В математическом исследовании дифференциальной геометрии кривых , то полная кривизна из погруженных плоских кривого является интегралом от кривизны вдоль кривой , взятых по отношению к длине дуги :
Полная кривизна замкнутой кривой всегда является целым числом, кратным 2 π , называемым индексом кривой или числом поворота - это число витков единичного касательного вектора относительно начала координат или, что то же самое, степень отображения единичная окружность, обозначающая каждой точке кривой вектор единичной скорости в этой точке. Эта карта похожа на карту Гаусса для поверхностей.
Сравнение с поверхностями
Эта связь между локальным геометрическим инвариантом, кривизной, и глобальным топологическим инвариантом , индексом, характерна для результатов в многомерной римановой геометрии, таких как теорема Гаусса – Бонне .
Инвариантность
Согласно теореме Уитни – Граустейна полная кривизна инвариантна относительно регулярной гомотопии кривой: это степень отображения Гаусса . Однако он не инвариантен относительно гомотопии: прохождение через перегиб (куспид) изменяет число поворота на 1.
Напротив, число намотки вокруг точки инвариантно относительно гомотопий, которые не проходят через точку, и изменяется на 1, если кто-то проходит через точку.
Обобщения
Конечное обобщение состоит в том, что внешние углы треугольника или, в более общем смысле, любого простого многоугольника в сумме составляют 360 ° = 2 π радиан, что соответствует числу поворота 1. В общем, многоугольные цепи, которые не возвращаются сами по себе ( нет углов 180 °) имеют четко определенную общую кривизну, интерпретируя кривизну как точечные массы под углами.
Общая абсолютная кривизна кривой определяется почти таким же образом , как и в общей кривизне, но с использованием абсолютного значения кривизны вместо подписанной кривизны. Это 2 π для выпуклых кривых на плоскости и больше для невыпуклых кривых. [1] Его также можно обобщить на кривые в пространствах более высоких измерений, выровняв касательную, развернутую к γ, в плоскость и вычислив общую кривизну полученной кривой. То есть полная кривизна кривой в n -мерном пространстве равна
где κ n −1 - последняя кривизна Френе ( кручение кривой), а sgn - сигнум-функция .
Минимальная полная абсолютная кривизна любой трехмерной кривой, представляющей данный узел, является инвариантом узла. Этот инвариант имеет значение 2 π для узла, но по теореме Фари – Милнора он равен не менее 4 π для любого другого узла. [2]
Рекомендации
- ^ Чен, Банг-Йен (2000), "Римановы подмногообразия", Справочник по дифференциальной геометрии, Vol. Я , Северная Голландия, Амстердам, стр 187-418,. Дои : 10.1016 / S1874-5741 (00) 80006-0 , MR 1736854. См., В частности, раздел 21.1, «Индекс вращения и общая кривизна кривой», стр. 359–360 .
- ^ Милнор, Джон У. (1950), "О полной кривизне Узлов", Анналы математики , второй серии, 52 (2): 248-257, DOI : 10,2307 / 1969467 , JSTOR 1969467
- Кунель, Вольфганг (2005), Дифференциальная геометрия: кривые - поверхности - многообразия (2-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-3988-1 (перевод Брюса Ханта)
- Салливан, Джон М. (2008), «Кривые конечной полной кривизны», Дискретная дифференциальная геометрия , Обервольфах Семин., 38 , Биркхойзер, Базель, стр. 137–161, arXiv : math / 0606007 , doi : 10.1007 / 978-3 -7643-8621-4_7 , Руководство по ремонту 2405664