Рациональное разнообразие

В математике , А рациональное многообразие является алгебраическим многообразием , над заданным полем K , который является бирационально к проективному пространству некоторой размерности над K . Это означает, что его функциональное поле изоморфно

${\displaystyle K(U_{1},\dots ,U_{d}),}$

поле всех рациональных функций для некоторого множества из неизвестных , где d представляет собой размерность многообразия.${\displaystyle \{U_{1},\dots ,U_{d}\}}$

Рациональность и параметризация [ править ]

Пусть V будет аффинное алгебраическое многообразие размерности D определяется простым идеалом I  = ⟨ е ₁ , ..., F _к ⟩ в . Если V рационален, то есть п  + 1 полиномы г ₀ , ..., г _п в таком , что для того , словах, мы имеем рациональную параметризацию многообразия.${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$${\displaystyle K(U_{1},\dots ,U_{d})}$${\displaystyle f_{i}(g_{1}/g_{0},\ldots ,g_{n}/g_{0})=0.}$${\displaystyle x_{i}={\frac {g_{i}}{g_{0}}}(u_{1},\ldots ,u_{d})}$

Наоборот, такая рациональная параметризация индуцирует гомоморфизм поля функций из V в . Но этот гомоморфизм не обязательно включен . Если такая параметризация существует, многообразие называется унирациональным . Из теоремы Люрота (см. Ниже) следует, что унирациональные кривые рациональны. Из теоремы Кастельнуово также следует, что в нулевой характеристике любая унирациональная поверхность рациональна.${\displaystyle K(U_{1},\dots ,U_{d})}$

Вопросы рациональности [ править ]

Рациональность вопрос спрашивает , может ли данное расширение поля является рациональным , в том смысле, что ( с точностью до изоморфизма) функция поля рационального многообразия; такие расширения поля также описываются как чисто трансцендентные . Точнее, вопрос о рациональности расширения поля таков : изоморфно ли рациональному функциональному полю по числу неопределенностей, заданных степенью трансцендентности ?${\displaystyle K\subset L}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$

Есть несколько различных вариантов этого вопроса, связанных с тем, как построены поля и .${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$

Например, пусть будет полем, и пусть${\displaystyle K}$

${\displaystyle \{y_{1},\dots ,y_{n}\}}$

быть более неизвестных K и пусть L -поле , порожденное над K ими. Рассмотрим конечную группу перестановкой этих неизвестных над K . По стандартной теории Галуа , множество неподвижных точек этого действия группы является подпол из , как правило , обозначается . Вопрос рациональности называется проблема Нётер и спрашивает , если это поле неподвижных точек или не является чисто трансцендентным расширением K . В статье ( Нётер, 1918 ) по теории Галуа${\displaystyle G}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L^{G}}$${\displaystyle K\subset L^{G}}$она изучала проблему параметризации уравнений с заданной группой Галуа, которую свела к «проблеме Нётер». (Впервые она упомянула эту проблему в ( Noether 1913 ), где она приписала проблему Э. Фишеру.) Она показала, что это верно для n = 2, 3 или 4. Р. Г. Свон  ( 1969 ) нашел контрпример к теории Нётер. задача с n = 47 и G циклической группой порядка 47.

Теорема Люрота [ править ]

Знаменитым случаем является проблема Люрота , которую Якоб Люрот решил в девятнадцатом веке. Люрота проблема касается подрасширений L из K ( X ), рациональных функций в одном неопределенном X . Любое такое поле , либо равно K , или также рационально, то есть L = K ( F ) для некоторой рациональной функции F . В геометрических терминах это гласит , что непостоянное рациональное отображение из проективных прямых к кривого C может произойти только тогда , когда C также имеет рода0. Этот факт геометрически можно прочитать из формулы Римана – Гурвица .

Несмотря на то, что теорему Люрота часто считают неэлементарным результатом, несколько элементарных коротких доказательств были обнаружены уже давно. Эти простые доказательства используют только основы теории поля и лемму Гаусса для примитивных многочленов (см., Например, ^[1] ).

Унирациональность [ править ]

Унирациональное многообразие V над полем K является одним доминирует рациональное многообразием, так что его функция поле K ( V ) лежит в чистом трансцендентальном поле конечного типа (который может быть выбран , чтобы быть конечной степень над K ( V ) , если K бесконечно). Решение проблемы Люрота показывает, что для алгебраических кривых рациональное и унирациональное - одно и то же, а из теоремы Кастельнуово следует, что для сложных поверхностей унирациональность влечет рациональность, потому что оба характеризуются обращением в нуль как арифметического рода, так и второго множественного числа . Зариский нашел несколько примеров (Поверхности Зарисского ) в характеристике p  > 0, которые унирациональны, но не рациональны. Клеменс и Гриффитс (1972) показали, что трехмерное кубическое многообразие вообще не является рациональным многообразием, предоставив пример трех измерений, что унирациональность не подразумевает рациональности. В их работе использовался промежуточный якобиан . Исковских и Манин (1971) показали, что все неособые трехмерные многообразия четвертой степени иррациональны, хотя некоторые из них унирациональны. Артин и Мамфорд (1972) нашли некоторые унирациональные трехмерные многообразия с нетривиальным кручением в их третьей группе когомологий, из чего следует, что они не рациональны.

Для любого поля K , Джанос Коллар доказал в 2000 году , что гладкая кубическая гиперповерхность размерности по крайней мере , 2 унирациональна , если она имеет точку , определенную над K . Это улучшение многих классических результатов, начиная со случая кубических поверхностей (которые являются рациональными многообразиями над алгебраическим замыканием). Другими примерами многообразий, которые демонстрируют унирациональность, являются многие случаи пространства модулей кривых. ^[2]

Рационально связанное разнообразие [ править ]

Рационально связное многообразие (или унилинейчатое разнообразие ) V является проективным алгебраическим многообразием над алгебраически замкнутым полем таким образом, что через каждую две точки проходит образ регулярного отображения из проективных прямой в V . Эквивалентно многообразие является рационально связным, если каждые две точки соединены рациональной кривой, содержащейся в многообразии. ^[3]

Это определение отличается от определения связности путей только природой пути, но сильно отличается, поскольку единственные алгебраические кривые, которые связаны рационально, являются рациональными.

Каждое рациональное многообразие, включая проективные пространства , рационально связно, но обратное неверно. Таким образом, класс рационально связных многообразий является обобщением класса рациональных многообразий. Унирациональные многообразия рационально связны, но не известно, верно ли обратное.

Стабильно рациональные сорта [ править ]

Многообразие V называется стабильно рациональным, если оно для некоторых рационально . Таким образом, любое рациональное разнообразие по определению стабильно рационально. Примеры, построенные Бовилем и др. (1985) показывают, что обратное неверно.${\displaystyle V\times \mathbf {P} ^{m}}$${\displaystyle m\geq 0}$

Шрайдер (2018) показал , что очень общие гиперповерхности не стабильно рациональны, при условии , что степень из V , по крайней мере . harvtxt error: no target: CITEREFSchreieder2018 (help) ${\displaystyle V\subset \mathbf {P} ^{N+1}}$${\displaystyle \log _{2}N+2}$

См. Также [ править ]

• Рациональная кривая
• Рациональная поверхность
• Сорт Севери – Брауэра
• Бирациональная геометрия

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Артин, Майкл ; Мамфорд, Дэвид (1972), «Некоторые элементарные примеры унирациональных многообразий, которые не являются рациональными», Труды Лондонского математического общества , третья серия, 25 : 75–95, CiteSeerX  10.1.1.121.2765 , doi : 10.1112 / plms / s3 -25.1.75 , ISSN  0024-6115 , MR  0321934
• Бовиль, Арно; Коллио-Телен, Жан-Луи; Сансук, Жан-Жак; Swinnerton-Дайер, Питер (1985), "Варьете stablement rationnelles не rationnelles", Анналы математики , второй серии, 121 (2): 283-318, DOI : 10,2307 / 1971174 , JSTOR  1971174 , MR  0786350
• Клеменс, К. Герберт ; Гриффитс, Филлип А. (1972), "Промежуточный якобиан кубики", Анналы математики , второй серии 95 (2): 281-356, CiteSeerX  10.1.1.401.4550 , DOI : 10,2307 / 1970801 , ISSN  0003 -486X , JSTOR  1970801 , Руководство по ремонту  0302652
• Исковских, В.А.; Манин, Ю. I. (1971), «Трехмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота», Математический сборник , Новая серия, 86 (1): 140–166, Bibcode : 1971SbMat..15..141I , doi : 10.1070 / SM1971v015n01ABEH001536 , Руководство по ремонту  0291172
• Коллар, Янош ; Смит, Карен Э .; Корти, Алессио (2004), Рациональные и почти рациональные разновидности , Кембриджские исследования в области высшей математики, 92 , Cambridge University Press , DOI : 10.1017 / CBO9780511734991 , ISBN 978-0-521-83207-6, Руководство по ремонту  2062787
• Нётер, Эмми (1913), «Обоснование функционирования», Дж. Бер. Д. DMV , 22 : 316–319.
• Нётер, Эмми (1918), «Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe», Mathematische Annalen , 78 (1–4): 221–229, doi : 10.1007 / BF01457099.
• Свон, Р.Г. (1969), "Инвариантные рациональные функции и проблема Стинрода", Inventiones Mathematicae , 7 (2): 148–158, Bibcode : 1969InMat ... 7..148S , doi : 10.1007 / BF01389798
• Мартине, Дж. (1971), «Exp. 372 Un contre-instance à une conjecture d'E. Noether (d'après R. Swan)», Séminaire Bourbaki. Vol. 1969/70: Exposés 364–381 , Lecture Notes по математике, 189 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR  0272580
• Шрейдер, Стефан (2019), «Стабильно иррациональные гиперповерхности малых склонов», Журнал Американского математического общества , 32 (4): 1171–1199, arXiv : 1801.05397 , doi : 10.1090 / jams / 928