В математике , то Биркгофа- Гротендик теорема классифицирует голоморфных векторных расслоений над комплексной проективной прямой . В частности, каждое голоморфное векторное расслоение надявляется прямой суммой голоморфных линейных расслоений . Теорема была доказана Александром Гротендиком ( 1957 , теорема 2.1), [1] и более или менее эквивалентна факторизации Биркгофа, введенной Джорджем Дэвидом Биркгофом ( 1909 ). [2]
Заявление
Точнее, формулировка теоремы такова.
Каждое голоморфное векторное расслоение на голоморфно изоморфно прямой сумме линейных расслоений:
Из обозначений следует, что каждое слагаемое является скручиванием Серра некоторое количество раз тривиального расслоения . Представление уникально с точностью до перестановочных факторов.
Обобщение
Тот же результат имеет место в алгебраической геометрии для алгебраического векторного расслоения над для любого поля . [3] Это также верно дляс одной или двумя точками орбифолда, а также для цепочек проективных прямых, пересекающихся по узлам. [4]
Приложения
Одним из приложений этой теоремы является классификация всех когерентных пучков на . У нас есть два случая: векторные расслоения и когерентные пучки с носителями вдоль подмногообразия, поэтому где n - степень жирности точки в . Поскольку единственными подмногообразиями являются точки, у нас есть полная классификация когерентных пучков.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Гротендик, Александр (1957). «Сюр ла классификация голоморфных фибр по сфер де Римана». Американский журнал математики . 79 (1): 121–138. DOI : 10.2307 / 2372388 . JSTOR 2372388 .
- ^ Биркгоф, Джордж Дэвид (1909). «Особые точки обыкновенных линейных дифференциальных уравнений». Труды Американского математического общества . 10 (4): 436–470. DOI : 10.2307 / 1988594 . ISSN 0002-9947 . JFM 40.0352.02 . JSTOR 1988594 .
- ^ Hazewinkel, Michiel ; Мартин, Клайд Ф. (1982). «Краткое элементарное доказательство теоремы Гротендика об алгебраических векторных расслоениях над проективной прямой» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 25 (2): 207–211. DOI : 10.1016 / 0022-4049 (82) 90037-8 .
- ^ Мартенс, Йохан; Фаддей, Майкл (2016). «Вариации на тему Гротендика». Compositio Mathematica . 152 : 62–98. arXiv : 1210,8161 . Bibcode : 2012arXiv1210.8161M . DOI : 10.1112 / S0010437X15007484 . S2CID 119716554 .
дальнейшее чтение
- Оконек, Ц .; Schneider, M .; Шпиндлер, Х. (1980). Векторные расслоения на комплексных проективных пространствах . Успехи в математике. Birkhäuser.