Эннепер поверхность

Часть поверхности Эннепер

В дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии , то поверхность Эннепер является самопересекающейся поверхностью , которая может быть описана параметрический с помощью:

${\ Displaystyle х = и (1-и ^ {2} / 3 + v ^ {2}) / 3, \}$

${\ Displaystyle у = v (1-v ^ {2} / 3 + u ^ {2}) / 3, \}$

${\ Displaystyle Z = (и ^ {2} -v ^ {2}) / 3. \}$

Он был введен Альфредом Эннепером в 1864 году в связи с теорией минимальных поверхностей . ^{[1] [2] [3] [4]}

Параметризация Вейерштрасса – Эннепера очень проста, и реальная параметрическая форма может быть легко вычислена на ее основе. Поверхность сопряжена сама с собой.${\ Displaystyle f (z) = 1, g (z) = z}$

Методы неявной алгебраической геометрии могут быть использованы, чтобы выяснить, что точки на поверхности Эннепера, указанные выше, удовлетворяют полиномиальному уравнению степени 9 ^{[ необходима цитата ]}

${\ displaystyle 64z ^ {9} -128z ^ {7} + 64z ^ {5} -702x ^ {2} y ^ {2} z ^ {3} -18x ^ {2} y ^ {2} z + 144 (у ^ {2} z ^ {6} -x ^ {2} z ^ {6}) \}$

${\ displaystyle {} +162 (y ^ {4} z ^ {2} -x ^ {4} z ^ {2}) + 27 (y ^ {6} -x ^ {6}) + 9 (x ^ {4} z + y ^ {4} z) +48 (x ^ {2} z ^ {3} + y ^ {2} z ^ {3}) \}$

${\ displaystyle {} -432 (x ^ {2} z ^ {5} + y ^ {2} z ^ {5}) + 81 (x ^ {4} y ^ {2} -x ^ {2} y ^ {4}) + 240 (y ^ {2} z ^ {4} -x ^ {2} z ^ {4}) - 135 (x ^ {4} z ^ {3} + y ^ {4} z ^ {3}) = 0. \}$

Таким образом, касательная плоскость в точке с заданными параметрами находится там, где${\ Displaystyle а + bx + cy + dz = 0, \}$

${\ displaystyle a = - (u ^ {2} -v ^ {2}) (1 + u ^ {2} / 3 + v ^ {2} / 3), \}$

${\ displaystyle b = 6u, \}$

${\ displaystyle c = 6v, \}$

${\ displaystyle d = -3 (1-u ^ {2} -v ^ {2}). \}$

Его коэффициенты удовлетворяют неявному полиномиальному уравнению шестой степени

${\displaystyle 162a^{2}b^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}d^{2}-4(b^{6}+c^{6})+54(ab^{4}d-ac^{4}d)+81(a^{2}b^{4}+a^{2}c^{4})\ }$

${\displaystyle {}+4(b^{4}c^{2}+b^{2}c^{4})-3(b^{4}d^{2}+c^{4}d^{2})+36(ab^{2}d^{3}-ac^{2}d^{3})=0.\ }$

Якобиан , кривизна Gaussian и средняя кривизна являются

${\displaystyle J=(1+u^{2}+v^{2})^{4}/81,\ }$

${\displaystyle K=-(4/9)/J,\ }$

${\displaystyle H=0.\ }$

Полная кривизна является . Оссерман доказал, что полная минимальная поверхность с полной кривизной является либо катеноидом, либо поверхностью Эннепера. ^[5]${\displaystyle -4\pi }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle -4\pi }$

Другое свойство состоит в том, что все бикубические минимальные поверхности Безье являются с точностью до аффинного преобразования частями поверхности. ^[6]

Его можно обобщить на вращательные симметрии более высокого порядка, используя параметризацию Вейерштрасса – Эннепера для целого числа k> 1. ^[3] Его также можно обобщить на более высокие измерения; Известно, что эннепероподобные поверхности существуют для n вплоть до 7. ^[7]${\displaystyle f(z)=1,g(z)=z^{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• "Поверхность Эннепера" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• https://web.archive.org/web/20130501084413/http://www.math.hmc.edu/~gu/curves_and_surfaces/surfaces/enneper.html
• https://web.archive.org/web/20160919231223/https://secure.msri.org/about/sgp/jim/geom/minimal/library/ennepern/index.html