В математике пучком O -модулей или просто O -модулем над окольцованным пространством ( X , O ) называется пучок F такой, что для любого открытого подмножества U в X , F ( U ) является O ( U ) - модуля и отображения ограничения F ( U ) → F ( V ) согласованы с отображениями ограничения O ( U ) → O ( V ): ограничениеfs - это ограничение f, умноженное на ограничение s для любых f в O ( U ) и s в F ( U ).
Стандартный случай - это когда X - схема, а O - ее структурный пучок. Если O - постоянный пучок , то пучок O -модулей совпадает с пучком абелевых групп (т. е. абелевым пучком ).
Если X - простой спектр кольца R , то любой R -модуль естественным образом определяет O X -модуль (называемый ассоциированным пучком ). Аналогичным образом , если R является градуированным кольцом и Х представляет собой Рго из R , то любой градуированный модуль определяет O X - модуль естественным образом. Возникающие таким образом O- модули являются примерами квазикогерентных пучков , и фактически на аффинных или проективных схемах все квазикогерентные пучки получаются таким образом.
Пучки модулей над окольцованным пространством образуют абелеву категорию . [1] Более того, эта категория имеет достаточно инъективных , [2] и, следовательно, можно определить и определяет когомологии пучка как i -й правый производный функтор от функтора глобального сечения . [3]
Примеры
- Учитывая окольцованное пространство ( X , О ), если Р представляет собой О -подмодуле O , то она называется пучком идеалов или идеального пучок из O , поскольку для каждого открытого подмножества U из X , F ( U ) является идеальным кольца O ( U ).
- Пусть X - гладкое многообразие размерности n . Тогда касательный пучок из X является двойственным кокасательным пучок и каноническая связка Является ли в н -й внешней энергии ( определитель ) из.
- Пучок алгебр является пучком модуля , который также является пучок колец.
Операции
Пусть ( X , O ) - окольцованное пространство. Если F и G - O -модули, то их тензорное произведение, обозначаемое
- или же ,
является О - модулем , которым пучок , ассоциированный с предпучкой (Чтобы увидеть, что связки нельзя избежать, вычислите глобальные разделы где O (1) - скручивающий пучок Серра на проективном пространстве.)
Аналогично, если F и G - O -модули, то
обозначает O -модуль, являющийся пучком. [4] В частности, O -модуль
называется двойственным модулем к F и обозначается. Примечание: для любых O- модулей E , F существует канонический гомоморфизм
- ,
который является изоморфизмом, если E - локально свободный пучок конечного ранга. В частности, если L локально не имеет ранга один (такой L называется обратимым пучком или линейным расслоением ) [5], то это читается так:
из которых следует, что классы изоморфизма обратимых пучков образуют группу. Эта группа называется группой Пикара пространства X и канонически отождествляется с первой группой когомологий(стандартным рассуждением с когомологиями Чеха ).
Если E - локально свободный пучок конечного ранга, то существует O- линейное отображениедано парой; это называется след карты из Е .
Для любого O - модуля F , в тензорной алгебре , внешняя алгебра и симметричная алгебра из F , определяются таким же образом. Например, k -я внешняя мощность
связка связанная с предпучком . Если F локально не имеет ранга n , тоназывается детерминантным линейным расслоением (хотя и технически обратимым ) пучка F и обозначается через det ( F ). Возникает естественное идеальное сочетание:
Пусть f : ( X , O ) → ( X ' , O ' ) - морфизм окольцованных пространств. Если F - O -модуль, то пучок прямых изображений является O ' -модулем через естественное отображение O ' → f * O (такое естественное отображение является частью данных морфизма окольцованных пространств.)
Если G - O ' -модуль, то прообраз модулягруппы G является O -модулем, заданным как тензорное произведение модулей:
где - пучок прообраза группы G и получается из по принуждению .
Между а также : для любого O -модуля F и O ' -модуля G ,
как абелева группа. Также существует формула проекции : для O -модуля F и локально свободного O'- модуля E конечного ранга
Характеристики
Пусть ( X , O ) - окольцованное пространство. О - модуль F называется порождаются глобальными сечениями , если есть сюръекция О -модулях:
- .
Явно это означает, что существуют глобальные секции s i из F, такие что изображения s i в каждом стержне F x генерируют F x как O x -модуль.
Примером такого пучка является пучок, связанный в алгебраической геометрии с R -модулем M , где R - любое коммутативное кольцо , на спектре кольца Spec ( R ). Другой пример: согласно теореме Картана A любой когерентный пучок на многообразии Штейна натянут на глобальные сечения. (см. теорему Серра A ниже). В теории схем родственное понятие - обильное линейное расслоение . (Например, если L - обильный линейный пучок, некоторая его мощность создается глобальными секциями.)
Инъективный O -модуль является вялым (т. Е. Все отображения ограничений F ( U ) → F ( V ) сюръективны). [6] Так как вялый пучок ацикличен в категории абелевых пучков, отсюда следует, что i -я правая производный функтор от функтора глобального сеченияв категории O -модулей совпадает с обычными когомологиями i -го пучка в категории абелевых пучков. [7]
Связка связанная с модулем
Позволять быть модулем над кольцом . Ставить и писать . Для каждой пары, по универсальному свойству локализации существует естественная карта
имея свойство, которое . потом
является контравариантным функтором из категории, объектами которой являются множества D ( f ) и морфизирует включения множеств в категорию абелевых групп . Можно показать [8], что это на самом деле B-пучок (т. Е. Удовлетворяет аксиоме склейки) и, таким образом, определяет пучокна X называется пучок , связанный с М .
Самый простой пример - это структурный пучок на X ; т.е.. Более того, имеет структуру -модуль и, таким образом, получается точный функтор из Mod A , категория модулей над A в категорию модулей над. Он определяет эквивалентность Mod A категории квазикогерентных пучков на X с обратным, глобальный функтор сечения . Когда Х является нетерово , функтор является эквивалентностью из категории конечно порожденных A -модулей к категории когерентных пучков на X .
Конструкция обладает следующими свойствами: для любых -модулей M , N ,
- . [9]
- Для любого простого идеала р из А ,поскольку O p = A p -модуль.
- . [10]
- Если M является конечно представим ,. [10]
- , Так как эквивалентности между Mod A и категории квази-когерентных пучков на X .
- ; [11], в частности, взяв прямую сумму и ~ коммутируют.
Связка, связанная с градуированным модулем
Есть градуированный аналог конструкции и эквивалентности из предыдущего раздела. Пусть R - градуированное кольцо, порожденное элементами степени один как R 0 -алгебра ( R 0 означает кусок нулевой степени), а M - градуированный R -модуль. Пусть X - Proj группы R (так что X - проективная схема, если R нётерова). Тогда существует O -модультакое, что для любого однородного элемента f положительной степени R существует естественный изоморфизм
как пучки модулей на аффинной схеме ; [12] фактически, это определяет приклеиванием.
Пример . Пусть R (1) - градуированный R -модуль, задаваемый формулой R (1) n = R n +1 . потомназывается скручивающим пучком Серра , который является двойственным к тавтологическому линейному расслоению, если R конечно порождено в степени один.
Если F - O -модуль на X , то записывая, существует канонический гомоморфизм:
- ,
который является изоморфизмом тогда и только тогда, когда F квазикогерентен.
Вычисление когомологий пучков
Когомологии пучков известны тем, что их трудно вычислить. По этой причине следующий общий факт является основополагающим для любых практических вычислений:
Теорема - Пусть X топологическое пространство, F абелева пучок на нем иоткрытое покрытие X такое, чтодля любых i , p ив . Тогда для любого I ,
где правая часть - i -я когомология Чеха .
Теорема А Серра утверждает , что если Х представляет собой проективное многообразие и F когерентный пучок на него, то при достаточно больших п , Р ( п ) порождается конечным числом глобальных сечений. Более того,
- (a) Для каждого i H i ( X , F ) конечно порожден над R 0 , и
- (b) ( Теорема Серра B ) Существует целое число n 0 , зависящее от F , такое, что
- .
Расширение связки
Пусть ( X , O ) окольцованное пространство, и пусть F , H пучки из O -модулей на X . Расширение из Н с помощью F является короткой точной последовательностью из O - модулей
Как и в случае с расширениями групп, если мы зафиксируем F и H , то все классы эквивалентности расширений H с помощью F образуют абелеву группу (см. Сумму Бэра ), которая изоморфна группе Ext , где элемент идентичности в соответствует тривиальному расширению.
В случае, когда H равно O , мы имеем: для любого i ≥ 0,
since both the sides are the right derived functors of the same functor
Note: Some authors, notably Hartshorne, drop the subscript O.
Assume X is a projective scheme over a Noetherian ring. Let F, G be coherent sheaves on X and i an integer. Then there exists n0 such that
- . [13]
Locally Free Resolutions
can be readily computed for any coherent sheaf using a locally free resolution:[14] given a complex
then
hence
Examples
Hypersurface
Consider a smooth hypersurface of degree . Then, we can compute a resolution
and find that
Union of Smooth Complete Intersections
Consider the scheme
where is a smooth complete intersection and , . We have a complex
resolving which we can use to compute .
Смотрите также
- D-module (in place of O, one can also consider D, the sheaf of differential operators.)
- fractional ideal
- holomorphic vector bundle
- generic freeness
Заметки
- ^ Vakil, Math 216: Foundations of algebraic geometry, 2.5.
- ^ Hartshorne, Ch. III, Proposition 2.2.
- ^ This cohomology functor coincides with the right derived functor of the global section functor in the category of abelian sheaves; cf. Hartshorne, Ch. III, Proposition 2.6.
- ^ There is a canonical homomorphism:
- ^ For coherent sheaves, having a tensor inverse is the same as being locally free of rank one; in fact, there is the following fact: if and if F is coherent, then F, G are locally free of rank one. (cf. EGA, Ch 0, 5.4.3.)
- ^ Hartshorne, Ch III, Lemma 2.4.
- ^ see also: https://math.stackexchange.com/q/447234
- ^ Hartshorne, Ch. II, Proposition 5.1.
- ^ EGA I, Ch. I, Proposition 1.3.6.
- ^ a b EGA I, Ch. I, Corollaire 1.3.12.
- ^ EGA I, Ch. I, Corollaire 1.3.9.
- ^ Hartshorne, Ch. II, Proposition 5.11.
- ^ Hartshorne, Ch. III, Proposition 6.9.
- ^ Hartshorne, Robin. Algebraic Geometry. pp. 233–235.
Рекомендации
- Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.
- Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157