Проективное пространство играет центральную роль в алгебраической геометрии . Цель этой статьи - определить это понятие в терминах абстрактной алгебраической геометрии и описать некоторые основные способы использования проективного пространства.
Однородные полиномиальные идеалы
Пусть k - алгебраически замкнутое поле , а V - конечномерное векторное пространство над k . Симметричная алгебра из двойного векторного пространства V * называется кольцо многочленов на V и обозначается через к [ V ]. Это естественно градуированная алгебра по степени многочленов.
Проективный Nullstellensatz утверждает, что для любого однородного идеала I , который не содержит всех многочленов определенной степени (называемого нерелевантным идеалом ), общее множество нулей всех многочленов в I (или Nullstelle ) нетривиально (т. Е. общий нуль локус содержит более одного элемента {0}), и, более точно, идеал полиномов, равных нулю на что локус совпадает с радикалом идеала I .
Это последнее утверждение лучше всего резюмируется формулой: для любого релевантного идеала I ,
В частности, максимальных однородных соответствующих идеалов к [ V ] являются одним-к-одному с линиями через начало V .
Построение проективных схем
Пусть V - конечномерное векторное пространство над полем k . Схема над к определяется Proj ( к [ V ]) называется проективизация из V . Проективное п - пространство на к является проективизацией векторного пространства.
Определение пучка производится на основе открытых множеств главных открытых множеств D ( P ), где P изменяется на множестве однородных многочленов, путем задания сечений
быть кольцом , Нулевой степени компонент кольца , полученного локализации в P . Таким образом, его элементами являются рациональные функции с однородным числителем и некоторой степенью P в знаменателе с той же степенью, что и числитель.
Ситуация наиболее ясна при ненулевой линейной форме φ. Тогда ограничение структурного пучка на открытое множество D (φ) канонически отождествляется [1] с аффинной схемой spec ( k [ker φ]). Так как D ( φ ) образует открытое покрытие из X проективных схемы можно рассматривать как получает путь приклеивания с помощью проективизации изоморфных аффинных схем.
Можно отметить, что кольцо глобальных сечений этой схемы является полем, что означает, что схема не аффинна. Любые два открытых множества пересекаются нетривиально: т.е. схема неприводима . Когда поле к является алгебраически замкнутым ,на самом деле абстрактное разнообразие , к тому же полное. ср. Глоссарий теории схем
Делители и скручивающие связки
На самом деле функтор Proj дает больше, чем простую схему: пучок градуированных модулей над структурным пучком определяется в процессе. Однородные компоненты этого градуированного пучка обозначаются, скручивающие связки Серра . Все эти пучки на самом деле являются линейными пучками . По соответствию между дивизорами Картье и линейными расслоениями первый скручивающий пучок эквивалентно гиперплоскостным дивизорам.
Так как кольцо многочленов является однозначным разложением на множители , любой простой идеал из высоты 1 является основным , который показывает , что любой Вейль делитель линейно эквивалентен некоторой степени гиперплоскости делителя. Это рассмотрение доказывает, что группа Пикара проективного пространства не имеет ранга 1. То есть, а изоморфизм задается степенью дивизоров.
Классификация векторных расслоений
В обратимых пучках , или линейные расслоения , на проективном пространстве для K в поле , являются именно скручивающие шкивы так что группа Пикара из изоморфен . Изоморфизм задается первым классом Черна .
Пространство локальных секций на открытом множестве линейного пакета это пространство однородных степени K регулярных функций на конус в V , ассоциированной с U . В частности, пространство глобальных разделов
обращается в нуль, если m <0 , и состоит из констант по k при m = 0 и из однородных многочленов степени m при m> 0 . (Следовательно, имеет размерность).
Теорема Биркгофа-Гротендика утверждает, что на проективной прямой любое векторное расслоение уникальным образом расщепляется как прямая сумма линейных расслоений.
Важные комплекты линий
Тавтологическое расслоение , которое появляется, например , в качестве исключительного делителя из взорвав из гладкой точки является пучком. Каноническое расслоение
- является .
Этот факт вытекает из фундаментального геометрического утверждения о проективных пространствах: последовательности Эйлера .
Отрицательность канонического линейного расслоения делает проективные пространства простыми примерами многообразий Фано , эквивалентно их антиканоническое линейное расслоение обильно (на самом деле очень обильно). Их индекс ( ср. Многообразия Фано ) определяется выражением, и по теореме Кобаяси-Очиаи проективные пространства характеризуются среди многообразий Фано свойством
- .
Морфизмы в проективные схемы
Поскольку аффинные пространства могут быть вложены в проективные пространства, все аффинные многообразия могут быть вложены и в проективные пространства.
Любой выбор конечной системы не одновременно исчезающих глобальных сечений глобально порожденного линейного расслоения определяет морфизм проективного пространства. Линейное расслоение, база которого может быть вложена в проективное пространство с помощью такого морфизма, называется очень обильным .
Группа симметрий проективного пространства группа проективизированных линейных автоморфизмов . Выбор морфизма к проективному пространству по модулю действие этой группы на самом деле эквивалент к выбору генерирующего глобально п - мерной линейной системы делителей на линии пучка на X . Выбор проективного вложения X , по модулю проективные преобразования является также эквивалентно выбору очень обильного линейного расслоения на X .
Морфизм в проективное пространство определяет глобально сгенерированный линейный пучок с помощью и линейная система
Если диапазон морфизма не содержится в дивизоре гиперплоскости, то откат является инъекцией и линейная система делителей
- является линейной системой размерности n .
Пример: вложения Веронезе
Вложения Веронезе - это вложения для
См. Ответ на MathOverflow для применения вложения Веронезе к вычислению групп когомологий гладких проективных гиперповерхностей (гладких дивизоров).
Кривые в проективных пространствах
Как и многообразия Фано, проективные пространства являются линейчатыми многообразиями . Теория пересечений кривых в проективной плоскости дает теорему Безу .
Смотрите также
Общая алгебраическая геометрия
- Схема (математика)
- Проективное разнообразие
- Строительство проекта
Общая проективная геометрия
- Проективное пространство
- Проективная геометрия
- Однородный полином
Рекомендации
- ^ В координатах это соответствие дается формулой
- Робин Хартшорн (1977). Алгебраическая геометрия . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90244-9.
- Лист упражнений [ постоянная мертвая ссылка ] (на французском языке) по проективным пространствам, на странице Ива Ласло.