Каноническая особенность

В математике канонические особенности появляются как особенности канонической модели проективного многообразия , а терминальные особенности являются частными случаями, которые появляются как особенности минимальных моделей . Их ввел Рид (1980) . Терминальные особенности важны в программе минимальных моделей, потому что гладкие минимальные модели не всегда существуют, и поэтому необходимо допускать определенные особенности, а именно терминальные особенности.

Определение [ править ]

Предположим , что Y является нормальным многообразием таким образом, что ее канонический класс K _Y является Q -Cartier, и пусть F : X → Y является разрешение особенностей Y . потом

{\ displaystyle \ displaystyle K_ {X} = f ^ {*} (K_ {Y}) + \ sum _ {i} a_ {i} E_ {i}}

где сумма берется по неприводимым исключительным делителям, а a _i - рациональные числа, называемые несовпадениями .

Тогда особенности Y называются:

терминал, если a _i > 0 для всех i

каноническим, если a _i ≥ 0 для всех i

лог-терминал, если a _i > −1 для всех i

лог-каноническим, если a _i ≥ −1 для всех i .

Свойства [ править ]

Особенности проективного многообразия V являются каноническими, если многообразие нормальное , некоторая степень канонического линейного расслоения неособой части V продолжается до линейного расслоения на V и V имеет те же плюригены, что и любое разрешение его особенностей . V имеет канонические особенности тогда и только тогда, когда это относительная каноническая модель .

Особенности проективного многообразия V являются терминальными, если многообразие нормально , некоторая степень канонического линейного расслоения неособой части V продолжается до линейного расслоения на V и V обратный образ любого сечения V ^m обращается в нуль вдоль любая компонента коразмерности 1 исключительного множества разрешения его особенностей.

Классификация в малых размерах [ править ]

Двумерные терминальные особенности гладкие. Если у многообразия есть терминальные особенности, то его особые точки имеют коразмерность не менее 3, и, в частности, в размерностях 1 и 2 все терминальные особенности гладкие. В трех измерениях они изолированы и классифицированы Мори (1985) .

Двумерные канонические особенности аналогичны особенностям дю Валя и аналитически изоморфны факторам C ² по конечным подгруппам SL ₂ ( C ).

Двумерные логтерминальные особенности аналитически изоморфны факторам C ² по конечным подгруппам GL ₂ ( C ).

Двумерные логканонические особенности были классифицированы Каваматой (1988) .

Пары [ править ]

В более общем плане можно определить эти понятия для пары, где - формальная линейная комбинация простых делителей с рациональными коэффициентами, такая как -Картье. Пара называется ${\ displaystyle (X, \ Delta)}$ ${\ displaystyle \ Delta}$ ${\ Displaystyle K_ {X} + \ Delta}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

терминал, если Discrep ${\ displaystyle (X, \ Delta)> 0}$
канонический, если Discrep ${\ displaystyle (X, \ Delta) \ geq 0}$
klt (лог-терминал Каваматы), если Discrep и ${\ displaystyle (X, \ Delta)> - 1}$ $\lfloor \Delta \rfloor \leq 0$
plt (чисто лог-терминал), если Discrep $(X,\Delta )>-1$
lc (лог канонический), если Discrep . $(X,\Delta )\geq -1$

Ссылки [ править ]

Коллар, Янош (1989), "Минимальные модели трехмерных алгебраических многообразий: программа Мори" , Astérisque (177): 303–326, ISSN 0303-1179 , MR 1040578 CS1 maint: discouraged parameter (link)
Кавамата, Юджиро (1988), "Крепантное разрушение трехмерных канонических особенностей и его применение к вырождению поверхностей", Ann. математики. , 2, 127 (1): 93-163, DOI : 10,2307 / 1971417 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971417 , МР 0924674 CS1 maint: discouraged parameter (link)
Мори, Shigefumi (1985), "О 3-мерных терминальных особенностей" , Нагоя математический журнал , 98 : 43-66, DOI : 10,1017 / s0027763000021358 , ISSN 0027-7630 , МР 0792770 CS1 maint: discouraged parameter (link)
Рейд, Майлз (1980), «Канонические трехмерности», Journées de Géometrie Algébrique d'Angers, Juillet 1979 / Algebraic Geometry, Angers, 1979 , Alphen aan den Rijn: Sijthoff & Noordhoff, стр. 273–310, MR 0605348
Рейд, Майлз (1987), "Руководство для молодых людей по каноническим особенностям", Алгебраическая геометрия, Bowdoin, 1985 (Brunswick, Maine, 1985) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика, 46 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 345–414, MR 0927963