Инъективный объект

В математике , особенно в области теории категорий , понятие инъективного объекта является обобщением концепции инъективного модуля . Это понятие важно в когомологиях , в теории гомотопий и в теории категорий моделей . Двойственное понятие - это понятие проективного объекта .

Определение [ править ]

Объект Q инъективно , если для мономорфизм п  : X → Y , любой г  : Х → Q может быть продлен до Y .

Объект в категории называется инъективным , если для каждого мономорфизма и каждый морфизма существует морфизм простирающегося до , то есть такое , что .${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ ${\ displaystyle f: X \ to Y}$ ${\ displaystyle g: X \ to Q}$${\ displaystyle h: от Y \ до Q}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle Y}$${\ Displaystyle H \ CIRC F = G}$

То есть каждый морфизм факторизуется через каждый мономорфизм .${\ displaystyle X \ to Q}$${\ Displaystyle X \ hookrightarrow Y}$

Морфизм в приведенном выше определении не обязательно должен однозначно определяться с помощью и .${\ displaystyle h}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$

В локально малой категории это эквивалентно требованию, чтобы функтор hom переносил мономорфизмы в в сюръективные отображения множеств.${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbf {C} }(-,Q)}$${\displaystyle \mathbf {C} }$

В абелевых категориях [ править ]

Понятие инъективности было впервые сформулировано для абелевых категорий , и это до сих пор остается одной из основных областей его применения. Когда абелева категория, объект Q из инъективна тогда и только тогда , когда его Хом функтор Hom _C (-, Q ) является точным .${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$

Если - точная последовательность в такой, что Q инъективно, то последовательность разбивается .${\displaystyle 0\to Q\to U\to V\to 0}$${\displaystyle \mathbf {C} }$

Достаточно инъективных и инъективных оболочек [ править ]

Говорят, что в категории достаточно инъективных объектов, если для каждого объекта X из существует мономорфизм из X в инъективный объект. ${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$

Мономорфизм g in называется существенным мономорфизмом, если для любого морфизма f составной fg является мономорфизмом, только если f является мономорфизмом.${\displaystyle \mathbf {C} }$

Если г является существенным мономорфизмом с областью X и инъективного области значений G , то G называется инъективную оболочка из X . Тогда инъективная оболочка определяется X однозначно с точностью до неканонического изоморфизма.

Примеры [ править ]

• В категории абелевых групп и гомоморфизмов групп , Ab , инъективная объект обязательно делимая группа . Если принять аксиому выбора, понятия эквивалентны.
• В категории (левых) модулей и гомоморфизмов модулей , R - Mod , инъективный объект является инъективным модулем . R - Mod имеет инъективные оболочки (как следствие, R - Mod имеет достаточно инъективных корпусов ).
• В категории метрических пространств , Met , инъективный объект является инъективным метрическим пространством , а инъективная оболочкой метрического пространства является его жесткой пролет .
• В категории T 0 пространств и непрерывных отображений инъективный объект всегда является топологией Скотта на непрерывной решетке , и поэтому он всегда трезв и локально компактен .

Использует [ редактировать ]

Если в абелевой категории достаточно инъективных, мы можем сформировать инъективные резольвенты , т.е. для данного объекта X мы можем сформировать длинную точную последовательность

${\displaystyle 0\to X\to Q^{0}\to Q^{1}\to Q^{2}\to \cdots }$

и затем можно определить производные функторы данного функтора F , применяя F к этой последовательности и вычисляя гомологии результирующей (не обязательно точной) последовательности. Этот подход используется для определения функторов Ext и Tor, а также различных теорий когомологий в теории групп , алгебраической топологии и алгебраической геометрии . Используемые категории обычно представляют собой категории функторов или категории пучков модулей O X над некоторым окольцованным пространством ( X , O_X ) или, в более общем смысле, любой категории Гротендика .

Обобщение [ править ]

Позвольте быть категорией и пусть быть классом морфизмов .${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \mathbf {C} }$

Объект из назовет -инъективен , если для любого морфизма и любого морфизма в существует морфизм с .${\displaystyle Q}$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle f:A\to Q}$${\displaystyle h:A\to B}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle g:B\to Q}$${\displaystyle g\circ h=f}$

Если - класс мономорфизмов , мы возвращаемся к инъективным объектам, которые рассматривались выше.${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Категория называется имеющей достаточное количество -инъективных, если для каждого объекта X из существует -морфизм от X к -инъективному объекту.${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

-Морфизм г в называется -существенным , если для любого морфизма F , композитный фг в только тогда , когда е в .${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Если г является -существенным морфизмом с областью X и -инъективными областью значений G , то G называется -инъективен корпусом из X . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Примеры H- инъективных объектов [ править ]

• В категории симплициальных множеств инъективными объектами относительно класса анодных расширений являются комплексы Кана .${\displaystyle {\mathcal {H}}}$
• В категории частично упорядоченные множеств и отображений монотонных , то полные решетки образуют Инъективно объекты для класса из порядка-вложений , а завершение Дедекинда MacNeille частично упорядоченного множества является его -инъективен корпусом.${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

См. Также [ править ]

• Проективный объект

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Дж. Росицки, Инъективность и доступные категории
• Ф. Кальяри, С. Монтовани, T ₀ -отражение и инъективные оболочки расслоенных пространств.