Эта статья может быть слишком технической для понимания большинством читателей . Март 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( |
В алгебраической геометрии , А многообразие Фано , введенный Джино Фано в ( Fano 1934 , 1942 ), является полное многообразие Х которого антиканоническое расслоение К Х * является достаточным . В этом определении, можно было бы предположить , что X является гладким над полем, но минимальная модель программы также привело к изучению многообразий Фано с различными типами особенностей, таких как терминальные или КЛТ особенностей.
Примеры [ править ]
- Фундаментальный пример многообразия Фано являются проективными пространствами : антиканоническое линейное расслоение на Р п над полем к является О ( п + 1), который является очень обильным (над комплексными числами, ее кривизной является п + 1 раз Фубини Изучите симплектическую форму).
- Пусть D - гладкое подмногообразие коразмерности 1 в P n . Из формулы присоединения следует, что K D = ( K X + D ) | D = (- ( n +1) H + deg ( D ) H) | D , где H - класс гиперплоскости. Следовательно, гиперповерхность D является Фано тогда и только тогда, когда deg ( D ) < n +1.
- В более общем смысле, гладкое полное пересечение гиперповерхностей в n -мерном проективном пространстве называется Фано тогда и только тогда, когда сумма их степеней не превосходит n .
- Весовое проективное пространство P ( a 0 , ..., a n ) является сингулярным ( klt ) многообразием Фано. Это проективная схема, связанная с градуированным кольцом многочленов, образующие которого имеют степени a 0 , ..., a n . Если это правильно сформировано в том смысле, что никакое n чисел a не имеет общего множителя больше 1, то любое полное пересечение гиперповерхностей такое, что сумма их степеней меньше a 0 + ... + a n, является разновидность Фано.
- Всякое проективное многообразие нулевой характеристики, однородное относительно линейной алгебраической группы, является Фано.
Некоторые свойства [ править ]
Существование некоторого обильного линейного расслоения на X эквивалентно тому, что X является проективным многообразием , поэтому многообразие Фано всегда проективно. Для многообразия Фано X над комплексными числами, то Кодаиры- исчезающей теорема означает , что пучок когомологий групп о структуре пучка равны нулю для . В частности, род Тодда автоматически равен 1. Случаи этого утверждения об обращении в нуль также говорят нам, что первый класс Черна индуцирует изоморфизм .
Согласно решению Яу гипотезы Калаби , гладкое комплексное многообразие допускает кэлерову метрику положительной кривизны Риччи тогда и только тогда, когда оно является Фано. Таким образом, теорема Майерса говорит нам, что универсальное покрытие многообразия Фано компактно и поэтому может быть только конечным покрытием. Однако мы только что видели, что род Тодда многообразия Фано должен быть равен 1. Поскольку это также применимо к универсальному покрытию многообразия и поскольку род Тодда мультипликативен при конечных покрытиях, отсюда следует, что любое многообразие Фано односвязно .
Гораздо проще то, что каждое многообразие Фано имеет размерность Кодаиры −∞.
Кампана и Коллар - Мияока - Мори показали, что гладкое многообразие Фано над алгебраически замкнутым полем рационально цепно связно ; то есть любые две замкнутые точки можно соединить цепочкой рациональных кривых . [1] Коллар – Мияока – Мори также показал, что гладкие многообразия Фано данной размерности над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики образуют ограниченное семейство, что означает, что они классифицируются точками конечного числа алгебраических многообразий. [2]В частности, существует лишь конечное число классов деформации многообразий Фано каждой размерности. В этом смысле многообразия Фано гораздо более особенные, чем другие классы многообразий, например, многообразия общего типа .
Классификация в малых размерах [ править ]
Следующее обсуждение касается гладких многообразий Фано над комплексными числами.
Фано кривая изоморфна к проективной прямой .
Поверхность Фано также называется поверхностью дель Пеццо . Каждая поверхность дель Пеццо изоморфна либо P 1 × P 1, либо проективной плоскости, раздуваемой не более чем в 8 точках, которые должны находиться в общем положении. В результате все они рациональны .
В размерности 3 есть гладкие комплексные многообразия Фано, которые не являются рациональными, например трехмерные кубики в P 4 (по Клеменсу - Гриффитсу ) и трехмерные квартики в P 4 (по Исковских - Манин ). Исковский ( 1977 , 1978 , 1979 ) классифицировал гладкие трехмерные многообразия Фано со вторым числом Бетти 1 на 17 классов, а Мори и Мукаи (1981) классифицировали гладкие многообразия со вторым числом Бетти не менее 2, найдя 88 классов деформации. Подробный обзор классификации гладких трехмерных многообразий Фано приведен в работе Исковских и Прохоров (1999)..
См. Также [ править ]
- Периодическая таблица форм - это проект по классификации всех разновидностей Фано в трех, четырех и пяти измерениях.
Заметки [ править ]
- ^ J. Коллар. Рациональные кривые на алгебраических многообразиях. Теорема V.2.13.
- ^ J. Коллар. Рациональные кривые на алгебраических многообразиях. Следствие V.2.15.
Внешние ссылки [ править ]
- Фанография - инструмент для визуального изучения классификации трехмерных разновидностей Фано.
Ссылки [ править ]
- Фано, Джино (1934), "Sulle varietà algebriche a tre Dimensi Aventi tutti i generi nulli", Proc. Междунар. Математики Конгресса (Болонья), 4, Zanichelli , стр. 115–119
- Фано, Джино (1942), "Су alcune varietà algebriche Тре Dimensioni razionali, е Авэнти кривой sezioni canoniche" , Commentarii Mathematici Helvetici , 14 : 202-211, DOI : 10.1007 / BF02565618 , ISSN 0010-2571 , МР 0006445[ постоянная мертвая ссылка ]
- Исковских В.А. (1977), "Трехмерные многообразия Фано. I", Матем. СССР Изв. , 11 (3): 485-527, DOI : 10,1070 / IM1977v011n03ABEH001733 , ISSN 0373-2436 , МР 0463151
- Исковских В.А. (1978), "Трехмерные многообразия Фано II", Матем. Изв. , 12 (3): 469-506, DOI : 10,1070 / im1978v012n03abeh001994 , МР 0463151
- Исковских В.А. (1979), "Антиканонические модели трехмерных алгебраических многообразий", Современные проблемы математики, Вып. 12 , Москва, ВИНИТИ, с. 59–157, MR 0537685
- Исковских, В.А.; Прохоров, Ю. Г. (1999), "Многообразия Фано", в сб. А. Н. Паршин; И. Р. Шафаревич (ред.), Алгебраическая геометрия, V. Encyclopedia Math. Sci., 47 , Springer-Verlag , стр. 1–247, ISBN 3-540-61468-0, Руководство по ремонту 1668579
- Коллар, Янош (1996), Рациональные кривые на алгебраических многообразиях , Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-662-03276-3 , ISBN 978-3-642-08219-1, Руководство по ремонту 1440180
- Куликов В.С. (2001) [1994], "Fano_variety" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Мори, Шигефуми ; Мукаи, Сигэру (1981), "Классификация Fano 3-складки B 2 ≥2", Manuscripta Mathematica , 36 (2): 147-162, DOI : 10.1007 / BF01170131 , ISSN 0025-2611 , МР 0641971 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Мори, Шигефуми; Мукаи, Сигэру (2003), "Исправление: "Классификация Fano 3-складки B 2 ≥2 " ", Manuscripta Mathematica , 110 (3): 407, DOI : 10.1007 / s00229-002-0336-2 , ISSN 0025- 2611 , MR 1969009