Кодаира измерение

В алгебраической геометрии , то размерность Кодаиры κ ( X ) измеряет размер канонической модели в виде проективного многообразия X .

Шафаревич представил важный числовой инвариант поверхностей с обозначениями х в семинаре Шафаревича 1965 . Сигэру Иитака ( 1970 ) расширил его и определил измерение Кодаира для многообразий более высоких измерений (под названием каноническое измерение), а позже назвал его в честь Кунихико Кодаира в Иитаке (1971) .

Plurigenera [ править ]

Каноническое расслоение из гладкой алгебраического многообразия X размерности п над полем является линейным расслоением из п -формы,

{\ Displaystyle \, \! K_ {X} = \ bigwedge ^ {n} \ Omega _ {X} ^ {1},}

которая является п - й внешней степени из кокасательного расслоения на X . Для целого д , то д - я тензорной степени K _X есть снова линейное расслоение. Для D ≥ 0, то векторное пространство глобальных сечений Н ⁰ ( Х , К _Й^д ) обладает замечательным свойством , что она является бирациональным инвариантом гладких проективных многообразий X . То есть это векторное пространство канонически отождествляется с соответствующим пространством для любого гладкого проективного многообразия, изоморфного X вне подмножеств меньшей размерности.

При d ≥ 0 d- е множественное число X определяется как размерность векторного пространства глобальных сечений K _X^d :

{\ displaystyle P_ {d} = h ^ {0} (X, K_ {X} ^ {d}) = \ dim H ^ {0} (X, K_ {X} ^ {d}).}

Плюрироды - важные бирациональные инварианты алгебраического многообразия. В частности, самый простой способ доказать, что многообразие нерационально (то есть не бирационально по отношению к проективному пространству), - это показать, что некоторое плюригенус P _d с d > 0 не равен нулю. Если пространство сечений K _X^d ненулевое, то существует естественное рациональное отображение из X в проективное пространство

{\ displaystyle \ mathbf {P} (H ^ {0} (X, K_ {X} ^ {d})) = \ mathbf {P} ^ {P_ {d} -1},}

называется d - каноническим отображением . Каноническое кольцо Р ( К _Й ) из многообразия X является градуированным кольцом

{\ displaystyle R (K_ {X}): = \ bigoplus _ {d \ geq 0} H ^ {0} (X, K_ {X} ^ {d}).}

Также см. Геометрический род и арифметический род .

Размерность Кодаиры из X определяется как если plurigenera Р _д равны нулю для всех г > 0; в противном случае это минимум κ такой, что P _d / d ^κ ограничено. Размерность Кодаира n- мерного многообразия является либо целым числом в диапазоне от 0 до n, либо целым числом . ${\ displaystyle - \ infty}$ ${\ displaystyle - \ infty}$

Интерпретации измерения Кодаира [ править ]

Следующие целые числа равны, если они неотрицательны. Хорошая ссылка - Lazarsfeld (2004) , теорема 2.1.33.

Если каноническое кольцо конечно порожден, что справедливо в характеристике нуль и высказано предположение , в целом: размерность конструкции Proj (этот сорт называется каноническую модель из X , это зависит только от бирационального класса эквивалентности X ). ${\ displaystyle \ operatorname {Proj} R (K_ {X})}$
Размерность образа d -канонического отображения для всех положительных кратных d некоторого положительного целого числа . ${\ displaystyle d_ {0}}$
Степень трансцендентности поля дробей R минус один, т. Е. , Где t - количество алгебраически независимых образующих, которые можно найти. ${\ displaystyle t-1}$
Скорость роста плюриродов: то есть наименьшее число κ такое, что ограничено. В обозначении Big O это минимальное κ такое, что . ${\ Displaystyle P_ {d} / d ^ {\ kappa}}$ ${\ Displaystyle P_ {d} = O (d ^ {\ kappa})}$

Если одно из этих чисел не определено или отрицательно, тогда все они есть. В этом случае измерение Кодаира считается отрицательным или должно быть . Некоторые исторические источники определяют его как -1, но тогда формула не всегда верна , и утверждение гипотезы Иитаки становится более сложным. Например, размерность Кодаиров является для всех сортов X . ${\ displaystyle - \ infty}$ $\kappa (X\times Y)=\kappa (X)+\kappa (Y)$ $\mathbf {P} ^{1}\times X$ $-\infty$

Заявление [ править ]

Размерность Кодаира дает полезное грубое разделение всех алгебраических многообразий на несколько классов.

Многообразия с низкой размерностью Кодаира могут считаться особыми, а разновидности максимальной размерности Кодаира - общим типом .

Геометрически существует очень грубое соответствие между измерением Кодаира и кривизной: отрицательное измерение Кодаира соответствует положительной кривизне, нулевое измерение Кодаира соответствует плоскостности, а максимальное измерение Кодаира (общий тип) соответствует отрицательной кривизне.

Особенность многообразий низкой размерности Кодаиры аналогична специальности римановых многообразий положительной кривизны (а общий тип соответствует общности неположительной кривизны); см. классические теоремы , особенно о защемленной секционной кривизне и положительной кривизне .

Эти утверждения уточняются ниже.

Измерение 1 [ править ]

Гладкие проективные кривые дискретно классифицируются по родам , которым может быть любое натуральное число g = 0, 1, ....

Здесь «дискретно классифицированный» означает, что для данного рода существует неприводимое пространство модулей кривых этого рода.

Размерность Кодаира кривой X равна:

κ = : род 0 ( проективная прямая P ¹ ): K _X неэффективен, P _d = 0 для всех d> 0 . $-\infty$
κ = 0: род 1 ( эллиптические кривые ): K _X - тривиальное расслоение , P _d = 1 для всех d ≥ 0.
κ = 1: род г ≥ 2: К _Х является достаточно , Р _д = (2 г - 1) ( г - 1) для всех г ^ 2.

Сравните с теоремой униформизации для поверхностей (реальные поверхности, поскольку комплексная кривая имеет действительную размерность 2): размерность Кодаира соответствует положительной кривизне, размерность Кодаира 0 соответствует плоскостности, размерность Кодаира 1 соответствует отрицательной кривизне. Отметим, что большинство алгебраических кривых относятся к общему типу: в пространстве модулей кривых две компоненты связности соответствуют кривым не общего типа, а все остальные компоненты соответствуют кривым общего типа. Далее, пространство кривых рода 0 является точкой, пространство кривых рода 1 имеет (комплексную) размерность 1, а пространство кривых рода g ≥ 2 имеет размерность 3 g - 3. $-\infty$

таблица классификации алгебраических кривых
Размерность Кодаира 　κ ( C )
Размерность Кодаира 　κ ( C )	Род из C : г ( С )	структура
$1$	$\geq 2$	кривая общего типа
$0$	$1$	эллиптическая кривая
$-\infty$	$0$	проективная прямая $\mathbb {P} ^{1}$

Измерение 2 [ править ]

Энриквес-Кодаиры классификация классифицирует алгебраические поверхности: крупно размерность кодаировой, а затем более подробно в данной размерности кодаировой. Приведем несколько простых примеров: произведение P ¹ × X имеет размерность Кодаиры для любой кривой X ; произведение двух кривых рода 1 (абелева поверхность) имеет размерность Кодаиры 0; произведение кривой рода 1 на кривую рода не менее 2 (эллиптическая поверхность) имеет размерность Кодаиры 1; а произведение двух кривых рода не меньше 2 имеет размерность Кодаиры 2 и, следовательно, имеет общий тип . $-\infty$

таблица классификации алгебраических поверхностей
Размерность Кодаира 　κ ( C )
Размерность Кодаира 　κ ( C )	геометрический род p _g	неровность q	структура
$2$			поверхность общего типа
$1$			эллиптическая поверхность
$0$	$1$	$2$	абелева поверхность
	$0$	$1$	гиперэллиптическая поверхность
	$1$	$0$	K3 поверхность
	$0$	$0$	Поверхность Энриквеса
$-\infty$	$0$	$\geq 1$	линейчатая поверхность
$-\infty$	$0$	$0$	рациональная поверхность

Для поверхности X общего типа образ d -канонического отображения бирационально X, если d ≥ 5.

Любой размер [ править ]

Рациональные многообразия (многообразия, бирациональные проективному пространству) имеют размерность Кодаира . Абелевы многообразия (компактные комплексные торы, которые являются проективными) имеют размерность Кодаиры нуль. В более общем смысле, многообразия Калаби – Яу (в размерности 1, эллиптические кривые ; в размерности 2, абелевы поверхности , поверхности K3 и факторы этих многообразий по конечным группам) имеют размерность Кодаиры нуль (соответствующую допусканию плоской метрики Риччи). $-\infty$

Любое многообразие нулевой характеристики, которое покрывается рациональными кривыми (непостоянные отображения из P ¹ ), называемое однолинейным многообразием, имеет размерность Кодаиры −∞. И наоборот, из основных гипотез теории минимальных моделей (особенно из гипотезы изобилия) следует, что каждое многообразие размерности Кодаиры −∞ является однолинейным. Это обратное известно для разновидностей размерности не более 3.

Сиу (2002) доказал инвариантность плюриродов относительно деформаций для всех гладких комплексных проективных многообразий. В частности, размерность Кодаира не изменяется при непрерывном изменении сложной структуры многообразия.

классификационная таблица трехмерных алгебраических многообразий
Размерность Кодаира 　κ ( C )
Размерность Кодаира 　κ ( C )	геометрический род 　p _g	неровность q	Примеры
$3$			тройной общего типа
$2$			расслоение над поверхностью с общим слоем эллиптической кривой
$1$			расслоение над кривой с общим слоем поверхность с κ = 0
$0$	$1$	$3$	абелева разновидность
	$0$	$2$	расслоение над абелевой поверхностью, слои которого являются эллиптическими кривыми
	$0$ 　или же $1$	$1$	расслоение над эллиптической кривой, слоями которой являются поверхности с κ = 0
	$0$ 　или же $1$	$0$	Калаби – Яу 3-кратное
$-\infty$	$0$	$\geq 1$	однотонные 3- кратные
$-\infty$	$0$	$0$	рациональные трехмерные многообразия , трехмерные многообразия Фано и др.

Расслоение нормальных проективных многообразий X → Y означает сюръективный морфизм с соединенными волокнами.

Для трехмерного многообразия X общего типа образ d -канонического отображения бирационален по отношению к X, если d ≥ 61. ^[1]

Общий тип [ править ]

Разновидность общего типа X является разновидностью максимальной размерности Кодаира (размерность Кодаира равна ее размерности):

\kappa (X)=\dim \ X.

Эквивалентные условия , что линейное расслоение является большим , или что д -канонического отображение в общем инъективно (то есть, бирациональное отображение его изображения) для г достаточно велико. $K_{X}$

Например, многообразие с обильным каноническим расслоением относится к общему типу.

В некотором смысле большинство алгебраических многообразий относятся к общему типу. Например, гладкая гиперповерхность степени d в n -мерном проективном пространстве имеет общий тип тогда и только тогда, когда . В этом смысле большинство гладких гиперповерхностей в проективном пространстве имеют общий тип. $d>n+1$

Многообразия общего типа кажутся слишком сложными для явной классификации даже для поверхностей. Тем не менее, есть некоторые сильные положительные результаты о сортах общего типа. Например, Энрико Бомбьери в 1973 г. показал, что d -каноническое отображение любой комплексной поверхности общего типа бирационально для любой . В более общем плане, Кристофер Хакон и Джеймс МакКернан , Сигехару Такаяма и Хадзиме Цуджи показали в 2006 году, что для каждого положительного целого числа n существует такая константа , что d -каноническое отображение любого комплексного n -мерного многообразия общего типа является бирациональным, когда . $d\geq 5$ $c(n)$ $d\geq c(n)$

Группа бирациональных автоморфизмов многообразия общего типа конечна.

Применение к классификации [ править ]

Пусть X - многообразие неотрицательной размерности Кодаиры над полем нулевой характеристики, и пусть B - каноническая модель X , B = Proj R ( X , K _X ); размерность B равна размерности кодаировой из X . Существует естественное рациональное отображение X - → B ; любой морфизм получается из него раздутие X и B называется расслоением Iitaka . Минимальная модельа из гипотез обилия следует, что общий слой расслоения Иитака может быть устроен так, чтобы быть многообразием Калаби – Яу , которое, в частности, имеет нулевую размерность Кодаиры. Более того, существует эффективный Q- делитель ∆ на B (не единственный) такой, что пара ( B , ∆) равна klt , K _B + ∆ обильно, а каноническое кольцо X совпадает с каноническим кольцом ( B , ∆) в степенях, кратных некоторому d > 0. ^[2] В этом смысле X раскладывается в семейство многообразий нулевой размерности Кодаиры над базой ( B , ∆) общего типа. (Обратите внимание, что разнообразиеСам по себе B не обязательно должен быть общего типа. Например, существуют поверхности размерности Кодаиры 1, для которых расслоение Иитаки является эллиптическим расслоением над P ^1. )

Учитывая упомянутые гипотезы, классификация алгебраических многообразий в значительной степени сводится к случаям размерности Кодаиры , 0 и общего типа. Для измерения Кодаира и 0 есть несколько подходов к классификации. Минимальные модели и обилие гипотезы означали бы , что любое многообразие размерности кодаировой является унилинейчатыми , и известно , что каждое унилинейчатые разнообразие в нулевой характеристике бирационально в пространство расслоения Фано . Из гипотез о минимальной модели и изобилии следует, что каждое многообразие размерности Кодаиры 0 бирационально многообразию Калаби-Яу с терминальными особенностями . $-\infty$ $-\infty$ $-\infty$

Гипотеза Иитаки утверждает, что размерность Кодаира расслоения является, по крайней мере, суммой размерности Кодаира базы и размерности Кодаиры общего слоя; см. обзор в Mori (1987) . Гипотеза Иитаки помогла вдохновить развитие теории минимальных моделей в 1970-х и 1980-х годах. Сейчас это известно во многих случаях, и в целом будет следовать из минимальной модели и предположений об изобилии.

Связь с многообразиями Мойшезона [ править ]

Накамура и Уэно доказали следующую формулу аддитивности для комплексных многообразий ( Уэно (1975) ). Хотя базовое пространство не обязательно должно быть алгебраическим, предположение, что все слои изоморфны, является очень специальным. Даже при таком предположении формула может не работать, если волокно не Мойшезон.

Пусть π: V → W - аналитическое расслоение компактных комплексных многообразий, что означает, что π является локально произведением (и поэтому все слои изоморфны как комплексные многообразия). Предположим, что слой F - многообразие Мойшезона . потом

\kappa (V)=\kappa (F)+\kappa (W).

Заметки [ править ]

^ JA Чен и М. Чен, Явная бирациональная геометрия трехмерных и четырехмерных многообразий общего типа III, теорема 1.4.
^ О. Фуджино и С. Мори, J. Diff. Геом. 56 (2000), 167-188. Теоремы 5.2 и 5.4.

Ссылки [ править ]

Chen, Jungkai A .; Чен, Мэн (2014), «Явная бирациональная геометрия трехмерных и четырехмерных многообразий общего типа, III», Compositio Mathematica , 151 (6): 1041–1082, arXiv : 1302.0374 , Bibcode : 2013arXiv1302.0374M , doi : 10.1112 / S0010437X14007817
Долгачев, Игорь (2001) [1994], "Измерение Кодаира" , Энциклопедия математики , EMS Press
Фуджино, Осаму; Мори, Shigefumi (2000), "Каноническое расслоение формула", Журнал дифференциальной геометрии , 56 (1): 167-188, DOI : 10,4310 / Jdg / 1090347529 , МР 1863025
Иитака, Сигеру (1970), "О D-размерности алгебраических многообразий", Proc. Япония Acad. , 46 (6): 487-489, DOI : 10,3792 / PJA / 1195520260 , МР 0285532
Иитака, Сигеру (1971), "О D-размерности алгебраических многообразий", J. Math. Soc. Япония , 23 (2): 356-373, DOI : 10,2969 / jmsj / 02320356 , МР 0285531
Лазарсфельд, Роберт (2004), Положительность в алгебраической геометрии , 1 , Берлин: Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / 978-3-642-18808-4 , ISBN 978-3-540-22533-1, Руководство по ремонту 2095471
Мори, Шигефуми (1987), «Классификация многомерных многообразий», Алгебраическая геометрия (Bowdoin, 1985) , Труды симпозиумов по чистой математике, 46, часть 1, Американское математическое общество, стр. 269–331, MR 0927961
Шафаревич, Игорь Р .; Averbuh, BG; Ванберг, Ю. Р.; Жижченко, АБ; Манин, Юрий Иванович ; Мошезон, Борис Г .; Тюрина, Г.Н.; Тюрин А. Н. Алгебраические поверхности (1965), АН СССР. Труды Математического института имени В.А. Стеклова , 75 : 1–215, ISSN 0371-9685 , MR 0190143 , Zbl 0154.21001
Сиу, Юм-Тонг (2002), "Расширение скрученных плюриканонических сечений с плюрисубгармоническим весом и инвариантностью полуположительно скрученных плюригенов для многообразий не обязательно общего типа", Комплексная геометрия (Геттинген, 2000) , Берлин: Springer-Verlag , стр. 223–277, MR 1922108.
Уэно, Кенджи (1975), Теория классификации алгебраических многообразий и компактных комплексных пространств , Лекционные заметки по математике, 439 , Springer-Verlag , MR 0506253

[1] JA Чен и М. Чен, Явная бирациональная геометрия трехмерных и четырехмерных многообразий общего типа III, теорема 1.4.

[2] О. Фуджино и С. Мори, J. Diff. Геом. 56 (2000), 167-188. Теоремы 5.2 и 5.4.