Формула присоединения

В математике , особенно в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий , формула присоединения связывает каноническое расслоение многообразия и гиперповерхность внутри этого многообразия. Он часто используется для вывода фактов о многообразиях, вложенных в пространства с хорошим поведением, таких как проективное пространство, или для доказательства теорем по индукции.

Приспособление для гладких разновидностей [ править ]

Формула гладкого подмногообразия [ править ]

Пусть X является гладким алгебраическим многообразие или сглаживать комплексное многообразие и Y гладкого подмногообразия X . Обозначим включение отображение Y → X по I и идеального пучка из Y в X с помощью . Конормальная точная последовательность для I является${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\to i^{*}\Omega _{X}\to \Omega _{Y}\to 0,}$

где Ω обозначает кокасательное расслоение . Определитель этой точной последовательности является естественным изоморфизмом

${\displaystyle \omega _{Y}=i^{*}\omega _{X}\otimes \operatorname {det} ({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2})^{\vee },}$

где обозначает двойственное линейное расслоение.${\displaystyle \vee }$

Частный случай гладкого дивизора [ править ]

Предположим , что D является гладким делитель на X . Его нормальное расслоение продолжается до линейного расслоения на X , а пучок идеалов D соответствует его двойственному . Конормальное расслоение равно , что в сочетании с приведенной выше формулой дает${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-D)}$${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$${\displaystyle i^{*}{\mathcal {O}}(-D)}$

${\displaystyle \omega _{D}=i^{*}(\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}(D)).}$

С точки зрения канонических классов это означает, что

${\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}.}$

Обе эти две формулы называются формулой присоединения .

Примеры [ править ]

Гиперповерхности степени d [ править ]

Для гладкой гиперповерхности степени мы можем вычислить ее канонические и антиканонические расслоения, используя формулу присоединения. Это читается как${\displaystyle d}$${\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} _{S}^{n}}$

${\displaystyle \omega _{X}\cong i^{*}\omega _{\mathbb {P} ^{n}}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(d)}$

который изоморфен .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-n{-}1{+}d)}$

Полные перекрестки [ править ]

Для гладкого полного пересечения степеней конормальное расслоение изоморфно , поэтому детерминантное расслоение есть, а двойственное к нему есть , показывая${\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} _{S}^{n}}$${\displaystyle (d_{1},d_{2})}$${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d_{1})\oplus {\mathcal {O}}(-d_{2})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d_{1}{-}d_{2})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(d_{1}{+}d_{2})}$

${\displaystyle \omega _{X}\,\cong \,{\mathcal {O}}_{X}(-n{-}1)\otimes {\mathcal {O}}_{X}(d_{1}{+}d_{2})\,\cong \,{\mathcal {O}}_{X}(-n{-}1{+}d_{1}{+}d_{2}).}$

Это обобщается одинаково для всех полных пересечений.

Кривые на квадратичной поверхности [ править ]

${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$вкладывается в квадратичную поверхность, заданную множеством исчезающих квадратичных многочленов, исходящих от невырожденной симметричной матрицы. ^[1] Затем мы можем ограничиться рассмотрением кривых на . Мы можем вычислить котангенсное расслоение, используя прямую сумму котангенсных расслоений на каждом , так что оно есть . Тогда канонический пучок имеет вид , который можно найти с помощью разложения клиньев прямых сумм векторных расслоений. Затем, используя формулу присоединения, кривая, определяемая точкой схода сечения секции , может быть вычислена как${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle Y=\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-2,0)\oplus {\mathcal {O}}(0,-2)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-2,-2)}$${\displaystyle f\in \Gamma ({\mathcal {O}}(a,b))}$

${\displaystyle \omega _{C}\,\cong \,{\mathcal {O}}(-2,-2)\otimes {\mathcal {O}}_{C}(a,b)\,\cong \,{\mathcal {O}}_{C}(a{-}2,b{-}2).}$

Остаток Пуанкаре [ править ]

Отображение ограничения называется вычетом Пуанкаре . Предположим, что X - комплексное многообразие. Тогда на сечениях вычет Пуанкаре можно выразить следующим образом. Зафиксируем открытое множество U, на котором D задается обращением в нуль функции f . Любое сечение над U из может быть записана в виде ы / е , где с голоморфна на U . Пусть η будет сечение над U со , _X . Вычет Пуанкаре - это отображение${\displaystyle \omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}(D)\to \omega _{D}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

${\displaystyle \eta \otimes {\frac {s}{f}}\mapsto s{\frac {\partial \eta }{\partial f}}{\bigg |}_{f=0},}$

то есть, он формируется путем применения векторного поля ∂ / ∂ f к форме объема η, а затем умножения на голоморфную функцию s . Если U допускает локальные координаты z ₁ , ..., z _n такие, что для некоторого i , ∂ f / ∂ z _i 0 , то это также можно выразить как

${\displaystyle {\frac {g(z)\,dz_{1}\wedge \dotsb \wedge dz_{n}}{f(z)}}\mapsto (-1)^{i-1}{\frac {g(z)\,dz_{1}\wedge \dotsb \wedge {\widehat {dz_{i}}}\wedge \dotsb \wedge dz_{n}}{\partial f/\partial z_{i}}}{\bigg |}_{f=0}.}$

Другой способ рассмотрения вычета Пуанкаре - сначала переосмыслить формулу присоединения как изоморфизм

${\displaystyle \omega _{D}\otimes i^{*}{\mathcal {O}}(-D)=i^{*}\omega _{X}.}$

На открытом множестве U, как и раньше, сечение является произведением голоморфной функции s вида df / f . Вычет Пуанкаре - это отображение, которое переводит клин сечения ω _D и сечения .${\displaystyle i^{*}{\mathcal {O}}(-D)}$${\displaystyle i^{*}{\mathcal {O}}(-D)}$

Инверсия примыкания [ править ]

Формула присоединения неверна, если конормальная точная последовательность не является короткой точной последовательностью. Тем не менее, можно использовать этот отказ связать особенности X с особенностями D . Теоремы этого типа называются обращением присоединения . Они являются важным инструментом современной бирациональной геометрии.

Канонический делитель плоской кривой [ править ]

Пусть - гладкая плоская кривая, высеченная однородным по степени многочленом . Мы утверждаем, что канонический дивизор - это где - дивизор гиперплоскости.${\displaystyle C\subset \mathbf {P} ^{2}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle F(X,Y,Z)}$${\displaystyle K=(d-3)[C\cap H]}$${\displaystyle H}$

Первая работа в аффинной диаграмме . Уравнение становится где и . Мы явно вычислим дивизор дифференциала${\displaystyle Z\neq 0}$${\displaystyle f(x,y)=F(x,y,1)=0}$${\displaystyle x=X/Y}$${\displaystyle y=Y/Z}$

${\displaystyle \omega :={\frac {dx}{\partial f/\partial y}}={\frac {-dy}{\partial f/\partial x}}.}$

В любой момент либо так является локальным параметром или так является локальным параметром. В обоих случаях порядок обращения в нуль в точке равен нулю. Таким образом , все вклады в делитель находятся на линии в бесконечности .${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle \partial f/\partial y\neq 0}$${\displaystyle x-x_{0}}$${\displaystyle \partial f/\partial x\neq 0}$${\displaystyle y-y_{0}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\text{div}}(\omega )}$${\displaystyle Z=0}$

Теперь посмотри на линию . Предположим, что так достаточно посмотреть на диаграмму с координатами и . Уравнение кривой принимает вид ${\displaystyle {Z=0}}$${\displaystyle [1,0,0]\not \in C}$${\displaystyle Y\neq 0}$${\displaystyle u=1/y}$${\displaystyle v=x/y}$

${\displaystyle g(u,v)=F(v,1,u)=F(x/y,1,1/y)=y^{-d}F(x,y,1)=y^{-d}f(x,y).}$

Следовательно

${\displaystyle \partial f/\partial x=y^{d}{\frac {\partial g}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial x}}=y^{d-1}{\frac {\partial g}{\partial v}}}$

так

${\displaystyle \omega ={\frac {-dy}{\partial f/\partial x}}={\frac {1}{u^{2}}}{\frac {du}{y^{d-1}\partial g/\partial v}}=u^{d-3}{\frac {dy}{\partial g/\partial v}}}$

с порядком исчезновения . Следовательно, что согласуется с формулой присоединения.${\displaystyle \nu _{p}(\omega )=(d-3)\nu _{p}(u)}$${\displaystyle {\text{div}}(\omega )=(d-3)[C\cap \{Z=0\}]}$

Приложения к кривым [ править ]

Формула родовой степени для плоских кривых может быть выведена из формулы присоединения. ^[2] Пусть C  ⊂  P ² - гладкая плоская кривая степени d рода g . Пусть H - класс гиперплоскости в P ² , то есть класс прямой. Канонический класс P ² -3 Н . Следовательно, формула присоединения говорит , что сужение ( г - 3) Н к С равно канонического классом C . Это ограничение аналогично произведению пересечений.( d - 3) H · dH, ограниченная на C , поэтому степень канонического класса C равна d ( d −3) . По теореме Римана-Роха , г - 1 = ( д -3) д - г + 1 , что означает формулу

${\displaystyle g={\tfrac {1}{2}}(d{-}1)(d{-}2).}$

Аналогично, ^[3], если C - гладкая кривая на квадратичной поверхности P ¹ × P ¹ с бистепеньем ( d ₁ , d ₂ ) (то есть d ₁ , d ₂ - это степени ее пересечения со слоем каждой проекции на P ¹ ) , поскольку канонический класс P ¹ × P ¹ имеет бистепень (−2, −2), формула присоединения показывает, что канонический класс C является произведением пересечений делителей бистепени ( d ₁ , d ₂) и ( d ₁ −2, d ₂ −2). Форма пересечения на P ¹ × P ¹ является по определению бистепени и билинейности, поэтому применение Римана-Роха дает или${\displaystyle ((d_{1},d_{2}),(e_{1},e_{2}))\mapsto d_{1}e_{2}+d_{2}e_{1}}$${\displaystyle 2g-2=d_{1}(d_{2}{-}2)+d_{2}(d_{1}{-}2)}$

${\displaystyle g=(d_{1}{-}1)(d_{2}{-}1)\,=\,d_{1}d_{2}-d_{1}-d_{2}+1.}$

Род кривой C, которая является полным пересечением двух поверхностей D и E в P ^3, также можно вычислить с помощью формулы присоединения. Предположим, что d и e - степени D и E соответственно. Применение формулы присоединения к D показывает, что его канонический делитель равен ( d - 4) H | _D , который является продуктом пересечения ( г - 4) H и D . Проделаем это снова с E, что возможно, поскольку C является полным пересечением, показывает, что канонический дивизор C является произведением ( d + e - 4) H · dH · eH , то есть имеет степень de ( d + e - 4) . По теореме Римана – Роха отсюда следует, что род C равен

${\displaystyle g=de(d+e-4)/2+1.}$

В более общем смысле, если C является полным пересечением n - 1 гиперповерхностей D ₁ , ..., D _{n - 1} степеней d ₁ , ..., d _{n - 1} в P ⁿ , то индуктивное вычисление показывает, что каноническая класс C есть . Из теоремы Римана – Роха следует, что род этой кривой равен${\displaystyle (d_{1}+\cdots +d_{n-1}-n-1)d_{1}\cdots d_{n-1}H^{n-1}}$

${\displaystyle g=1+{\tfrac {1}{2}}(d_{1}+\cdots +d_{n-1}-n-1)d_{1}\cdots d_{n-1}.}$

См. Также [ править ]

• Логарифмическая форма
• Остаток Пуанкаре

Ссылки [ править ]

• Теория пересечений, 2-е издание, Уильям Фултон, Springer, ISBN 0-387-98549-2 , пример 3.2.12. 
• Принципы алгебраической геометрии , Гриффитс и Харрис, библиотека классики Wiley, ISBN 0-471-05059-8, стр. 146–147. 
• Алгебраическая геометрия , Робин Хартшорн , Springer GTM 52, ISBN 0-387-90244-9 , предложение II.8.20.