В алгебраической геометрии , разделе математики , рациональная поверхность - это поверхность, бирационально эквивалентная проективной плоскости , или, другими словами, рациональное многообразие размерности два. Рациональные поверхности являются простейшими из 10 или около того классов поверхностей в классификации Энриквеса – Кодаиры сложных поверхностей, и они были первыми поверхностями, которые были исследованы.
Состав
Каждая невырожденная рациональная поверхность может быть получена путем многократного раздутия с минимальной рациональной поверхностью . Минимальные рациональные поверхности - это проективная плоскость и поверхности Хирцебруха Σ r при r = 0 или r ≥ 2.
Инварианты: В plurigenera все 0 и фундаментальная группа тривиальна.
1 | ||||
0 | 0 | |||
0 | 1+ п | 0 | ||
0 | 0 | |||
1 |
где n равно 0 для проективной плоскости, 1 для поверхностей Хирцебруха и больше 1 для других рациональных поверхностей.
Группа Пикара - это нечетная унимодулярная решетка I 1, n , за исключением поверхностей Хирцебруха Σ 2 m, когда это четная унимодулярная решетка II 1,1 .
Теорема Кастельнуово
Гвидо Кастельнуово доказал, что любая комплексная поверхность такая, что q и P 2 (нерегулярность и второе множественное число) равны нулю, рациональна. Это используется в классификации Энриквеса – Кодаира для определения рациональных поверхностей. Зариский (1958) доказал, что теорема Кастельнуово верна и для полей положительной характеристики.
Теорема Кастельнуово также подразумевает, что любая унирациональная комплексная поверхность является рациональной, потому что, если комплексная поверхность унирациональна, то ее нерегулярность и плюрироды ограничены таковыми из рациональной поверхности и, следовательно, все равны 0, поэтому поверхность рациональна. Большинство унирациональных сложных разновидностей размерности 3 или больше нерациональны. В характеристике p > 0 Зариский (1958) нашел примеры унирациональных поверхностей ( поверхностей Зарисского ), которые не являются рациональными.
Когда-то было неясно, рациональна ли сложная поверхность, в которой q и P 1 оба равны нулю, но Федериго Энрикес нашел контрпример ( поверхность Энриквеса ) .
Примеры рациональных поверхностей
- Поверхности Бордиги : вложение проективной плоскости в P 4 степени 6, определяемое квартиками, через 10 точек общего положения.
- Поверхности Шатле
- Брусчатка
- Кубические поверхности Неособые кубические поверхности изоморфны проективной плоскости, раздуваемой в 6 точках, и являются поверхностями Фано. Названные примеры включают кубику Ферма , кубическую поверхность Кэли и диагональную поверхность Клебша .
- поверхности дель Пеццо (поверхности Фано)
- Эннепер поверхность
- Поверхности Хирцебруха Σ n
- P 1 × P 1 Произведение двух проективных прямых - это поверхность Хирцебруха Σ 0 . Это единственная поверхность с двумя разными линейками.
- Проективная плоскость
- Поверхность Сегре Пересечение двух квадрик, изоморфных проективной плоскости, раздуваемой в 5 точках.
- Поверхность Штейнера Поверхность в P 4 с особенностями, бирациональная проективной плоскости.
- Белые поверхности , обобщение поверхностей Бордиги.
- Поверхность Веронезе Вложение проективной плоскости в P 5 .
Смотрите также
Рекомендации
- Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные сложные поверхности , Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Берлин, ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225
- Бовиль, Арно (1996), Комплексные алгебраические поверхности , Студенческие тексты Лондонского математического общества, 34 (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-49510-3, Руководство по ремонту 1406314
- Зариски, Оскар (1958), «О критерии рациональности Кастельнуово p a = P 2 = 0 алгебраической поверхности», Illinois Journal of Mathematics , 2 : 303–315, ISSN 0019-2082 , MR 0099990
Внешние ссылки
- Le Superficie Algebriche : инструмент для визуального изучения географии (минимальных) сложных алгебраических гладких поверхностей