В математике , особенно в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий , когерентные пучки - это класс пучков, тесно связанных с геометрическими свойствами основного пространства. Определение когерентных пучков дается со ссылкой на пучок колец, который кодифицирует эту геометрическую информацию.
Когерентные пучки можно рассматривать как обобщение векторных расслоений . В отличие от векторных расслоений, они образуют абелеву категорию и поэтому закрываются при таких операциях, как взятие ядер , изображений и коядров . В квазикогерентных пучках являются обобщением когерентных пучков и включают в себя локально свободные пучки ранга.
Когомологии когерентных пучков - мощный метод, в частности, для изучения сечений данного когерентного пучка.
Определения [ править ]
Квази-когерентный пучок на кольчатой пространстве является пучком из - модулей , который имеет локальное представление, то есть, каждая точка имеет открытую окрестность , в которой существует точная последовательность
для некоторых (возможно, бесконечных) множеств и .
Когерентный пучок на кольчатой пространстве является пучком , удовлетворяющий следующим двум свойствам:
- имеет конечный тип над , то есть каждая точка из имеет открытую окрестность в такой, что существует сюръективный морфизм для некоторого натурального числа ;
- для любого открытого множества , любого натурального числа , и любой морфизма из -модулей, ядро конечного типа.
Морфизмы между (квази) когерентными пучками такие же, как морфизмы пучков -модулей.
Случай схем [ править ]
Когда это схема, общие определения, приведенные выше, эквивалентны более явным. Пучок из -модулей является квазикогерентным тогда и только тогда , когда над каждой открытой аффинной подсхемой ограничение изоморфно пучком , связанным с модулем над . Когда является локально нётеровой схемой, она когерентна тогда и только тогда, когда она квазикогерентна, и указанные выше модули можно считать конечно порожденными .
На аффинной схеме существует эквивалентность категорий от -модулей к квазикогерентным пучкам, переводящая модуль в ассоциированный пучок . Обратная эквивалентность имеет квази-когерентный пучок на к - модуль глобальных сечений .
Вот еще несколько характеристик квазикогерентных пучков на схеме. [1]
Теорема - Пусть будет и схема -модуль на нем. Тогда следующие эквивалентны.
- квазикогерентен.
- Для каждой открытой аффинной подсхемы из , изоморфно как -модуль к пучку , связанному с каким - то -модулем .
- Существует открытое аффинное покрытие из таких , что для каждой крышки, изоморфно пучок , связанного с каким - то модулем.
- Для каждой пары открытых аффинных подсхем в , естественный гомоморфизм
- является изоморфизмом.
- Для каждой открытой аффинной подсхемы из и каждых , писать на открытую подсхему , где не равен нуль, естественный гомоморфизм
- является изоморфизмом. Гомоморфизм проистекает из универсального свойства локализации .
Свойства [ править ]
На произвольном кольцевом пространстве квазикогерентные пучки не обязательно образуют абелеву категорию. С другой стороны, квазикогерентные пучки на любой схеме образуют абелеву категорию, и они чрезвычайно полезны в этом контексте. [2]
В любом окольцованном пространстве когерентные пучки образуют абелеву категорию, полную подкатегорию категории -модулей. [3] (Аналогично, категория когерентных модулей над любым кольцом является полной абелевой подкатегорией категории всех -модулей.) Таким образом, ядро, образ и коядро любого отображения когерентных пучков когерентны. Прямая сумма двух когерентных пучков является когерентным; в более общем смысле, -модуль, являющийся продолжением двух когерентных пучков, является когерентным. [4]
Подмодуль когерентного пучка когерентен, если он конечного типа. Согласованный пучок всегда -модуль конечного представления , что означает , что каждая точка в имеет открытую окрестность такую , что ограничение на к изоморфному коядру морфизма для некоторых натуральных чисел и . Если когерентен, то, наоборот, каждый пучок конечного представления над когерентен.
Пучок колец называется когерентным, если он когерентен, рассматриваемый как пучок модулей над собой. В частности, теорема Ока о когерентности утверждает, что пучок голоморфных функций на комплексном аналитическом пространстве является когерентным пучком колец. Основная часть доказательства - дело . Точно так же в локально нётеровой схеме структурный пучок представляет собой когерентный пучок колец. [5]
Основные конструкции когерентных пучков [ править ]
- -Модуль на кольчатое пространстве называется локально свободным конечным рангом или векторное расслоения , если каждая точка имеет открытую окрестность , что сужение изоморфное конечную прямую сумму экземпляров . Если он не имеет одного и того же ранга около каждой точки , то векторное расслоение называется ранговым .
- Векторные расслоения в этом теоретико-пучковом смысле над схемой эквивалентны векторным расслоениям, определенным более геометрическим способом, как схема с морфизмом и с покрытием открытыми множествами с заданными изоморфизмами над такими, что два изоморфизма над пересечением различаются линейным автоморфизмом. [6] (Аналогичная эквивалентность справедливо также для комплексных аналитических пространств). Например, дана векторное расслоение в этом геометрическом смысле, соответствующий пучок определяется следующим образом: над открытым множеством из , то модуль является множеством секций из морфизм. Теоретико-пучковая интерпретация векторных расслоений имеет то преимущество, что векторные расслоения (по локально нётеровой схеме) включены в абелеву категорию когерентных пучков.
- Локально свободные связки оснащены стандартными модульными операциями, но они возвращают локально свободные связки. [ расплывчато ]
- Пусть , нетерово кольцо. Тогда векторные расслоения на - это в точности пучки, связанные с конечно порожденными проективными модулями над или (что эквивалентно) с конечно порожденными плоскими модулями над . [7]
- Пусть , нетеров -градуированное кольцо, быть проективная схема над нётеровым кольцом . Тогда каждый -градуированный -модуль определяет квазикогерентный пучок на таком, что это связка, связанная с -модулем , где - однородный элемент положительной степени и геометрическое место, где не обращается в нуль.
- Например, для каждого целого числа let обозначает градуированный -модуль, заданный как . Затем каждый определяет квазикогерентный пучок на . Если порождается как -алгебра , то является линейным расслоением (обратимым пучком) на и является -й тензорной степенью . В частности, оно называется тавтологическим линейным расслоением на проективном -пространстве.
- Простой пример когерентного пучка, на котором не является векторным расслоением, дается коядром в следующей последовательности
- это потому, что нулевой объект ограничен местом исчезновения двух многочленов.
- Идеальные пучки : если это замкнутая подсхема локально нётеровой схемы , пучок всех регулярных функций, исчезающих на ней, является когерентным. Аналогично, если является замкнутым аналитическим подпространством комплексного аналитического пространства , пучок идеалов когерентен.
- Структурный пучок замкнутой подсхемы локально нётеровой схемы можно рассматривать как когерентный пучок на . Если быть точным, это пучок прямых изображений , где - включение. То же самое для замкнутого аналитического подпространства комплексного аналитического пространства. Пучок имеет слой (определенный ниже) нулевой размерности в точках открытого множества и слой размерности 1 в точках в . Есть короткая точная последовательность когерентных пучков на :
- Большинство операций линейной алгебры сохраняют когерентные пучки. В частности, для когерентных пучков и на кольчатое пространстве , то тензорное произведение пучок и пучок гомоморфизмов когерентны. [8]
- Простой не пример квазикогерентного пучка дает расширение с помощью нулевого функтора. Например, рассмотрим для
- [9]
- Поскольку этот пучок имеет нетривиальные слои, но нулевые глобальные сечения, он не может быть квазикогерентным пучком. Это связано с тем, что квазикогерентные пучки на аффинной схеме эквивалентны категории модулей над нижележащим кольцом, а присоединение происходит от взятия глобальных секций.
Функциональность [ править ]
Позвольте быть морфизм окольцованных пространств (например, морфизм схем ). Если - квазикогерентный пучок на , то модуль обратного изображения (или откат ) является квазикогерентным на . [10] Для морфизма схем и когерентного пучка на , откат не является когерентным в полной общности (например, , которые не могут быть когерентным), но прообразы когерентных пучков когерентны , если локально нётерово. Важным частным случаем является возврат векторного расслоения, которое является векторным расслоением.
Если является квазикомпактным квазиразделенным морфизмом схем и является квазикогерентным пучком на , то прямой пучок изображений (или прямой поток ) квазикогерентен на . [2]
Прямое изображение связного пучка часто бывает некогерентным. Например, для поля позвольте быть аффинной линией над и рассмотреть морфизм ; тогда прямой образ - это пучок, связанный с кольцом многочленов , который не является когерентным, поскольку имеет бесконечную размерность как -векторное пространство. С другой стороны, прямое изображение связного пучка при правильном морфизме является когерентным, согласно результатам Грауэрта и Гротендика .
Локальное поведение когерентных пучков [ править ]
Важной особенностью когерентных пучков является то, что свойства в точке управляют поведением в окрестности , больше, чем это было бы верно для произвольного пучка. Например, леммы Накаяма говорит (на геометрическом языке) , что , если это когерентный пучок на схеме , затем волокно из в точке (векторное пространство над полем вычетов ) равен нулю тогда и только тогда , когда пучок равен нулю на некотором открытом окрестности . С этим связан факт, что размерность слоев когерентного пучка полунепрерывна сверху . [11] Таким образом, когерентный пучок имеет постоянный ранг на открытом множестве, в то время как ранг может увеличиваться на замкнутом подмножестве меньшей размерности.
В том же духе: когерентный пучок на схеме является векторным расслоением тогда и только тогда, когда его стержень является свободным модулем над локальным кольцом для каждой точки в . [12]
По общей схеме нельзя определить, является ли когерентный пучок векторным расслоением, только по его слоям (в отличие от его стеблей). Однако в редуцированной локально нётеровой схеме когерентный пучок является векторным расслоением тогда и только тогда, когда его ранг локально постоянен. [13]
Примеры векторных расслоений [ править ]
Для морфизма схем , пусть будет диагональной морфизм , который представляет собой замкнутое вложение , если будет отделен над . Позвольте быть идеальным пучком в . Тогда пучок дифференциалов может быть определен как откат от до . Сечения этого пучка называются 1-формами на над , и их можно записать локально на как конечные суммы для регулярных функций и . Если локально конечного типа над полем , то является когерентным пучком на .
Если будет гладкой над , то ( имеется в виду ) является векторным расслоением над , называется котангенс пучок из . Тогда касательное расслоение определяется как дуальное расслоение . Для сглаживания размерности всюду касательное расслоение имеет ранг .
Если - гладкая замкнутая подсхема гладкой схемы над , то существует короткая точная последовательность векторных расслоений на :
который можно использовать как определение нормального пакета в in .
Для получения гладкой схемы над полем и натурального числа , векторное расслоение из I -формы на определяется как -й внешней степени кокасательного расслоения, . Для гладкого многообразия размерности над , то каноническое расслоение означает расслоение . Таким образом, сечения канонического расслоения являются алгебро-геометрическими аналогами форм объема на . Например, сечение канонического расслоения аффинного пространства над может быть записано как
где - многочлен с коэффициентами в .
Позвольте быть коммутативным кольцом и натуральным числом. Для каждого целого числа существует важный пример линейного расслоения на проективном пространстве над , называемый . Чтобы определить это, рассмотрим морфизм -схем
задано в координатах по . (То есть, в виде проективного пространства как пространство 1-мерных линейных подпространств аффинного пространства, отправить точку ненулевой в аффинном пространстве к линии , что она охватывает.) Тогда сечение над открытым подмножеством из определенно , чтобы быть регулярная функция на нем однородна степени , что означает, что
как регулярные функции на ( . Для всех целых и существует изоморфизм линейных расслоений на .
В частности, каждый однородный многочлен в степени за кадром можно рассматривать как глобальный раздел более . Обратите внимание, что каждая замкнутая подсхема проективного пространства может быть определена как нулевое множество некоторого набора однородных многочленов, следовательно, как нулевое множество некоторых секций линейных расслоений . [14] Это контрастирует с более простым случаем аффинного пространства, где замкнутая подсхема - это просто нулевое множество некоторого набора регулярных функций. Регулярные функции на проективном пространстве над - это просто «константы» (кольцо ), поэтому важно работать с линейными расслоениями .
Серр дал алгебраическое описание всех когерентных пучков в проективном пространстве, более тонкое, чем то, что происходит в аффинном пространстве. А именно, пусть будет нетерово кольцо (например, поле), и рассмотрим кольцо многочленов как градуированное кольцо, каждое из которых имеет степень 1. Тогда каждый конечно порожденный градуированный -модуль имеет связанный когерентный пучок на вершине . Таким образом, всякий когерентный пучок на возникает из конечно порожденного градуированного -модуля . (Например, линейный пучок - это связка, связанная с -модулем с пониженной градуировкой на .) Но -модульчто дает заданный когерентный пучок, не единственно; он уникален только с точностью до изменения градуированными модулями, отличными от нуля лишь в конечном числе степеней. Точнее, абелева категория когерентных пучков на является фактором категории конечно порожденных градуированных -модулей по подкатегории Серра модулей, ненулевых только в конечном числе степеней. [15]
Касательное расслоение проективного пространства над полем можно описать в терминах линейного расслоения . А именно, существует короткая точная последовательность, последовательность Эйлера :
Отсюда следует, что каноническое расслоение (двойственное к детерминантному линейному расслоению касательного расслоения) изоморфно . Это фундаментальный расчет для алгебраической геометрии. Например, тот факт, что каноническое расслоение является отрицательным кратным обильному линейному расслоению, означает, что проективное пространство является многообразием Фано . По комплексным числам это означает, что проективное пространство имеет кэлерову метрику с положительной кривизной Риччи .
Векторные расслоения на гиперповерхности [ править ]
Рассмотрим гладкую степень- гиперповерхность, определяемую однородным многочленом степени . Тогда есть точная последовательность
где вторая карта - это откат дифференциальных форм, а первая карта отправляет
Обратите внимание, что эта последовательность говорит нам, что это конормальный пучок in . Дуализация этого дает точную последовательность
следовательно, это нормальный пучок в . Если мы воспользуемся тем фактом, что дана точная последовательность
векторные расслоения с рангами , , , существует изоморфизм
линейных расслоений, то мы видим, что существует изоморфизм
показывая это
Классы Черны и алгебраическая K -теория [ править ]
Расслоение на гладкое многообразие над полем имеет классы Черны в кольце Чжоу из , в течение . [16] Они удовлетворяют тем же формальным свойствам, что и классы Черна в топологии. Например, для любой короткой точной последовательности
векторных расслоений на , классы Черна задаются формулами
Отсюда следует, что классы Черна векторного расслоения зависят только от класса в группе Гротендика . По определению, для схемы , является фактором свободной абелевой группы на множестве классов изоморфизма векторных расслоений на соотношении , что для любой точной последовательности , как описаны выше. Хотя в целом ее сложно вычислить, алгебраическая K-теория предоставляет множество инструментов для ее изучения, включая последовательность связанных групп для целых чисел .
Вариантом является группа (или ), группа Гротендика когерентных пучков на . (В топологических терминах G -теория обладает формальными свойствами теории гомологий Бореля – Мура для схем, тогда как K -теория является соответствующей теорией когомологий .) Естественный гомоморфизм является изоморфизмом, если является регулярной отделимой нётеровой схемой, используя то, что каждая когерентный пучок в этом случае имеет конечное разрешение векторными расслоениями. [17] Например, это дает определение классов Черна когерентного пучка на гладком многообразии над полем.
В более общем смысле говорят , что нётерова схема обладает свойством разрешения, если каждый когерентный пучок на имеет сюръекцию из некоторого векторного расслоения на . Например, любая квазипроективная схема над нётеровым кольцом обладает свойством разрешающей способности.
Применение свойства разрешения [ править ]
Поскольку состояния разрешения собственности, когерентный пучок на нётеровой схеме квазиизоморфен в производной категории в комплекс векторных расслоений: мы можем вычислить общий класс Черна с
Например, эта формула полезна для поиска классов Черна пучка, представляющего подсхему . Если взять проективную схему, ассоциированную с идеалом , то
поскольку есть разрешение
кончено .
Гомоморфизм пучка против гомоморфизма пучка [ править ]
Когда векторные расслоения и локально свободные пучки конечного постоянного ранга используются как взаимозаменяемые, необходимо проявлять осторожность, чтобы различать гомоморфизмы расслоений и гомоморфизмы пучков. В частности, данные векторные расслоения , по определению, гомоморфизм расслоения - это схемный морфизм над (т. Е. ) Такой, что для каждой геометрической точки в , является линейным отображением ранга, не зависящего от . Таким образом, он индуцирует гомоморфизм пучков постоянного ранга между соответствующими локально свободными -модулями (пучками двойственных сечений). Но может существовать гомоморфизм -модулей, который не возникает таким образом; а именно те, которые не имеют постоянного звания.
В частности, подгруппа - это подпучок (т. Е. Подпучок ). Но обратное может потерпеть неудачу; например, для эффективного делителя Картье на , является подпучком, но обычно не подгруппой (так как любой линейный пучок имеет только два подгруппы).
Категория квазикогерентных пучков [ править ]
Квазикогерентные пучки на любой схеме образуют абелеву категорию. Габбер показал, что на самом деле квазикогерентные пучки на любой схеме образуют особенно хорошо управляемую абелеву категорию, категорию Гротендика . [18] Квазикомпактная квази-разделенная схема (такая как алгебраическое многообразие над полем) определяется с точностью до изоморфизма абелевой категорией квазикогерентных пучков на Розенберге, обобщая результат Габриэля . [19]
Когерентные когомологии [ править ]
Основным техническим инструментом алгебраической геометрии является теория когомологий когерентных пучков. Хотя он был введен только в 1950-х годах, многие ранние методы алгебраической геометрии проясняются языком когомологий пучков, применяемых к когерентным пучкам. Вообще говоря, когерентные когомологии пучков можно рассматривать как инструмент для создания функций с заданными свойствами; сечения линейных пучков или более общих пучков можно рассматривать как обобщенные функции. В комплексной аналитической геометрии когомологии когерентных пучков также играют основополагающую роль.
Среди основных результатов когерентных когомологий пучков - результаты о конечномерности когомологий, результаты об исчезновении когомологий в различных случаях, теоремы двойственности, такие как двойственность Серра , отношения между топологией и алгебраической геометрией, такие как теория Ходжа , и формулы для характеристик Эйлера. когерентных пучков, таких как теорема Римана – Роха .
См. Также [ править ]
- Группа Пикард
- Дивизор (алгебраическая геометрия)
- Возвратная связка
- Схема котировки
- Скрученная связка
- Существенно конечное векторное расслоение
- Связка основных частей
- Теорема реконструкции Габриэля – Розенберга
- Псевдокогерентный пучок
- Квазикогерентный пучок на алгебраическом стеке
Заметки [ править ]
- Перейти ↑ Mumford 1999 , Ch. III, § 1, теорема-определение 3.
- ^ a b Stacks Project, тег 01LA.
- ^ Проект стеков, тег 01BU.
- ^ Серра 1955 , §13
- ^ Гротендик & Dieudonné 1960 , Corollaire 1.5.2
- ^ Hartshorne 1977 , Упражнение II.5.18
- ^ Проект "Стеки", тег 00NV.
- ↑ Серр, 1955 , §14
- ^ Хартсхорн 1977
- ^ Проект "Стеки", тег 01BG.
- ^ Хартсхорн 1977 , пример III.12.7.2
- Перейти ↑ Grothendieck & Dieudonné 1960 , Ch. 0, 5.2.7
- ^ Эйзенбад 1995 , упражнения 20,13
- ^ Хартсхорн 1977 , следствие II.5.16
- ^ Stacks Project, тег 01YR.
- ^ Fulton 1998 , §3.2 и пример 8.3.3
- ^ Фултон 1998 , B.8.3
- ^ Проект "Стеки", тег 077K.
- ^ Antieau 2016 , следствие 4.2
Ссылки [ править ]
- Antieau, Benjamin (2016), «Теорема восстановления абелевых категорий скрученных пучков», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 712 : 175–188, arXiv : 1305.2541 , doi : 10.1515 / crelle-2013-0119 , MR 3466552
- Данилов, В.И. (2001) [1994], "Когерентный алгебраический пучок" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Грауэрт, Ганс ; Реммерт, Рейнхольд (1984), когерентные аналитические пучки , Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-642-69582-7 , ISBN 3-540-13178-7, Руководство по ремонту 0755331
- Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для выпускников по математике , 150 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
- Фултон, Уильям (1998), Теория пересечения , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-1700-8 , ISBN 978-0-387-98549-7, MR 1644323
- Разделы 0.5.3 и 0.5.4 Гротендика, Александра ; Дьедонне, Жан (1960). "Algébrique Éléments de géométrie: I. Le langage des schémas" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . DOI : 10.1007 / bf02684778 . Руководство по ремонту 0217083 .
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту 0463157
- Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга разновидностей и схем: включает лекции в Мичигане (1974) о кривых и их якобианах (2-е изд.). Springer-Verlag . DOI : 10.1007 / b62130 . ISBN 354063293X. Руководство по ремонту 1748380 .
- Онищик А.Л. (2001) [1994], "Когерентный аналитический пучок" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Онищик А.Л. (2001) [1994], "Когерентный пучок" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Серра, Жан-Пьер (1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Анналы математики , 61 : 197-278, DOI : 10,2307 / 1969915 , МР 0068874
Внешние ссылки [ править ]
- Авторы проекта Stacks, проект Stacks
- Часть V: Вакил, Рави , Восходящее море