Теорема Майерса

Теорема Майерса , также известная как теорема Бонне-Майерса , является знаменитой фундаментальной теоремой в математической области римановой геометрии . Он был обнаружен Самнером Байроном Майерсом в 1941 году. Он утверждает следующее:

В частном случае поверхностей этот результат был доказан Оссианом Бонне в 1855 году. Для поверхности кривизна Гаусса, секционная кривизна и кривизна Риччи одинаковы, но доказательство Бонне легко обобщается на более высокие измерения, если принять положительную нижнюю границу для секционная кривизна . Таким образом, основной вклад Майерса заключался в том, чтобы показать, что нижняя граница Риччи — это все, что нужно для того, чтобы прийти к такому же заключению.

Заключение теоремы говорит, в частности, о том, что диаметр конечен. Таким образом, теорема Хопфа-Риноу подразумевает, что он должен быть компактным, поскольку замкнутый (и, следовательно, компактный) шар радиуса в любом касательном пространстве переносится на все с помощью экспоненциального отображения. ${\ Displaystyle (М, г)}$ ${\ Displaystyle М}$ ${\ Displaystyle \ пи / {\ sqrt {к}}}$ ${\ Displaystyle М}$

Как очень частный случай, это показывает, что любое полное и некомпактное гладкое риманово многообразие, являющееся эйнштейновским, должно иметь неположительную постоянную Эйнштейна.

Рассмотрим гладкое универсальное покрытие . Можно рассмотреть риманову метрику $π$ $*$ $g$ на Поскольку это локальный диффеоморфизм, теорема Майерса применима к римановому многообразию $($ $N$ $, π$ $*$ $g$ $)$ и, следовательно , компактна. Отсюда следует, что фундаментальная группа конечна. ${\ Displaystyle \ пи: Н \ к М.}$ ${\ Displaystyle Н.}$ ${\ Displaystyle \ пи}$ ${\ Displaystyle Н}$ ${\ Displaystyle М}$

Заключение теоремы Майерса гласит, что $для$ любого $dg$ $($ $p$ $,$ $q$ ) $\leq$ $π$ $/$ $\sqrtk$ $.$ В 1975 году Шиу-Юэн Ченг доказал: ${\ Displaystyle р, д \ в М,}$