Алгебраическая независимость

В абстрактной алгебре , подмножество из поля является алгебраически независимо над подполом , если элементы не удовлетворяют какое - либо не тривиальное полиномиальное уравнения с коэффициентами . ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle K}$

В частности, один набор элементов алгебраически независимы над тогда и только тогда , когда это трансцендентное над . В общем, все элементы алгебраически независимого множества над по необходимости трансцендентны над и над всеми расширениями поля над, порожденными оставшимися элементами . ${\ displaystyle \ {\ alpha \}}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle S}$

Пример [ править ]

Два действительных числа и являются трансцендентными числами : они не являются корнями любого нетривиального многочлена, коэффициенты которого являются рациональными числами . Таким образом, каждое из двух одноэлементных множеств и алгебраически независимы над полем рациональных чисел. ${\ displaystyle {\ sqrt {\ pi}}}$ ${\ displaystyle 2 \ pi +1}$ ${\ Displaystyle \ {{\ sqrt {\ pi}} \}}$ ${\ displaystyle \ {2 \ pi +1 \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Однако набор не является алгебраически независимым над рациональными числами, поскольку нетривиальный многочлен ${\ displaystyle \ {{\ sqrt {\ pi}}, 2 \ pi +1 \}}$

P(x,y)=2x^{2}-y+1

равен нулю, когда и . $x={\sqrt {\pi }}$ $y=2\pi +1$

Алгебраическая независимость известных констант [ править ]

Хотя оба и e известны как трансцендентные, неизвестно, является ли их набор алгебраически независимым . ^[1] На самом деле, даже не известно, является ли это иррациональным. ^[2] В 1996 году Нестеренко доказал, что: $\pi$ $\mathbb {Q}$ $\pi +e$

числа , и Γ (1/4) алгебраически независимы над . ^[3] $\pi$ $e^{\pi }$ $\mathbb {Q}$
числа , и Γ (1/3) алгебраически независимы над . $\pi$ $e^{\pi {\sqrt {3}}}$ $\mathbb {Q}$
для всех натуральных чисел числа и алгебраически независимы над . ^[4] $n$ $\pi$ $e^{\pi {\sqrt {n}}}$ $\mathbb {Q}$

Теорема Линдеманна – Вейерштрасса [ править ]

Теорема Линдеманна – Вейерштрасса часто может использоваться для доказательства того, что некоторые множества алгебраически независимы над ними . Он утверждает , что всякий раз , когда это алгебраические числа , которые линейно независимы над , то также алгебраически независимы над . $\mathbb {Q}$ $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ $\mathbb {Q}$ $e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}$ $\mathbb {Q}$

Алгебраические матроиды [ править ]

Учитывая расширение поля, которое не является алгебраическим, лемму Цорна можно использовать, чтобы показать, что всегда существует максимальное алгебраически независимое подмножество над . Кроме того, все максимальные алгебраически независимые подмножества имеют одинаковую мощность , известную как степень трансцендентности расширения. $L/K$ $L$ $K$

Для каждого набора элементов алгебраически независимые подмножества удовлетворяют аксиомам, которые определяют независимые множества матроида . В этом матроиде ранг набора элементов является его степенью трансцендентности, а плоскость, порожденная набором элементов, является пересечением с полем . Матроид, который может быть создан таким образом, называется алгебраическим матроидом . Хорошая характеристика алгебраических матроидов не известна, но известно, что некоторые матроиды не являются алгебраическими; Самым маленьким из них является матроид Вамос . ^[5] $S$ $L$ $S$ $T$ $L$ $K[T]$

Многие конечные матроиды могут быть представлены с помощью матрицы над полем , в котором матроида элементы соответствуют столбцам матрицы, и набор элементов не зависит , если соответствующий набор столбцов линейно независим . Каждый матроид с линейным представлением этого типа также может быть представлен как алгебраический матроид, если выбрать неопределенное значение для каждой строки матрицы и использовать коэффициенты матрицы в каждом столбце, чтобы назначить каждому элементу матроида линейную комбинацию этих трансцендентальных чисел. Обратное неверно: не каждый алгебраический матроид имеет линейное представление. ^[6] $K$

Ссылки [ править ]

↑ Патрик Моранди (1996). Теория Поля и Галуа . Springer. п. 174. ISBN 978-0-387-94753-2. Проверено 11 апреля 2008 .
^ Грин, Бен (2008), «III.41 Иррациональные и трансцендентные числа», в Гауэрсе, Тимоти (ред.), Принстонский компаньон по математике , Princeton University Press, стр. 222
^ Манин, Ю. I .; Панчишкин, А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. 49 (Второе изд.). п. 61. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396 . Zbl 1079.11002 .
↑ Нестеренко, Юрий В (1996). «Модульные функции и проблемы трансцендентности». Comptes Rendus де l'Академии наук, Série я . 322 (10): 909–914.
^ Инглтон, AW; Главное, RA (1975), "существуют неалгебраической матроиды", Бюллетень Лондонского математического общества , 7 (2): 144-146, DOI : 10,1112 / БЛМ / 7.2.144 , MR 0369110 .
Перейти ↑ Joshi, KD (1997), Applied Discrete Structures , New Age International, p. 909, ISBN 9788122408263.

Внешние ссылки [ править ]

Чен, Джонни. «Алгебраически независимый» . MathWorld .

[1] Патрик Моранди (1996). Теория Поля и Галуа . Springer. п. 174. ISBN 978-0-387-94753-2. Проверено 11 апреля 2008 .

[2] Грин, Бен (2008), «III.41 Иррациональные и трансцендентные числа», в Гауэрсе, Тимоти (ред.), Принстонский компаньон по математике , Princeton University Press, стр. 222

[MP61-3] Манин, Ю. I .; Панчишкин, А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. 49 (Второе изд.). п. 61. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396 . Zbl 1079.11002 .

[4] Нестеренко, Юрий В (1996). «Модульные функции и проблемы трансцендентности». Comptes Rendus де l'Академии наук, Série я . 322 (10): 909–914.

[5] Инглтон, AW; Главное, RA (1975), "существуют неалгебраической матроиды", Бюллетень Лондонского математического общества , 7 (2): 144-146, DOI : 10,1112 / БЛМ / 7.2.144 , MR 0369110 .

[6] Перейти ↑ Joshi, KD (1997), Applied Discrete Structures , New Age International, p. 909, ISBN 9788122408263.

[1]