В математике , теоремы Картана А и В два результата оказались на Анри Картана около 1951, касающиеся в когерентный пучок F на многообразии Штейна X . Они важны как применительно к нескольким комплексным переменным , так и в общем развитии когомологий пучков .
- Теорема A. F является натянутым глобальными сечениями .
Теорема B сформулирована в когомологических терминах (формулировка, которую Картан ( 1953 , с. 51) приписывает Ж.-П. Серру):
- Теорема B. H p ( X , F ) = 0 для всех p > 0 .
Аналогичные свойства были установлены Серром ( 1957 ) для когерентных пучков в алгебраической геометрии , когда X - аффинная схема . Аналог теоремы B в этом контексте выглядит следующим образом ( Hartshorne 1977 , теорема III.3.7):
- Теорема B (теоретико-схемный аналог). Пусть X аффинная схема, F квазикогерентный пучок из О X -модулей для топологии Зарисского на X . Тогда H p ( X , F ) = 0 для всех p > 0 .
Эти теоремы имеют много важных приложений. Например, они предполагают , что голоморфная функция на замкнутом комплексном подмногообразии, Z , многообразия Штейна X может быть расширена до голоморфной функции на всех X . На более глубоком уровне эти теоремы были использованы Жан-Пьером Серром для доказательства теоремы GAGA .
Теорема B точна в том смысле, что если H 1 ( X , F ) = 0 для всех когерентных пучков F на комплексном многообразии X (соответственно квазикогерентных пучков F на нётеровой схеме X ), то X штейново (соответственно. аффинный); см. ( Серр, 1956 ) (соответственно ( Серр, 1957 ) и ( Хартсхорн, 1977 , теорема III.3.7)).
- См. Также задачи кузена.
Рекомендации
- Картан, Х. (1953), "Variétés analytiques complex et cohomologie", Colloque tenu à Bruxelles : 41–55.
- Ганнинг, Роберт С .; Росси, Хьюго (1965), Аналитические функции нескольких комплексных переменных , Прентис Холл.
- Хартсхорн, Робин (1977), алгебраическая геометрия , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90244-9.
- Серр, Жан-Пьер (1957), "Sur la cohomologie des varétés algébriques", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 36 : 1–16.
- Серра, Жан-Пьер (1956), "Geometrie algébrique и др геометрический подход Аналитический" , Annales де l'Институт Фурье , 6 : 1-42, DOI : 10,5802 / aif.59 , ISSN 0373-0956 , MR 0082175