В математике , то конус кривых (иногда Клейман-Мори конус) из алгебраического многообразия является комбинаторным инвариантом значение для бирациональной геометрии в.
Определение
Позволять быть правильным разнообразием. По определению (действительный) 1-цикл наявляется формальной линейной комбинацией неприводимых, приведенных и собственных кривых , с коэффициентами . Числовая эквивалентность 1-циклов определяется пересечениями: два 1-цикла а также численно эквивалентны, если для каждого делителя Картье на . Обозначим вещественное векторное пространство 1-циклов по модулю числовой эквивалентности через.
Определим конус кривых в быть
где неприводимые приведенные собственные кривые на , а также их классы в . Нетрудно увидеть, чтодействительно является выпуклым конусом в смысле выпуклой геометрии.
Приложения
Одним из полезных приложений понятия конуса кривых является условие Клеймана , согласно которому дивизор (Картье) на полном разнообразии является достаточно , если и только если для любого ненулевого элемента в , замыкание конуса кривых в обычной вещественной топологии. (В общем, не нужно закрывать, поэтому закрытие здесь важно.)
Более сложный пример - роль конуса кривых в теории минимальных моделей алгебраических многообразий. Вкратце, цель этой теории состоит в следующем: для заданного (слегка сингулярного) проективного многообразия, найдите (слегка особенное) многообразие который бирациональный в, а канонический дивизор является неф . Великий прорыв начала 1980-х (благодаря Мори и другим) заключался в построении (по крайней мере, морально) необходимой бирациональной карты из к как последовательность шагов, каждый из которых можно рассматривать как сокращение -отрицательный экстремальный луч . Однако этот процесс сталкивается с трудностями, разрешение которых требует введения переворота .
Структурная теорема
Вышеупомянутый процесс сжатия не мог продолжаться без фундаментального результата о структуре конуса кривых, известного как теорема о конусе . Первая версия этой теоремы для гладких многообразий принадлежит Мори ; Позднее Коллар , Рейд , Шокуров и другие обобщили его на более широкий класс разновидностей . Версия теоремы Мори такова:
Теорема о конусе. Позволять- гладкое проективное многообразие . потом
1. Существует счетное количество рациональных кривых. на , удовлетворяющий , а также
2. Для любого положительного действительного числа и любой обильный делитель ,
где сумма в последнем члене конечна.
Первое утверждение говорит , что в замкнутом полупространстве из где пересечение с неотрицательна, мы ничего не знаем, но в дополнительном полупространстве конус натянут на некоторый счетный набор кривых, которые весьма специфичны: они рациональны , и их `` степень '' очень сильно ограничена размерностью. Второе утверждение говорит нам больше: в нем говорится, что вдали от гиперплоскости, экстремальные лучи конуса не могут накапливаться. Когда является разновидностью Фано, так как достаточно. Итак, теорема о конусе показывает, что конус кривых многообразия Фано порождается рациональными кривыми.
Если к тому же разнообразие определена над полем характеристики 0, справедливо следующее утверждение, иногда называемое теоремой о сжатии :
3. Пусть - экстремальная грань конуса кривых, на которой отрицательный. Тогда есть уникальный морфизм на проективное многообразие Z такое, что и неприводимая кривая в сопоставляется с точкой если и только если . (См. Также: морфизм сокращения ).