Связка модулей

В математике пучком O -модулей или просто O -модулем над окольцованным пространством ( X , O ) называется пучок F такой, что для любого открытого подмножества U в X , F ( U ) является O ( U ) - модуля и отображения ограничения F ( U ) →  F ( V ) согласованы с отображениями ограничения O ( U ) →  O ( V ): ограничениеfs - это ограничение f, умноженное на ограничение s для любых f в O ( U ) и s в F ( U ).

Стандартный случай - это когда X - схема, а O - ее структурный пучок. Если O - постоянный пучок , то пучок O -модулей совпадает с пучком абелевых групп (т. Е. Абелевым пучком ).${\ displaystyle {\ underline {\ mathbf {Z}}}}$

Если X - простой спектр кольца R , то любой R -модуль естественным образом определяет O _X -модуль (называемый ассоциированным пучком ). Аналогичным образом , если R является градуированным кольцом и Х представляет собой Рго из R , то любой градуированный модуль определяет O _X - модуль естественным образом. Возникающие таким образом O- модули являются примерами квазикогерентных пучков , и фактически на аффинных или проективных схемах все квазикогерентные пучки получаются таким образом.

Пучки модулей над окольцованным пространством образуют абелеву категорию . ^[1] Более того, эта категория имеет достаточно инъективных объектов , ^[2] и, следовательно, можно определить когомологии пучка как i -й правый производный функтор от функтора глобального сечения . ^[3]${\ displaystyle \ operatorname {H} ^ {i} (X, -)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (X, -)}$

Примеры [ править ]

• Учитывая окольцованное пространство ( X , О ), если Р представляет собой О -подмодуле O , то она называется пучком идеалов или идеального пучок из O , поскольку для каждого открытого подмножества U из X , F ( U ) является идеальным кольца O ( U ).
• Пусть X - гладкое многообразие размерности n . Тогда касательный пучок из X является сопряженным из кокасательного пучка и канонический пучок представляет собой N -й внешняя степень ( определитель ) из .${\ displaystyle \ Omega _ {X}}$ ${\displaystyle \omega _{X}}$${\displaystyle \Omega _{X}}$
• Пучок алгебр является пучком модуля , который также является пучок колец.

Операции [ править ]

Пусть ( X , O ) - окольцованное пространство. Если F и G - O -модули, то их тензорное произведение, обозначаемое

${\displaystyle F\otimes _{O}G}$или ,${\displaystyle F\otimes G}$

является O -модулем, который представляет собой пучок, связанный с предпучком (чтобы увидеть, что связки нельзя избежать, вычислите глобальные сечения, где O (1) - скручивающий пучок Серра на проективном пространстве.)${\displaystyle U\mapsto F(U)\otimes _{O(U)}G(U).}$${\displaystyle O(1)\otimes O(-1)=O}$

Аналогично, если F и G - O -модули, то

${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,G)}$

обозначает O -модуль, являющийся пучком . ^[4] В частности, O -модуль${\displaystyle U\mapsto \operatorname {Hom} _{O|_{U}}(F|_{U},G|_{U})}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,O)}$

называется двойственным модулем к F и обозначается . Примечание: для любых O- модулей E , F существует канонический гомоморфизм${\displaystyle {\check {F}}}$

${\displaystyle {\check {E}}\otimes F\to {\mathcal {H}}om_{O}(E,F)}$,

который является изоморфизмом, если E - локально свободный пучок конечного ранга. В частности, если L локально не имеет ранга один (такой L называется обратимым пучком или линейным расслоением ) ^[5], то это читается так:

${\displaystyle {\check {L}}\otimes L\simeq O,}$

из которых следует, что классы изоморфизма обратимых пучков образуют группу. Эта группа называется группой Пикара пространства X и канонически отождествляется с первой группой когомологий (стандартным рассуждением с когомологиями Чеха ).${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X,{\mathcal {O}}^{*})}$

Если E - локально свободный пучок конечного ранга, то существует O- линейное отображение, заданное спариванием; это называется след карты из Е .${\displaystyle {\check {E}}\otimes E\simeq \operatorname {End} _{O}(E)\to O}$

Для любого O - модуля F , в тензорной алгебре , внешняя алгебра и симметричная алгебра из F , определяются таким же образом. Например, k -я внешняя мощность

${\displaystyle \wedge ^{k}F}$

связка, связанная с предпучком . Если F локально свободен от ранга n , то называется детерминантным линейным расслоением (хотя и технически обратимым пучком ) F и обозначается det ( F ). Возникает естественное идеальное сочетание:${\displaystyle U\mapsto \wedge _{O(U)}^{k}F(U)}$${\displaystyle \wedge ^{n}F}$

${\displaystyle \wedge ^{r}F\otimes \wedge ^{n-r}F\to \operatorname {det} (F).}$

Пусть f : ( X , O ) → ( X ' , O ' ) - морфизм окольцованных пространств. Если F является O -модулем, то пучок прямых изображений является O ' -модулем через естественное отображение O ' → f _* O (такое естественное отображение является частью данных морфизма окольцованных пространств).${\displaystyle f_{*}F}$

Если G представляет собой O ' модуль, то модуль прообраз из G представляет собой O - модуль задается как тензорное произведение модулей:${\displaystyle f^{*}G}$

${\displaystyle f^{-1}G\otimes _{f^{-1}O'}O}$

где это прообраз пучок из G и получается из с помощью adjuction .${\displaystyle f^{-1}G}$${\displaystyle f^{-1}O'\to O}$${\displaystyle O'\to f_{*}O}$

Существует сопряженное соотношение между и : для любого O - модуль F и O» -модуль G ,${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle f^{*}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{O}(f^{*}G,F)\simeq \operatorname {Hom} _{O'}(G,f_{*}F)}$

как абелева группа. Также существует формула проекции : для O -модуля F и локально свободного O'- модуля E конечного ранга

${\displaystyle f_{*}(F\otimes f^{*}E)\simeq f_{*}F\otimes E.}$

Свойства [ править ]

Пусть ( X , O ) - окольцованное пространство. О - модуль F называется порождаются глобальными сечениями , если есть сюръекция О -модулях:

${\displaystyle \oplus _{i\in I}O\to F\to 0}$.

Явно это означает, что существуют глобальные секции s _i из F, такие что изображения s _i в каждом стержне F _x генерируют F _x как O _x -модуль.

Примером такого пучка является пучок, связанный в алгебраической геометрии с R -модулем M , где R - любое коммутативное кольцо , на спектре кольца Spec ( R ). Другой пример: согласно теореме Картана A любой когерентный пучок на многообразии Штейна натянут на глобальные сечения. (см. теорему Серра A ниже). В теории схем родственное понятие - обильное линейное расслоение . (Например, если L - обильный линейный пучок, некоторая его мощность создается глобальными секциями.)

Инъективный O -модуль является вялым (т. Е. Все отображения ограничений F ( U ) → F ( V ) сюръективны). ^[6] Так как вялый пучок ацикличен в категории абелевых пучков, отсюда следует, что i -я правая производный функтор функтора глобального сечения в категории O -модулей совпадает с обычными когомологиями i-го пучка в категории абелевых пучков. ^[7]${\displaystyle \Gamma (X,-)}$

Связка, связанная с модулем [ править ]

Пусть M модуль над кольцом A . Положите X = Spec A и напишите . Для каждой пары по универсальному свойству локализации существует естественное отображение${\displaystyle D(f)=\{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (A[f^{-1}])}$${\displaystyle D(f)\subseteq D(g)}$

${\displaystyle \rho _{g,f}:M[g^{-1}]\to M[f^{-1}]}$

имея свойство, что . потом${\displaystyle \rho _{g,f}=\rho _{g,h}\circ \rho _{h,f}}$

${\displaystyle D(f)\mapsto M[f^{-1}]}$

является контравариантным функтором из категории, объектами которой являются множества D ( f ) и морфизирует включения множеств в категорию абелевых групп . Можно показать ^[8] это на самом деле Б-пучок (т.е. она удовлетворяет склейку аксиома) и , таким образом , определяет пучок на X называется пучок , связанный с М .${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

Самый простой пример - это структурный пучок на X ; то есть . Более того, имеет структуру -модуля и, таким образом, можно получить точный функтор из Mod _A , категории модулей над A в категорию модулей над . Она определяет эквивалентность от Mod _A к категории квази-когерентных пучков на X , с обратным , в глобальном разделе функтора . Когда Х является нетерово , функтор является эквивалентностью из категории конечно порожденных А${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}$${\displaystyle {\widetilde {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}$ ${\displaystyle M\mapsto {\widetilde {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle \Gamma (X,-)}$-модулями к категории когерентных пучков на X .

Конструкция обладает следующими свойствами: для любых -модулей M , N ,

• ${\displaystyle M[f^{-1}]^{\sim }={\widetilde {M}}|_{D(f)}}$. ^[9]
• Для любого простого идеала p алгебры A , так как O _p = A _p -модуль.${\displaystyle {\widetilde {M}}_{p}\simeq M_{p}}$
• ${\displaystyle (M\otimes _{A}N)^{\sim }\simeq {\widetilde {M}}\otimes _{\widetilde {A}}{\widetilde {N}}}$. ^[10]
• Если М является конечно представим , . ^[10]${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)^{\sim }\simeq {\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}})}$
• ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)\simeq \Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}}))}$, Так как эквивалентности между Mod _A и категории квази-когерентных пучков на X .
• ${\displaystyle (\varinjlim M_{i})^{\sim }\simeq \varinjlim {\widetilde {M_{i}}}}$; ^[11], в частности, взяв прямую сумму и ~ коммутируют.

Связка, связанная с оцениваемым модулем [ править ]

Есть градуированный аналог конструкции и эквивалентности из предыдущего раздела. Пусть R - градуированное кольцо, порожденное элементами степени один как R ₀ -алгебра ( R ₀ означает кусок нулевой степени), а M - градуированный R -модуль. Пусть X - Proj группы R (так что X - проективная схема, если R нётерова). Тогда существует O -модуль такой, что для любого однородного элемента f положительной степени R существует естественный изоморфизм${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

${\displaystyle {\widetilde {M}}|_{\{f\neq 0\}}\simeq (M[f^{-1}]_{0})^{\sim }}$

как пучки модулей по аффинной схеме ; ^[12] на самом деле это определяется склейкой.${\displaystyle \{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (R[f^{-1}]_{0})}$${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

Пример . Пусть R (1) - градуированный R -модуль, задаваемый формулой R (1) _n = R _{n +1} . Тогда называется скручивающим пучком Серра , который является двойственным к тавтологическому линейному расслоению, если R конечно порождено в степени один.${\displaystyle O(1)={\widetilde {R(1)}}}$

Если F - O -модуль на X , то, записав , существует канонический гомоморфизм:${\displaystyle F(n)=F\otimes O(n)}$

${\displaystyle (\oplus _{n\geq 0}\Gamma (X,F(n)))^{\sim }\to F}$,

который является изоморфизмом тогда и только тогда, когда F квазикогерентен.

Вычисление когомологий пучков [ править ]

Когомологии пучков известны тем, что их трудно вычислить. По этой причине следующий общий факт является основополагающим для любых практических вычислений:

Теорема А Серра утверждает , что если Х представляет собой проективное многообразие и F когерентный пучок на него, то при достаточно больших п , Р ( п ) порождается конечным числом глобальных сечений. Более того,

(a) Для каждого i H ⁱ ( X , F ) конечно порожден над R ₀ , и

(b) ( Теорема Серра B ) Существует целое число n ₀ , зависящее от F , такое, что

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F(n))=0,\,i\geq 1,n\geq n_{0}}$.

Расширение снопа [ править ]

Пусть ( X , O ) окольцованное пространство, и пусть F , H пучки из O -модулей на X . Расширение из Н с помощью F является короткой точной последовательностью из O - модулей

${\displaystyle 0\rightarrow F\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0.}$

Как и в случае с расширениями групп, если мы зафиксируем F и H , то все классы эквивалентности расширений H с помощью F образуют абелеву группу (см. Сумму Бэра ), которая изоморфна группе Ext , где единичный элемент в соответствует тривиальному расширение.${\displaystyle \mathrm {Ext} _{O}^{1}(H,F)}$${\displaystyle \mathrm {Ext} _{O}^{1}(H,F)}$

В случае, когда H равно O , мы имеем: для любого i ≥ 0,

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)=\mathrm {Ext} _{O}^{i}(O,F),}$

поскольку обе стороны являются правыми производными функторами одного и того же функтора ${\displaystyle \Gamma (X,-)=\operatorname {Hom} _{O}(O,-).}$

Примечание : Некоторые авторы, в частности , Hartshorne, опустит индекс O .

Предположим, что X - проективная схема над нётеровым кольцом. Пусть F , G - когерентные пучки на X и i - целое число. Тогда существует n ₀ такое, что

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{i}(F,G(n))=\Gamma (X,{\mathcal {E}}xt_{O}^{i}(F,G(n))),\,n\geq n_{0}}$. ^[13]

Локально бесплатные разрешения [ править ]

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})}$можно легко вычислить для любого когерентного пучка, используя локально свободную разрешающую способность : ^{[14] с} учетом сложного${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \cdots \to {\mathcal {L}}_{2}\to {\mathcal {L}}_{1}\to {\mathcal {L}}_{0}\to {\mathcal {F}}\to 0}$

тогда

${\displaystyle {\mathcal {RHom}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})={\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet },{\mathcal {G}})}$

следовательно

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{k}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=h^{k}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet },{\mathcal {G}}))}$

Примеры [ править ]

Гиперповерхность [ править ]

Рассмотрим гладкую гиперповерхность степени . Затем мы можем вычислить разрешение${\displaystyle X}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}}}$

и найди это

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})=h^{i}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}},{\mathcal {F}}))}$

Союз гладких полных пересечений [ править ]

Рассмотрим схему

${\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f)(g_{1},g_{2},g_{3})}}\right)\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$

где это гладкое полное пересечение и , . У нас есть комплекс${\displaystyle (f,g_{1},g_{2},g_{3})}$${\displaystyle {\text{deg}}(f)=d}$${\displaystyle {\text{deg}}(g_{i})=e_{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2}-e_{3}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{3}\\-g_{2}\\-g_{1}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{3})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2}-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{2}&g_{3}&0\\-g_{1}&0&-g_{3}\\0&-g_{1}&g_{2}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}fg_{1}&fg_{2}&fg_{3}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}}$

разрешение, которое мы можем использовать для вычислений .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X},}$${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})}$

См. Также [ править ]

• D-модуль (вместо O можно рассматривать еще D , пучок дифференциальных операторов.)
• дробный идеал
• голоморфное векторное расслоение
• общая свобода

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). "Algébrique Éléments de géométrie: I. Le langage des schémas" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . DOI : 10.1007 / bf02684778 . Руководство по ремонту  0217083 .
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту  0463157