Черна и встречается там, где существуют классы Черна, особенно в дифференциальной топологии , теории комплексных многообразий и алгебраической геометрии . Грубо говоря, класс Тодда действует аналогично классу Черна или стоит по отношению к нему, как конормальное расслоение к нормальному расслоению .
Класс Тодда играет фундаментальную роль в обобщении классической теоремы Римана-Роха для высших размерностей, в теореме Хирцебрух-Римана-Роха и теоремы Гротендика-Хирцебрух-Римана-Роха .
История
Он назван в честь Дж. А. Тодда , который ввел частный случай этого понятия в алгебраическую геометрию в 1937 г., до того, как были определены классы Черна. Геометрическая идея иногда называется классом Тодда-Эгера . Общее определение в высших измерениях принадлежит Фридриху Хирцебруху .
Определение
Чтобы определить класс Тодда где комплексное векторное расслоение на топологическом пространстве , Как правило , можно ограничить определение в случае суммы Уитни из линейных расслоений , с помощью общего устройства теории характеристического класса, использование Черны корней (иначе, то принцип расщепления ). Для определения пусть
- формальный степенной ряд, обладающий тем свойством, что коэффициент при в равно 1, где обозначает -ое число Бернулли . Рассмотрим коэффициент при в продукте
для любой . Это симметрично вs и однородный по весу : так можно выразить как полином в элементарных симметричных функциях принадлежащий с. потомопределяет полиномы Тодда : они образуют мультипликативную последовательность с как характеристический силовой ряд.
Если имеет как его корни Черна , то класс Тодда
которая должна быть вычислена в кольце когомологий из (или в его дополнении, если кто-то хочет рассматривать бесконечномерные многообразия).
Класс Тодда может быть явно задан как формальный степенной ряд в классах Черна следующим образом:
где классы когомологий классы Черна , и принадлежат группе когомологий . Если конечномерно, то большинство членов обращается в нуль и является многочленом от классов Черна.
Свойства класса Тодда
Класс Тодда мультипликативен:
Позволять - фундаментальный класс гиперплоского сечения. Из мультипликативности и точной последовательности Эйлера для касательного расслоения к
получается [1]
Вычисления класса Тодда
Для любой алгебраической кривой класс Тодда просто . С проективен, он может быть вложен в некоторые и мы можем найти используя нормальную последовательность
и свойства классов черна. Например, если у нас есть степень плоская кривая в , находим полный класс Черна
где класс гиперплоскости в ограниченный .
Формула Хирцебруха-Римана-Роха
Для любого когерентного пучка F на гладком компактном комплексном многообразии M выполняется
где - его голоморфная эйлерова характеристика ,
а также его характер Черна .
Смотрите также
Заметки
Рекомендации
- Тодд, JA (1937), "арифметические Инварианты алгебраических локусов", Труды Лондонской математического общества , 43 (1): 190-225, DOI : 10,1112 / ПНИЛ / s2-43.3.190 , Zbl 0017,18504
- Фридрих Хирцебрух , Топологические методы в алгебраической геометрии , Springer (1978)
- М.И. Войцеховский (2001) [1994], "Класс Тодда" , Энциклопедия математики , EMS Press