Когда Пуанкаре впервые ввел вычеты [1], он изучал интегралы периода вида
для
где была рациональной дифференциальной формой с полюсами вдоль дивизора . Ему удалось свести этот интеграл к интегралу вида
для
где , отправка к границе твердого тела -трубка вокруг на ровном месте делителя. Если
на аффинной диаграмме, где неприводима степени а также (поэтому на бесконечно удаленной линии нет полюсов [2], стр. 150 ). Затем он дал формулу для вычисления этого остатка как
которые являются когомологичными формами.
Предварительное определение
Учитывая настройку во введении, пусть быть пространством мероморфных -формируется на которые имеют полюса порядка до . Обратите внимание, что стандартный дифференциал отправляет
Определять
как рациональные группы когомологий де-Рама . Они образуют фильтрацию
соответствующая фильтрации Ходжа.
Определение остатка
Рассмотрим -цикл . Берем трубку вокруг (который локально изоморфен ), который лежит в дополнении . Поскольку это-цикл, мы можем интегрировать рациональный -форма и получите номер. Если мы запишем это как
тогда мы получаем линейное преобразование классов гомологии. Из двойственности гомологий / когомологий следует, что это класс когомологий
который мы называем остатком. Обратите внимание, если мы ограничимся случаем, это просто стандартный вычет из комплексного анализа (хотя мы расширяем наши мероморфные -формировать все . Это определение можно резюмировать как карту
Алгоритм вычисления этого класса
Существует простой рекурсивный метод вычисления вычетов, который сводится к классическому случаю . Напомним, что остаток-форма
Если мы рассмотрим диаграмму, содержащую где это исчезающее место , мы можем написать мероморфный -форма с опорой на в виде
Тогда мы можем записать это как
Это показывает, что два класса когомологий
равны. Таким образом, мы понизили порядок полюса, поэтому мы можем использовать рекурсию, чтобы получить полюс порядка и определим остаток в виде
Например, рассмотрим кривую определяется полиномом
Затем мы можем применить предыдущий алгоритм для вычисления остатка
С
а также
у нас есть это
Это означает, что