Программа минимальной модели

В алгебраической геометрии программа минимальных моделей является частью бирациональной классификации алгебраических многообразий . Его цель - построить максимально простую бирациональную модель любого сложного проективного многообразия . Этот предмет берет свое начало в классической бирациональной геометрии поверхностей, изучаемой итальянской школой , и в настоящее время является активной областью исследований в алгебраической геометрии.

Наброски [ править ]

Основная идея теории состоит в том, чтобы упростить бирациональную классификацию многообразий путем нахождения в каждом классе бирациональной эквивалентности многообразия, которое является «настолько простым, насколько это возможно». Точное значение этой фразы изменилось с развитием предмета; первоначально для поверхностей это означало нахождение гладкого многообразия, для которого любой бирациональный морфизм с гладкой поверхностью является изоморфизмом . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до X '}$ ${\ displaystyle X '}$

В современной формулировке цель теории заключается в следующем. Предположим, что нам дано проективное многообразие , которое для простоты считается невырожденным. Есть два случая на основе его кодаировой , : ^[1] ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ каппа (Х)}$

${\ displaystyle \ kappa (X) = - \ infty.}$ Мы хотим , чтобы найти множество бирациональны и морфизм в проективное многообразие таких , что с антиканоническим классом общего слоя будучи достаточно . Такой морфизм называется расслоением Фано . ${\ displaystyle X '}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f \ двоеточие от X '\ до Y}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle \ тусклый Y <\ тусклый X ',}$ ${\ displaystyle -K_ {F}}$ ${\ displaystyle F}$
${\ Displaystyle \ каппа (Х) \ geqslant 0.}$ Мы хотим найти бирациональное to с каноническим классом nef . В данном случае это минимальная модель для . ${\ displaystyle X '}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle K_ {X ^ {\ prime}}}$ ${\ displaystyle X '}$ ${\ displaystyle X}$

Вопрос о том, являются ли указанные выше многообразия и неособыми, является важным. Кажется естественным надеяться, что если мы начнем с гладких , то мы всегда сможем найти минимальную модель или расслоение Фано внутри категории гладких многообразий. Однако это неверно, и поэтому возникает необходимость также рассматривать особые разновидности. Возникающие особенности называются терминальными особенностями . ${\ displaystyle X '}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$

Минимальные модели поверхностей [ править ]

Каждая неприводимая комплексная алгебраическая кривая бирациональна единственной гладкой проективной кривой, поэтому теория кривых тривиальна. Случай поверхностей был впервые исследован геометрами итальянской школы около 1900 г .; теорема сокращение от Гвидо Кастельнуово по существу описывает процесс построения минимальной модели любой поверхности. Теорема утверждает, что любой нетривиальный бирациональный морфизм должен стягивать −1-кривую в гладкую точку, и, наоборот, любую такую кривую можно гладко стянуть. Здесь −1-кривая - это гладкая рациональная кривая C с самопересечением. Любая такая кривая должна иметь, что показывает, что если канонический класс равен nef, то поверхность не имеет −1-кривых. ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$ ${\ Displaystyle C \ cdot C = -1.}$ ${\ Displaystyle К \ cdot C = -1}$

Из теоремы Кастельнуово следует, что для построения минимальной модели гладкой поверхности мы просто сжимаем все −1-кривые на поверхности, и полученное многообразие Y является либо (единственной) минимальной моделью с K nef, либо линейчатой поверхностью (которая то же самое, что и двумерное расслоение Фано, и является либо проективной плоскостью, либо линейчатой поверхностью над кривой). Во втором случае линейчатая поверхность, бирациональная X , не единственна, хотя существует единственная, изоморфная произведению проективной прямой и кривой.

Высокомерные минимальные модели [ править ]

В измерениях больше 2 теория становится более сложной. В частности, существуют гладкие многообразия , не бирациональные ни одному гладкому многообразию с неканоническим классом . Главный концептуальный прогресс 1970-х и начала 1980-х годов заключался в том, что построение минимальных моделей все еще возможно при условии, что кто-то будет осторожен с типами возникающих сингулярностей. (Например, мы хотим решить, является ли nef, поэтому должны быть определены числа пересечений . Следовательно, по крайней мере, наши разновидности должны быть делителем Картье для некоторого положительного целого числа .) ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X '}$ ${\ displaystyle K_ {X '}}$ ${\ Displaystyle K_ {X '} \ cdot C}$ ${\ displaystyle nK_ {X '}}$ $n$

Первым ключевым результатом является теорема о конусе Шигефуми Мори , описывающая строение конуса кривых . Вкратце, теорема показывает, что, начиная с , можно индуктивно построить последовательность многообразий , каждое из которых «ближе», чем предыдущее, к наличию nef. Однако процесс может столкнуться с трудностями: в какой-то момент разнообразие может стать «слишком необычным». Гипотетическим решением этой проблемы является переворот , своего рода хирургическая операция коразмерности 2 . Неясно, существуют ли требуемые флипы или что они всегда заканчиваются (то есть, что можно достичь минимальной модели за конечное число шагов). Mori (1988) $X$ $X$ $X_{i}$ $K_{X_{i}}$ $X_{i}$ $X_{i}$ $X'$ показал, что флипы существуют в трехмерном случае.

Существование более общих бревен было установлено Вячеславом Шокуровым в трех и четырех измерениях. Впоследствии это было обобщено на более высокие измерения Кошером Биркаром , Паоло Кашини, Кристофером Хаконом и Джеймсом МакКернаном, опираясь на более ранние работы Шокурова, Хакона и МакКернана. Они также доказали несколько других проблем, включая конечную генерацию лог-канонических колец и существование минимальных моделей для многообразий лог-канонического типа.

Проблема прекращения переворотов журнала в более высоких измерениях остается предметом активных исследований.

См. Также [ править ]

Гипотеза изобилия
Минимальная рациональная поверхность

Ссылки [ править ]

^ Обратите внимание, что размерность Кодаира n- мерного многообразия является либоцелым числом в диапазоне от 0 до n, либоцелым числом. $-\infty$

Биркар, Кошер ; Кашини, Паоло; Хакон, Кристофер ; МакКернан, Джеймс (2010), «Существование минимальных моделей для разновидностей логарифма общего типа», Журнал Американского математического общества , 23 (2): 405–468, arXiv : math / 0610203 , Bibcode : 2010JAMS ... 23. .405B , DOI : 10,1090 / S0894-0347-09-00649-3 , МР 2601039
Клеменс, Герберт ; Коллар, Янош ; Мори, Шигефуми (1988), "Многомерная сложная геометрия", Astérisque (166): 144 стр. (1989), ISSN 0303-1179 , MR 1004926
Фуджино, Осаму (2009), «Новые разработки в теории минимальных моделей», Сугаку , Математическое общество Японии, 61 (2): 162–186, ISSN 0039-470X , MR 2560253
Коллар, Янош (1987), «Структура алгебраических многообразий: введение в программу Мори» , Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 17 (2): 211-273, DOI : 10.1090 / S0273-0979-1987- 15548-0 , ISSN 0002-9904 , MR 0903730
Коллар, Янош (1989), "Минимальные модели трехмерных алгебраических многообразий: программа Мори" , Astérisque (177): 303–326, ISSN 0303-1179 , MR 1040578
Коллар, Янош (1996), Рациональные кривые на алгебраических многообразиях , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных исследований по математике], 32 , Берлин: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-662-03276-3 , ISBN 978-3-642-08219-1, Руководство по ремонту 1440180
Коллар, Янош ; Мори, Шигефуми (1998), Бирациональная геометрия алгебраических многообразий , Cambridge Tracts in Mathematics, 134 , Cambridge University Press , DOI : 10.1017 / CBO9780511662560 , ISBN 978-0-521-63277-5, MR 1658959
Мацуки, Кенджи (2002), Введение в программу Мори , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4757-5602-9 , ISBN 978-0-387-98465-0, MR 1875410
Мори, Shigefumi (1988), "Флип теорема и существование минимальных моделей 3-складками", журнал Американского математического общества , Американского математического общества, 1 (1): 117-253, DOI : 10,2307 / 1990969 , ISSN 0894 -0347 , JSTOR 1990969 , Руководство по ремонту 0924704
Кавамата, Юджиро (2001) [1994], "Теория экстремальных лучей Мори" , Энциклопедия математики , EMS Press

[1] Обратите внимание, что размерность Кодаира n- мерного многообразия является либоцелым числом в диапазоне от 0 до n, либоцелым числом. $-\infty$

[1]