В математике , то каноническое расслоение на неособое алгебраическое многообразие измерения над полем линейный пучок , Который является п - й внешней степени из кокасательного расслоения Q , на V .
За комплексными числами , это определитель расслоение голоморфных п - форм на V . Это объект dualising для двойственности Серра на V . Его также можно рассматривать как обратимый пучок .
Канонический класс является классом делителя из Картье делителей K на V порождая каноническое расслоение - это класс эквивалентности для линейной эквивалентности на V , и любой делитель в нем можно назвать каноническим делителем . Антиканонический делитель любой делитель - К с К каноническим.
Антиканоническое расслоение является соответствующим обратным расслоением ω -1 . Когда антиканоническое расслоение V обильно , V называется многообразием Фано .
Формула присоединения
Предположим , что X является гладким многообразием , и что D является гладким делитель на X . Формула присоединения относится канонические пучки X и D . Это естественный изоморфизм
С точки зрения канонических классов это
Эта формула - одна из самых мощных формул алгебраической геометрии. Важный инструмент современной бирациональной геометрии инверсия примыкания , что позволяет сделать вывод о результатах особенностей X от особенностей D .
Особый случай
О единственном разнообразии , канонический делитель можно определить несколькими способами. Если многообразие нормальное, оно гладкое в коразмерности один. В частности, мы можем определить канонический дивизор на гладком множестве точек. Это дает нам уникальный класс дивизоров Вейля на. Именно этот класс обозначается который называется каноническим делителем на
Альтернативно, опять же на обычном сорте можно считать , то -й когомология нормированного дуализирующего комплекса из. Этот пучок соответствует классу дивизоров Вейля , который равен классу дивизоровопределено выше. В отсутствие гипотезы нормальности тот же результат верен, еслиесть S2 и Горенштейна в размерности один.
Канонические карты
Если канонический класс эффективен , то он определяет рациональное отображение из V в проективное пространство. Эта карта называется канонической . Рациональное отображение, определяемое n- м кратным канонического класса, является n -каноническим отображением . П -канонических отображение сопоставляет V в проективное пространство размерности один меньше , чем размерности глобальных сечений п - го числа , кратного канонического класса. n -канонические карты могут иметь базовые точки, что означает, что они не определены везде (т. е. они не могут быть морфизмом многообразий). У них могут быть слои положительной размерности, и даже если они имеют нульмерные слои, они не обязательно должны быть локальными аналитическими изоморфизмами.
Канонические кривые
Лучше всего изучен случай кривых. Здесь каноническое расслоение совпадает с (голоморфным) кокасательным расслоением . Таким образом, глобальное сечение канонического расслоения - это то же самое, что и всюду регулярную дифференциальную форму. Классически их называли дифференциалами первого рода . Степень канонического класса для кривой рода g равна 2 g - 2 . [1]
Низкий род
Предположим, что C - гладкая алгебраическая кривая рода g . Если г равен нулю, то С является Р 1 , и канонический класс является класс -2 Р , где Р является любая точка C . Это следует из формулы исчисления d (1 / t ) = - dt / t 2 , например, мероморфного дифференциала с двойным полюсом в бесконечно удаленной точке на сфере Римана . В частности, K C и его кратные не эффективны. Если g равно единице, то C - эллиптическая кривая , а K C - тривиальное расслоение. Глобальные секции тривиального расслоения образуют одномерное векторное пространство, поэтому n -каноническое отображение для любого n является отображением в точку.
Гиперэллиптический случай
Если C имеет род два или более, то канонический класс велик , поэтому образ любой n -канонической карты является кривой. Образ 1-канонического отображения называется канонической кривой . Каноническая кривая рода g всегда находится в проективном пространстве размерности g - 1 . [2] Когда C - гиперэллиптическая кривая , каноническая кривая - рациональная нормальная кривая , а C - двойное покрытие своей канонической кривой. Например, если P - многочлен степени 6 (без повторяющихся корней), то
- у 2 = Р ( х )
является представлением аффинной кривой кривой рода 2, обязательно гиперэллиптической, и базис дифференциалов первого рода дается в тех же обозначениях как
- dx / √ P ( x ) , x dx / √ P ( x ) .
Это означает, что каноническое отображение задается однородными координатами [1: x ] как морфизм проективной прямой. Рациональная нормальная кривая для гиперэллиптических кривых высшего рода возникает таким же образом с мономами более высокой степени от x .
Общий случай
В противном случае для негиперэллиптического C, что означает, что g не меньше 3, морфизм является изоморфизмом C с его образом, который имеет степень 2 g - 2. Таким образом, для g = 3 канонические кривые (негиперэллиптический случай) являются квартиками плоские кривые . Так возникают все неособые плоские квартики. Есть явная информация для случая g = 4, когда каноническая кривая является пересечением квадрики и кубической поверхности ; и для g = 5, когда это пересечение трех квадрик. [2] Имеется обратное, которое является следствием теоремы Римана – Роха : неособая кривая C рода g, вложенная в проективное пространство размерности g - 1 как линейно нормальная кривая степени 2 g - 2, является каноническая кривая при условии, что ее линейная длина составляет все пространство. На самом деле связь между каноническими кривыми C (в негиперэллиптическом случае g по крайней мере 3), Риманом-Рохом и теорией специальных дивизоров довольно близка. Эффективные дивизоры D на C, состоящие из различных точек, имеют линейную оболочку в каноническом вложении с размерностью, непосредственно связанной с размерностью линейной системы, в которой они движутся; и после некоторого дальнейшего обсуждения это относится также к случаю точек с кратностями. [3] [4]
Для больших значений g доступна более точная информация , но в этих случаях канонические кривые обычно не являются полными пересечениями , и описание требует большего рассмотрения коммутативной алгебры . Эта область началась с теоремы Макса Нётер : размерность пространства квадрик, проходящих через C в виде канонической кривой, равна ( g - 2) ( g - 3) / 2. [5] Теорема Петри , часто цитируемая под этим названием и опубликованная в 1923 году Карлом Петри (1881–1955), утверждает, что для g не менее 4 однородный идеал, определяющий каноническую кривую, порождается ее элементами степени 2, за исключением случаи (а) тригональных кривых и (б) неособых плоских квинтик при g = 6. В исключительных случаях идеал порождается элементами степеней 2 и 3. С исторической точки зрения этот результат был широко известен до Петри, и была названа теоремой Бэббиджа-Кизини-Энрикес (в честь Денниса Бэббиджа, завершившего доказательство, Оскара Кизини и Федериго Энрикес ). Терминология сбивается с толку, поскольку результат также называется теоремой Нётер – Энриквес . Вне гиперэллиптических случаев Нётер доказала, что (говоря современным языком) каноническое расслоение нормально порождается : симметричные степени пространства сечений канонического расслоения отображаются на сечения его тензорных степеней. [6] [7] Это означает, например, порождение квадратичных дифференциалов на таких кривых дифференциалами первого рода; и это имеет последствия для локальной теоремы Торелли . [8] Работа Петри фактически предоставила явные квадратичные и кубические образующие идеала, показав, что, за исключением исключений, кубики могут быть выражены в терминах квадратичных. В исключительных случаях пересечение квадрик через каноническую кривую является линейчатой поверхностью и поверхностью Веронезе соответственно .
Эти классические результаты были доказаны для комплексных чисел, но современное обсуждение показывает, что эти методы работают с полями любой характеристики. [9]
Канонические кольца
Каноническое кольцо из V представляет собой градуированное кольцо
Если канонический класс V является обильным линейным расслоением , то каноническое кольцо является однородным координатным кольцом образа канонического отображения. Это может быть правдой, даже если канонический класс V недостаточен. Например, если V - гиперэллиптическая кривая, то каноническое кольцо снова является однородным координатным кольцом образа канонического отображения. В общем, если указанное выше кольцо конечно порождено, то элементарно увидеть, что это однородное координатное кольцо образа k -канонического отображения, где k - любое достаточно делимое положительное целое число.
Программа минимальных моделей предполагала, что каноническое кольцо каждого гладкого или слегка сингулярного проективного многообразия конечно порождено. В частности, это было известно, подразумевает существование канонической модели , определенной бирациональной модель V с умеренными особенностями , которые могут быть построены путем стягивания V . Когда каноническое кольцо конечно порождено, канонической моделью является Proj канонического кольца. Если каноническое кольцо не конечно порождено, то Proj R не является многообразием и, следовательно, не может быть бирациональным для V ; в частности, V не допускает канонической модели.
Фундаментальная теорема Биркара-Кашини-Хакон-МакКернана из 2006 г. [10] состоит в том, что каноническое кольцо гладкого или слегка сингулярного проективного алгебраического многообразия конечно порождено.
Размерность Кодаиров из V представляет размерность канонического кольца минус один. Здесь под размерностью канонического кольца можно понимать размерность Крулля или степень трансцендентности .
Смотрите также
- Бирациональная геометрия
- Дифференциальная форма
Заметки
- ^ "канонический класс" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- ^ а б Паршин, А. Н. (2001) [1994], "Каноническая кривая" , Энциклопедия математики , EMS Press
- ^ http://rigtriv.wordpress.com/2008/08/07/geometric-form-of-riemann-roch/
- ^ Рик Миранда, Алгебраические кривые и римановы поверхности (1995), гл. VII.
- ^ Дэвид Эйзенбуд , Геометрия сизигий (2005), стр. 181-2.
- ^ Исковских, В.А. (2001) [1994], "Теорема Нётер – Энриквес" , Энциклопедия математики , EMS Press
- ↑ Игорь Ростиславович Шафаревич , Алгебраическая геометрия I (1994), с. 192.
- ^ "Теоремы Торелли" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- ^ http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/40/42/57/PDF/these-OD.pdf , стр. 11-13.
- ^ http://www.birs.ca/birspages.php?task=displayevent&event_id=09w5033