Канонический комплект

В математике , то каноническое расслоение на неособое алгебраическое многообразие размерности над полем является линейным расслоением , которое является п - й внешней степени из кокасательного расслоения Q , на V .${\ displaystyle V}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \, \! \ Omega ^ {n} = \ omega}$

За комплексными числами , это определитель расслоение голоморфных п - форм на V . Это объект dualising для двойственности Серра на V . Его также можно рассматривать как обратимый пучок .

Канонический класс является классом делителя из Картье делителей K на V порождая каноническое расслоение - это класс эквивалентности для линейной эквивалентности на V , и любой делитель в нем можно назвать каноническим делителем . Антиканонический делитель любой делитель - К с К каноническим.

Антиканоническое расслоение является соответствующим обратным расслоением ω ^-1 . Когда антиканоническое расслоение V обильно , V называется многообразием Фано .

Формула присоединения [ править ]

Предположим , что X является гладким многообразием , и что D является гладким делитель на X . Формула присоединения относится канонические пучки X и D . Это естественный изоморфизм

${\ displaystyle \ omega _ {D} = i ^ {*} (\ omega _ {X} \ otimes {\ mathcal {O}} (D)).}$

С точки зрения канонических классов это

${\ displaystyle K_ {D} = (K_ {X} + D) | _ {D}.}$

Эта формула - одна из самых мощных формул алгебраической геометрии. Важный инструмент современной бирациональной геометрии инверсия примыкания , что позволяет сделать вывод о результатах особенностей X от особенностей D .

Единственный падеж [ править ]

На особом многообразии канонический дивизор можно определить несколькими способами. Если многообразие нормальное, оно гладкое в коразмерности один. В частности, мы можем определить канонический дивизор на гладком множестве точек. Это дает нам уникальный класс дивизоров Вейля на . Именно этот класс, обозначаемый , называется каноническим дивизором на${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle K_ {X}}$${\ displaystyle X.}$

С другой стороны , опять же на нормальном многообразии , можно считать , на «ю когомологию нормированной дуализирующего комплекс из . Этот пучок соответствует классу дивизоров Вейля , который совпадает с классом дивизоров, определенным выше. В отсутствие гипотезы нормальности тот же результат имеет место, если S2 и Горенштейна в размерности один.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle h ^ {- d} (\ omega _ {X} ^ {.})}$${\ displaystyle -d}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle K_ {X}}$${\ displaystyle X}$

Канонические карты [ править ]

Если канонический класс эффективен , то он определяет рациональное отображение из V в проективное пространство. Эта карта называется канонической . Рациональное отображение, определяемое n- м кратным канонического класса, является n -каноническим отображением . П -канонических отображение сопоставляет V в проективное пространство размерности один меньше , чем размерности глобальных сечений п - го числа , кратного канонического класса. п-канонические карты могут иметь базовые точки, что означает, что они не определены везде (т.е. они не могут быть морфизмом многообразий). У них могут быть слои положительной размерности, и даже если они имеют нульмерные слои, они не обязательно должны быть локальными аналитическими изоморфизмами.

Канонические кривые [ править ]

Наиболее изученный случай - это кривые. Здесь каноническое расслоение совпадает с (голоморфным) кокасательным расслоением . Следовательно, глобальное сечение канонического расслоения - это то же самое, что и всюду регулярную дифференциальную форму. Классически их называли дифференциалами первого рода . Степень канонического класса для кривой рода g равна 2 g - 2 . ^[1]

Низкий род [ править ]

Предположим, что C - гладкая алгебраическая кривая рода g . Если г равен нулю, то С является Р ¹ , и канонический класс является класс -2 Р , где Р является любая точка C . Это следует из формулы исчисления d (1 / t ) = - dt / t ² , например, мероморфного дифференциала с двойным полюсом в бесконечно удаленной точке на сфере Римана . В частности, K _C и его кратные не эффективны. Если g равно единице, то C- эллиптическая кривая , а K _C - тривиальное расслоение. Глобальные секции тривиального расслоения образуют одномерное векторное пространство, поэтому n -каноническое отображение для любого n - это отображение в точку.

Гиперэллиптический случай [ править ]

Если C имеет род два или более, то канонический класс велик , поэтому изображение любого n -канонического отображения является кривой. Образ 1-канонического отображения называется канонической кривой . Каноническая кривая рода g всегда находится в проективном пространстве размерности g - 1 . ^[2] Когда C - гиперэллиптическая кривая , каноническая кривая - рациональная нормальная кривая , а C - двойное покрытие своей канонической кривой. Например, если P - многочлен степени 6 (без повторяющихся корней), то

у ² = Р ( х )

является представлением аффинной кривой для кривой рода 2, обязательно гиперэллиптической, и базис дифференциалов первого рода дается в тех же обозначениях как

dx / √ P ( x ) ,   x dx / √ P ( x ) .

Это означает, что каноническое отображение задается однородными координатами [1: x ] как морфизм проективной прямой. Рациональная нормальная кривая для гиперэллиптических кривых высшего рода возникает таким же образом с мономами более высокой степени от x .

Общий случай [ править ]

В противном случае, для негиперэллиптического C, что означает, что g не меньше 3, морфизм является изоморфизмом C с его образом, который имеет степень 2 g - 2. Таким образом, для g = 3 канонические кривые (негиперэллиптический случай) являются квартическими. плоские кривые . Таким образом возникают все неособые плоские квартики. Имеется явная информация для случая g = 4, когда каноническая кривая является пересечением квадрики и кубической поверхности ; и для g = 5, когда это пересечение трех квадрик. ^[2] Имеется обратное, которое является следствием теоремы Римана – Роха.: неособая кривая C рода g, вложенная в проективное пространство размерности g - 1 как линейно нормальная кривая степени 2 g - 2, является канонической кривой, если ее линейной оболочкой является все пространство. На самом деле связь между каноническими кривыми C (в негиперэллиптическом случае g по крайней мере 3), Риманом-Рохом и теорией специальных дивизоров довольно близка. Эффективные дивизоры D на Cсостоящие из различных точек, имеют линейную оболочку в каноническом вложении с размерностью, непосредственно связанной с размерностью линейной системы, в которой они движутся; и после некоторого дальнейшего обсуждения это относится также к случаю точек с кратностями. ^{[3] [4]}

Для больших значений g доступна более точная информация , но в этих случаях канонические кривые обычно не являются полными пересечениями , и описание требует более тщательного рассмотрения коммутативной алгебры . Эта область началась с теоремы Макса Нётер : размерность пространства квадрик, проходящих через C, вложенных в каноническую кривую, равна ( g - 2) ( g - 3) / 2. ^[5] Теорема Петри , часто цитируемая под этим названием и опубликованная в 1923 г. Карлом Петри (1881–1955), утверждает, что для gпо крайней мере 4 однородный идеал, определяющий каноническую кривую, порождается ее элементами степени 2, за исключением случаев (а) тригональных кривых и (б) неособых плоских квинтик, когда g = 6. В исключительных случаях идеал порождается элементами степеней 2 и 3. С исторической точки зрения этот результат был широко известен до Петри и был назван теоремой Бэббиджа-Чизини-Энрикес (в честь Денниса Бэббиджа, завершившего доказательство, Оскара Кизини и Федериго Энрикеса ). Терминология запутана, поскольку результат также называется теоремой Нётер – Энриквес . Вне гиперэллиптических случаев Нётер доказала, что (говоря современным языком) каноническое расслоение обычно порождается: симметричные степени пространства сечений канонического расслоения отображаются на сечения его тензорных степеней. ^{[6] [7]} Это означает, например, порождение квадратичных дифференциалов на таких кривых дифференциалами первого рода; и это имеет последствия для локальной теоремы Торелли . ^[8] Работа Петри фактически предоставила явные квадратичные и кубические образующие идеала, показывая, что, за исключением исключений, кубики могут быть выражены в терминах квадратичных. В исключительных случаях пересечение квадрик канонической кривой является линейчатой ​​поверхностью и поверхностью Веронезе соответственно .

Эти классические результаты были доказаны для комплексных чисел, но современное обсуждение показывает, что эти методы работают с полями любой характеристики. ^[9]

Канонические кольца [ править ]

Каноническое кольцо из V представляет собой градуированное кольцо

${\ displaystyle R = \ bigoplus _ {d = 0} ^ {\ infty} H ^ {0} (V, K_ {V} ^ {d}).}$

Если канонический класс V представляет собой обильное линейное расслоение , то каноническое кольцо является однородным координатным кольцом образа канонического отображения. Это может быть правдой, даже если канонический класс V недостаточен. Например, если V - гиперэллиптическая кривая, то каноническое кольцо снова является однородным координатным кольцом образа канонического отображения. В общем, если указанное выше кольцо конечно порождено, то элементарно увидеть, что это однородное координатное кольцо образа k -канонического отображения, где k - любое достаточно делимое положительное целое число.

Программа минимальных моделей предполагала, что каноническое кольцо любого гладкого или слегка сингулярного проективного многообразия конечно порождено. В частности, это было известно, подразумевает существование канонической модели , определенной бирациональной модель V с умеренными особенностями , которые могут быть построены путем стягивания V . Когда каноническое кольцо конечно порождено, канонической моделью является Proj канонического кольца. Если каноническое кольцо не конечно порождено, то Proj R не является многообразием и, следовательно, не может быть бирациональным для V ; в частности, V не допускает канонической модели.

Фундаментальная теорема Биркара-Кашини-Хакон-МакКернана из 2006 г. ^[10] состоит в том, что каноническое кольцо гладкого или слабо сингулярного проективного алгебраического многообразия конечно порождено.

Размерность Кодаиров из V представляет размерность канонического кольца минус один. Здесь размерность канонического кольца может означать размерность Крулля или степень трансцендентности .

См. Также [ править ]

• Бирациональная геометрия
• Дифференциальная форма

Примечания [ править ]