Аксиомы сепарации в топологических пространствах | |
---|---|
Классификация Колмогорова | |
Т 0 | (Колмогоров) |
Т 1 | (Фреше) |
Т 2 | (Хаусдорф) |
Т 2 ½ | (Урысон) |
полностью Т 2 | (полностью Хаусдорф) |
Т 3 | (обычный Хаусдорф) |
Т 3½ | (Тихонов) |
Т 4 | (нормальный Хаусдорф) |
Т 5 | (совершенно нормальный Хаусдорф) |
Т 6 | (совершенно нормальный Хаусдорф) |
В топологии и смежные отраслях математики , A хаусдорфовым , разделенное пространство или T 2 пространства является топологическим пространством , где для любых двух различных точек существует окрестности каждого , которые пересекаются друг от друга. Из многих аксиом разделения, которые могут быть наложены на топологическое пространство, «условие Хаусдорфа» (T 2 ) является наиболее часто используемым и обсуждаемым. Это подразумевает единственность пределов от последовательностей , сеток и фильтров . [1]
Хаусдорфовы пространства названы в честь Феликса Хаусдорфа , одного из основоположников топологии. Первоначальное определение топологического пространства Хаусдорфом (1914 г.) включало условие Хаусдорфа в качестве аксиомы .
Точки и в топологическом пространстве могут быть отделены друг от окрестностей , если существует в окрестности из и окрестность из таких , что и являются непересекающимися ( ). является хаусдорфовым пространством, если все различные точки в нем попарно отделимы от окрестностей. Это условие является третьей аксиомой отделимости (после ), поэтому хаусдорфовы пространства также называют пространствами. Также используется пробел, разделенный именем .
Родственное, но более слабое понятие - это понятие предрегулярного пространства . является предрегулярным пространством, если любые две топологически различимые точки можно разделить непересекающимися окрестностями. Пререгулярные пространства также называются пространствами .
Связь между этими двумя условиями следующая. Топологическое пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно является одновременно предрегулярным (т.е. топологически различимые точки разделены окрестностями) и колмогоровским (т.е. различные точки топологически различимы). Топологическое пространство предрегулярно тогда и только тогда, когда его фактор по Колмогорову хаусдорфов.
Для топологического пространства следующие утверждения эквивалентны: [2]
Почти все пространства, встречающиеся при анализе , хаусдорфовы; самое главное, действительные числа (при стандартной метрической топологии действительных чисел) являются хаусдорфовым пространством. В более общем смысле все метрические пространства хаусдорфовы. Фактически, во многих областях анализа, таких как топологические группы и топологические многообразия , условие Хаусдорфа явно указано в их определениях.
Простым примером топологии, которая является T 1, но не хаусдорфовой, является конфинитная топология, определенная на бесконечном множестве .
Псевдометрические пространства обычно не хаусдорфовы, но они предрегулярны, и их использование в анализе обычно только при построении калибровочных пространств Хаусдорфа . В самом деле, когда аналитики сталкиваются с нехаусдорфовым пространством, оно, вероятно, все еще является, по крайней мере, дорегулярным, а затем они просто заменяют его на его фактор Колмогорова, которым является Хаусдорф. [6]
Напротив, непререгулярные пространства гораздо чаще встречаются в абстрактной алгебре и алгебраической геометрии , в частности, как топология Зарисского на алгебраическом многообразии или спектр кольца . Они возникают также в теории модели из интуиционистской логики : каждая полная гейтингова алгебра есть алгебра открытых множеств некоторого топологического пространства, но это пространство не должно быть preregular, гораздо меньше Хаусдорфф, а на самом деле , как правило , не является ни. Связанная с этим концепция области Скотта также состоит из непререгулярных пространств.
Хотя существование уникальных пределов для сходящихся сетей и фильтров подразумевает, что пространство является хаусдорфовым, существуют нехаусдорфовы пространства T 1, в которых каждая сходящаяся последовательность имеет единственный предел. [7]
Подпространства и произведения хаусдорфовых пространств хаусдорфовы [8], но факторпространства хаусдорфовых пространств не обязательно должны быть хаусдорфовыми. Фактически, любое топологическое пространство может быть реализовано как фактор некоторого хаусдорфова пространства. [9]
Хаусдорфовы пространства T 1 , что означает, что все синглтоны замкнуты. Точно так же предрегулярные пространства - это R 0 . Каждое хаусдорфово пространство является пространством Собера, хотя обратное, вообще говоря, неверно.
Еще одно приятное свойство хаусдорфовых пространств - это то, что компакты всегда замкнуты. [10] Для нехаусдорфовых пространств все компакты могут быть замкнутыми (например, сосчетная топология на несчетном множестве) или нет (например, конфинитная топология на бесконечном множестве и пространство Серпинского ).
Определение пространства Хаусдорфа гласит, что точки могут быть разделены окрестностями. Оказывается, отсюда следует нечто более сильное: в хаусдорфовом пространстве каждая пара непересекающихся компактов также может быть разделена окрестностями [11], другими словами, существует окрестность одного множества и окрестность другого, такая как что две окрестности не пересекаются. Это пример общего правила, согласно которому компактные множества часто ведут себя как точки.
Условия компактности вместе с предрегулярностью часто подразумевают более сильные аксиомы разделения. Например, любое локально компактное предрегулярное пространство вполне регулярно . Компактные предрегулярные пространства нормальны , что означает, что они удовлетворяют лемме Урысона и теореме о расширении Титце и имеют разбиения единицы, подчиненные локально конечным открытым покрытиям . Хаусдорфовы версии этих утверждений: каждое локально компактное хаусдорфово пространство тихоново , и каждое компактное хаусдорфово пространство нормально хаусдорфово.
Следующие результаты представляют собой некоторые технические свойства, касающиеся отображений ( непрерывных и иных) в хаусдорфовы пространства и обратно.
Позвольте быть непрерывной функцией и предположить Хаусдорфова. Тогда граф из , является замкнутым подмножеством .
Позвольте быть функцией и пусть быть ее ядром, рассматриваемым как подпространство .
Если - непрерывные отображения и хаусдорфовы, то эквалайзер замкнут . Отсюда следует , что если отделимо и и согласны на плотном подмножестве то . Другими словами, непрерывные функции в хаусдорфовых пространствах определяются своими значениями на плотных подмножествах.
Пусть быть замкнутой сюръекцией таким образом, что это компактное для всех . Тогда если Хаусдорф, то так и есть .
Пусть - фактор-отображение с компактным хаусдорфовым пространством. Тогда следующие эквиваленты:
Все регулярные пространства предрегулярны, как и все хаусдорфовы пространства. Есть много результатов для топологических пространств, которые верны как для регулярных, так и для хаусдорфовых пространств. В большинстве случаев эти результаты верны для всех предрегулярных пространств; они были перечислены отдельно для регулярных и хаусдорфовых пространств, поскольку идея предрегулярных пространств возникла позже. С другой стороны, те результаты, которые действительно касаются регулярности, обычно не применимы и к нерегулярным хаусдорфовым пространствам.
Есть много ситуаций, когда другое условие топологических пространств (такое как паракомпактность или локальная компактность ) будет подразумевать регулярность, если выполняется предварительная регулярность. Такие условия часто бывают двух версий: обычная версия и версия Хаусдорфа. Хотя хаусдорфовы пространства, вообще говоря, не являются регулярными, хаусдорфово пространство, которое также (скажем) локально компактно, будет регулярным, потому что любое хаусдорфово пространство предрегулярно. Таким образом, с определенной точки зрения в этих ситуациях имеет значение скорее предварительная закономерность, чем закономерность. Однако определения обычно по-прежнему формулируются в терминах регулярности, поскольку это условие более известно, чем предварительная регулярность.
См. « Историю аксиом разделения» для получения дополнительной информации по этому вопросу.
Термины «Хаусдорфовы», «разделены», и «preregular» , также может быть применен к таким вариантам на топологических пространствах , как равномерные пространства , Коши пространств и конвергенции пространства . Характеристика, объединяющая концепцию во всех этих примерах, состоит в том, что пределы сетей и фильтров (если они существуют) уникальны (для разделенных пространств) или уникальны с точностью до топологической неразличимости (для дорегулярных пространств).
Оказывается, однородные пространства и, в более общем смысле, пространства Коши всегда предрегулярны, поэтому условие Хаусдорфа в этих случаях сводится к условию T 0 . Это также те пространства, в которых полнота имеет смысл, и хаусдорфность является естественным спутником полноты в этих случаях. В частности, пространство является полным тогда и только тогда, когда каждая сеть Коши имеет хотя бы один предел, в то время как пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда каждая сеть Коши имеет не более одного предела (поскольку только сети Коши могут иметь ограничения в первую очередь).
Алгебра непрерывных (вещественных или комплексных) функций на компактном хаусдорфовом пространстве является коммутативной C * -алгеброй , и, наоборот, по теореме Банаха – Стоуна можно восстановить топологию пространства из алгебраических свойств его алгебры непрерывных функций. Это приводит к некоммутативной геометрии , в которой некоммутативные C * -алгебры рассматриваются как представление алгебр функций на некоммутативном пространстве.