Формула присоединения

В математике , особенно в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий , формула присоединения связывает каноническое расслоение многообразия и гиперповерхность внутри этого многообразия. Он часто используется для вывода фактов о многообразиях, вложенных в пространства с хорошим поведением, такие как проективное пространство , или для доказательства теорем по индукции.

Дополнение для гладких разновидностей

Формула гладкого подмногообразия

Пусть X — гладкое алгебраическое многообразие или гладкое комплексное многообразие, а Y — гладкое подмногообразие X . Обозначим отображение включения Y → X через i и идеальный пучок Y в X через . Конормальная точная последовательность для i равна${\ Displaystyle {\ mathcal {I}}}$

${\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {I}} / {\ mathcal {I}} ^ {2} \ to i ^ {*} \ Omega _ {X} \ to \ Omega _ {Y} \ to 0, }$

где Ω обозначает кокасательное расслоение . Определитель этой точной последовательности является естественным изоморфизмом

${\ displaystyle \ omega _ {Y} = i ^ {*} \ omega _ {X} \ otimes \ operatorname {det} ({\ mathcal {I}} / {\ mathcal {I}} ^ {2}) ^ {\ ви},}$

где обозначает двойственное к линейному расслоению.${\ Displaystyle \ ви}$

Частный случай гладкого делителя

Предположим, что D — гладкий дивизор на X . Его нормальное расслоение продолжается до линейного расслоения на X , а идеальный пучок D соответствует его двойственному расслоению . Конормальный пучок равен , что в сочетании с приведенной выше формулой дает${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (D)}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (-D)}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} / {\ mathcal {I}} ^ {2}}$${\ Displaystyle я ^ {*} {\ mathcal {O}} (-D)}$

${\ displaystyle \ omega _ {D} = i ^ {*} (\ omega _ {X} \ otimes {\ mathcal {O}} (D)).}$

В терминах канонических классов это говорит о том, что

${\ displaystyle K_ {D} = (K_ {X} + D) | _ {D}.}$

Обе эти две формулы называются формулой присоединения .

Примеры

Гиперповерхности степени d

Для гладкой гиперповерхности степени мы можем вычислить ее канонические и антиканонические расслоения, используя формулу присоединения. Это читается как${\ Displaystyle д}$${\ Displaystyle я: X \ hookrightarrow \ mathbb {P} _ {S} ^ {п}}$

${\ displaystyle \ omega _ {X} \ cong i ^ {*} \ omega _ {\ mathbb {P} ^ {n}} \ otimes {\ mathcal {O}} _ {X} (d)}$

который изоморфен .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-n{-}1{+}d)}$

Полные перекрестки

Для гладкого полного пересечения степеней конормальный пучок изоморфен , поэтому расслоение детерминанта и его двойственное , показывая${\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} _{S}^{n}}$${\displaystyle (d_{1},d_{2})}$${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d_{1})\oplus {\mathcal {O}}(-d_{2})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d_{1}{-}d_{2})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(d_{1}{+}d_{2})}$

${\displaystyle \omega _{X}\,\cong \,{\mathcal {O}}_{X}(-n{-}1)\otimes {\mathcal {O}}_{X}(d_{1}{+}d_{2})\,\cong \,{\mathcal {O}}_{X}(-n{-}1{+}d_{1}{+}d_{2}).}$

Это обобщается таким же образом для всех полных пересечений.

Кривые на квадратичной поверхности

${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$вкладывается в как квадратичная поверхность, заданная геометрической чертой нуля квадратного многочлена, происходящего из невырожденной симметричной матрицы. ^[1] Тогда мы можем ограничить наше внимание кривыми на . Мы можем вычислить кокасательный пучок, используя прямую сумму кокасательных пучков на каждом , так что это . Тогда канонический пучок имеет вид , который можно найти с помощью разложения клиньев прямых сумм векторных расслоений. Затем, используя формулу присоединения, кривую, определяемую точкой исчезновения сечения , можно вычислить как${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle Y=\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-2,0)\oplus {\mathcal {O}}(0,-2)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-2,-2)}$${\displaystyle f\in \Gamma ({\mathcal {O}}(a,b))}$

${\displaystyle \omega _{C}\,\cong \,{\mathcal {O}}(-2,-2)\otimes {\mathcal {O}}_{C}(a,b)\,\cong \,{\mathcal {O}}_{C}(a{-}2,b{-}2).}$

Остаток Пуанкаре

Карта ограничения называется вычетом Пуанкаре . Предположим, что X — комплексное многообразие. Тогда на сечениях остаток Пуанкаре можно выразить следующим образом. Зафиксируем открытое множество U , на котором D задается обращением в нуль функции f . Любое сечение над U может быть записано как s / f , где s — голоморфная функция на U. Пусть η — сечение над U со _X . Вычет Пуанкаре — это отображение${\displaystyle \omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}(D)\to \omega _{D}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

${\displaystyle \eta \otimes {\frac {s}{f}}\mapsto s{\frac {\partial \eta }{\partial f}}{\bigg |}_{f=0},}$

то есть он формируется путем применения векторного поля ∂/∂ f к форме объема η, а затем умножения на голоморфную функцию s . Если U допускает локальные координаты г ₁ , ..., г _п такое , что для некоторого I , ∂ F / ∂ г _я ≠ 0 , то это может также быть выражены как

${\displaystyle {\frac {g(z)\,dz_{1}\wedge \dotsb \wedge dz_{n}}{f(z)}}\mapsto (-1)^{i-1}{\frac {g(z)\,dz_{1}\wedge \dotsb \wedge {\widehat {dz_{i}}}\wedge \dotsb \wedge dz_{n}}{\partial f/\partial z_{i}}}{\bigg |}_{f=0}.}$

Другой способ рассмотрения остатка Пуанкаре сначала переосмысливает формулу присоединения как изоморфизм

${\displaystyle \omega _{D}\otimes i^{*}{\mathcal {O}}(-D)=i^{*}\omega _{X}.}$

На открытом множестве U , как и прежде, сечение есть произведение голоморфной функции s вида df / f . Вычет Пуанкаре — это отображение, которое принимает клин-произведение сечения ω _D и сечения .${\displaystyle i^{*}{\mathcal {O}}(-D)}$${\displaystyle i^{*}{\mathcal {O}}(-D)}$

Инверсия присоединения

Формула присоединения ложна, если точная конормальная последовательность не является короткой точной последовательностью. Однако можно использовать эту неудачу, чтобы связать особенности X с особенностями D . Теоремы этого типа называются обращением присоединения . Они являются важным инструментом в современной бирациональной геометрии.

Канонический делитель плоской кривой

Пусть — гладкая плоская кривая, вырезанная однородным по степени полиномом . Мы утверждаем, что канонический дивизор есть где дивизор гиперплоскости.${\displaystyle C\subset \mathbf {P} ^{2}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle F(X,Y,Z)}$${\displaystyle K=(d-3)[C\cap H]}$${\displaystyle H}$

Первая работа в аффинной карте . Уравнение становится где и . Мы явно вычислим делитель дифференциала${\displaystyle Z\neq 0}$${\displaystyle f(x,y)=F(x,y,1)=0}$${\displaystyle x=X/Y}$${\displaystyle y=Y/Z}$

${\displaystyle \omega :={\frac {dx}{\partial f/\partial y}}={\frac {-dy}{\partial f/\partial x}}.}$

В любой момент либо так является локальным параметром, либо так является локальным параметром. В обоих случаях порядок обращения в нуль в точке равен нулю. Таким образом, все вклады в делитель находятся на бесконечно удаленной линии .${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle \partial f/\partial y\neq 0}$${\displaystyle x-x_{0}}$${\displaystyle \partial f/\partial x\neq 0}$${\displaystyle y-y_{0}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\text{div}}(\omega )}$${\displaystyle Z=0}$

Теперь посмотрите на линию . Предположим, что так достаточно посмотреть на карту с координатами и . Уравнение кривой становится ${\displaystyle {Z=0}}$${\displaystyle [1,0,0]\not \in C}$${\displaystyle Y\neq 0}$${\displaystyle u=1/y}$${\displaystyle v=x/y}$

${\displaystyle g(u,v)=F(v,1,u)=F(x/y,1,1/y)=y^{-d}F(x,y,1)=y^{-d}f(x,y).}$

Следовательно

${\displaystyle \partial f/\partial x=y^{d}{\frac {\partial g}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial x}}=y^{d-1}{\frac {\partial g}{\partial v}}}$

так

${\displaystyle \omega ={\frac {-dy}{\partial f/\partial x}}={\frac {1}{u^{2}}}{\frac {du}{y^{d-1}\partial g/\partial v}}=u^{d-3}{\frac {dy}{\partial g/\partial v}}}$

с порядком исчезновения . Следовательно , что согласуется с формулой присоединения.${\displaystyle \nu _{p}(\omega )=(d-3)\nu _{p}(u)}$${\displaystyle {\text{div}}(\omega )=(d-3)[C\cap \{Z=0\}]}$

Приложения к кривым

Формула степени рода для плоских кривых может быть выведена из формулы присоединения. ^[2] Пусть C  ⊂  P ² — гладкая плоская кривая степени d рода g . Пусть H — класс гиперплоскости в P ² , т. е. класс прямой. Канонический класс P ² равен −3 H . Следовательно, формула присоединения говорит, что ограничение ( d − 3) H на C равно каноническому классу C . Это ограничение такое же, как произведение пересечения( d − 3) H ⋅ dH , ограниченное C , поэтому степень канонического класса C равна d ( d −3) . По теореме Римана –Роха g − 1 = ( d − 3) d − g + 1 , откуда следует формула

${\displaystyle g={\tfrac {1}{2}}(d{-}1)(d{-}2).}$

Аналогично, ^[3] если C — гладкая кривая на квадратичной поверхности P ¹ × P ¹ с бистепенью ( d ₁ , d ₂ ) (имеется в виду , что d ₁ , d ₂ — степени ее пересечения со слоем каждой проекции на P ¹ ) , так как канонический класс P ¹ × P ¹ имеет бистепень (−2,−2), формула присоединения показывает, что канонический класс C является произведением пересечений делителей бистепеней ( d ₁ , d ₂) и ( d ₁ −2, d ₂ −2). Форма пересечения на P ¹ × P ¹ определяется бистепенью и билинейностью, поэтому применение Римана–Роха дает или${\displaystyle ((d_{1},d_{2}),(e_{1},e_{2}))\mapsto d_{1}e_{2}+d_{2}e_{1}}$${\displaystyle 2g-2=d_{1}(d_{2}{-}2)+d_{2}(d_{1}{-}2)}$

${\displaystyle g=(d_{1}{-}1)(d_{2}{-}1)\,=\,d_{1}d_{2}-d_{1}-d_{2}+1.}$

Род кривой C , являющейся полным пересечением двух поверхностей D и E в P ³ , также можно вычислить по формуле присоединения. Предположим, что d и e — степени D и E соответственно. Применение формулы присоединения к D показывает, что его каноническим делителем является ( d − 4) H | _D , который является произведением пересечения ( d − 4) H и D . Делая это снова с E, что возможно, поскольку C является полным пересечением, показывает, что канонический дивизор C является произведением ( d + e − 4) H ⋅ dH ⋅ eH , то есть имеет степень de ( d + e − 4) . По теореме Римана – Роха это означает, что род C равен

${\displaystyle g=de(d+e-4)/2+1.}$

В более общем случае, если C является полным пересечением n − 1 гиперповерхностей D ₁ , ..., D _{n − 1} степеней d ₁ , ..., d _{n − 1} в P ⁿ , то индуктивное вычисление показывает, что каноническая класс С есть . Из теоремы Римана – Роха следует, что род этой кривой равен${\displaystyle (d_{1}+\cdots +d_{n-1}-n-1)d_{1}\cdots d_{n-1}H^{n-1}}$

${\displaystyle g=1+{\tfrac {1}{2}}(d_{1}+\cdots +d_{n-1}-n-1)d_{1}\cdots d_{n-1}.}$

Смотрите также

• Логарифмическая форма
• Остаток Пуанкаре

использованная литература

• Теория пересечения, 2-е издание, Уильям Фултон, Springer, ISBN 0-387-98549-2 , пример 3.2.12. 
• Принципы алгебраической геометрии , Гриффитс и Харрис, библиотека классики Wiley, ISBN 0-471-05059-8 , стр. 146–147. 
• Алгебраическая геометрия , Робин Хартсхорн , Springer GTM 52, ISBN 0-387-90244-9 , Предложение II.8.20.