Катеноид

Катеноид, полученный при вращении цепной линии.

Катеноид представляет собой тип поверхности, возникающие при вращении цепной линии кривой вокруг оси. ^[1] Это минимальная поверхность , что означает, что она занимает наименьшую площадь, когда ограничена замкнутым пространством. ^[2] Он был официально описан в 1744 году математиком Леонардом Эйлером .

Мыльная пленка, прикрепленная к двойным круглым кольцам, примет форму катеноида. ^[2] Поскольку они являются членами одного и того же ассоциированного семейства поверхностей, катеноид может быть изогнут в часть геликоида , и наоборот.

Геометрия [ править ]

Катеноид был первой нетривиальной минимальной поверхностью в трехмерном евклидовом пространстве, обнаруженной отдельно от плоскости . Катеноид получается вращением цепной линии вокруг своей направляющей . ^[2] Он был найден и доказан как минимальный Леонард Эйлер в 1744 году. ^[3]^[4]

Ранние работы по этому поводу были опубликованы также Жаном Батистом Менье . ^[5]^[4]^{: 11106} Есть только две минимальные поверхности вращения ( поверхности вращения, которые также являются минимальными поверхностями): плоскость и катеноид. ^[6]

Катеноид может быть определен следующими параметрическими уравнениями:

{\ displaystyle x = c \ cosh {\ frac {v} {c}} \ cos u}

{\ displaystyle y = c \ cosh {\ frac {v} {c}} \ sin u}

{\ displaystyle z = v}

где и и реальная ненулевая константа.

{\ Displaystyle и \ в [- \ пи, \ пи)}

{\ displaystyle v \ in \ mathbb {R}}

{\ displaystyle c}

В цилиндрических координатах:

{\ displaystyle \ rho = c \ cosh {\ frac {z} {c}}}

где - действительная постоянная.

{\ displaystyle c}

Физическую модель катеноида можно создать, погрузив два круглых кольца в мыльный раствор и медленно раздвинув круги.

Катеноид также может быть приблизительно определен методом растянутой сетки как фасетная 3D-модель.

Преобразование геликоида [ править ]

Непрерывная анимация, показывающая геликоид, деформирующийся в катеноид и обратно в геликоид

Деформация геликоида в катеноид

Поскольку они являются членами одного и того же ассоциированного семейства поверхностей, можно согнуть катеноид в часть геликоида без растяжения. Другими словами, можно выполнить (в основном) непрерывную и изометрическую деформацию катеноида к части геликоида так , чтобы каждый член семейства деформаций был минимальным (имеющим нулевую среднюю кривизну ). Параметризация такой деформации задается системой

{\ Displaystyle х (и, v) = \ соз \ тета \, \ зп v \, \ грех и + \ грех \ тета \, \ сш v \, \ соз и}

{\ Displaystyle у (и, v) = - \ соз \ тета \, \ зп v \, \ соз и + \ грех \ тета \, \ сш v \, \ грех и}

{\ Displaystyle Z (U, v) = и \ соз \ тета + v \ грех \ тета}

для , с параметром деформации ,

{\ Displaystyle (и, v) \ в (- \ пи, \ пи] \ раз (- \ infty, \ infty)}

{\ Displaystyle - \ пи <\ тета \ leq \ pi}

где соответствует правому геликоиду, соответствует катеноиду и соответствует левому геликоиду. ${\ displaystyle \ theta = \ pi}$ ${\ displaystyle \ theta = \ pm \ pi / 2}$ $\theta =0$

Ссылки [ править ]

^ Диркес, Ульрих; Хильдебрандт, Стефан; Совиньи, Фридрих (2010). Минимальные поверхности . Springer Science & Business Media . п. 141. ISBN. 9783642116988.
^ a b c Gullberg, Янв (1997). Математика: от рождения чисел . WW Norton & Company . п. 538 . ISBN 9780393040029.
↑ Helveticae, Euler, Leonhard (1952) [перепечатка издания 1744 года]. Каратеодори Константин (ред.). Methodus inveniendi lineas curvas: maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu acceptpti (на латыни). Springer Science & Business Media. ISBN 3-76431-424-9.
^ a b Colding, TH; Minicozzi, WP (17 июля 2006 г.). «Формы вложенных минимальных поверхностей» . Труды Национальной академии наук . 103 (30): 11106–11111. DOI : 10.1073 / pnas.0510379103 . PMC 1544050 . PMID 16847265 .
^ Менье, J. В (1881). Мемуаре ли courbure де поверхности [ Память на кривизне поверхности. ] (PDF) (на французском языке). Брюссель: Ф. Хайез, Imprimeur De L'Acdemie Royale De Belgique. С. 477–510. ISBN 9781147341744.
^ "Катеноид" . Wolfram MathWorld . Проверено 15 января 2017 года .

Дальнейшее чтение [ править ]

Кривошапко, Сергей; Иванов, В.Н. (2015). «Минимальные поверхности» . Энциклопедия аналитических поверхностей . Springer. ISBN 9783319117737.

Внешние ссылки [ править ]

"Катеноид" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Катеноид - модель WebGL
Текст Эйлера, описывающий катеноид в Университете Карнеги-Меллона

[1] Диркес, Ульрих; Хильдебрандт, Стефан; Совиньи, Фридрих (2010). Минимальные поверхности . Springer Science & Business Media . п. 141. ISBN. 9783642116988.

[Gullberg-2] Gullberg, Янв (1997). Математика: от рождения чисел . WW Norton & Company . п. 538 . ISBN 9780393040029.

[3] Helveticae, Euler, Leonhard (1952) [перепечатка издания 1744 года]. Каратеодори Константин (ред.). Methodus inveniendi lineas curvas: maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu acceptpti (на латыни). Springer Science & Business Media. ISBN 3-76431-424-9.

[Colding06-4] Colding, TH; Minicozzi, WP (17 июля 2006 г.). «Формы вложенных минимальных поверхностей» . Труды Национальной академии наук . 103 (30): 11106–11111. DOI : 10.1073 / pnas.0510379103 . PMC 1544050 . PMID 16847265 .

[salvert-5] Менье, J. В (1881). Мемуаре ли courbure де поверхности [ Память на кривизне поверхности. ] (PDF) (на французском языке). Брюссель: Ф. Хайез, Imprimeur De L'Acdemie Royale De Belgique. С. 477–510. ISBN 9781147341744.

[6] "Катеноид" . Wolfram MathWorld . Проверено 15 января 2017 года .

[1]