Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В дифференциальной геометрии , то общая абсолютная кривизна из гладких кривого является числом , определенное путем интегрирования абсолютного значения этого кривизна вокруг кривого. Это безразмерная величина, которая инвариантна относительно преобразований подобия кривой, и ее можно использовать для измерения того, насколько кривая удалена от выпуклой кривой . [1]

Если кривая параметризована длиной дуги , общая абсолютная кривизна может быть выражена формулой

где s - параметр длины дуги, а κ - кривизна. Это почти то же самое, что формула для общей кривизны , но отличается использованием абсолютного значения вместо кривизны со знаком. [2]

Поскольку общая кривизна простой замкнутой кривой на евклидовой плоскости всегда ровно 2 π , полная абсолютная кривизна также всегда не меньше 2 π . Это ровно 2 π для выпуклой кривой и больше 2 π, если кривая имеет какие-либо невыпуклости. [2] Когда гладкая простая замкнутая кривая подвергается потоку сокращения кривой , ее общая абсолютная кривизна монотонно уменьшается до тех пор, пока кривая не станет выпуклой, после чего ее общая абсолютная кривизна остается фиксированной на 2 π, пока кривая не схлопнется в точку. [3][4]

Полная абсолютная кривизна также может быть определена для кривых в трехмерном евклидовом пространстве . Опять же, это не менее 2 π , но может быть больше. Если кривое пространство окружено сферой, общая абсолютная кривизна сферы равна ожидаемое значение в центральной проекции кривого на плоскость , касательную к случайной точке сферы. [5] Согласно теореме Фэри – Милнора , каждый нетривиальный гладкий узел должен иметь полную абсолютную кривизну больше 4 π . [2]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Брук, Александр; Bruckstein, Альфред М .; Киммел, Рон (2005), «О мерах справедливости, инвариантных к подобию», в Киммел, Рон ; Sochen, Nir A .; Weickert, Joachim (eds.), Scale Space и PDE Methods in Computer Vision: 5th International Conference, Scale-Space 2005, Hofgeismar, Germany, 7-9 апреля 2005 г., Proceedings , Lecture Notes in Computer Science, 3459 , Springer-Verlag ., стр 456-467, DOI : 10.1007 / 11408031_39.
  2. ^ a b c Чен, Банг-Йен (2000), "Римановы подмногообразия", Справочник по дифференциальной геометрии, Vol. Я , Северная Голландия, Амстердам, стр 187-418,. Дои : 10.1016 / S1874-5741 (00) 80006-0 , MR 1736854 . См., В частности, раздел 21.1, «Индекс поворота и общая кривизна кривой», стр. 359–360 .
  3. ^ Бракке, Кеннет А. (1978), Движение поверхности по ее средней кривизне (PDF) , Математические заметки, 20 , Princeton University Press, Принстон, Нью-Джерси, Приложение B, Предложение 2, стр. 230, ISBN  0-691-08204-9, MR  0485012.
  4. ↑ Чжоу, Кай-Сен; Чжу, Си-Пинг (2001), Проблема укорочения кривой , Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall / CRC, лемма 5.5, с. 130 и раздел 6.1, стр. 144–147, DOI : 10.1201 / 9781420035704 , ISBN 1-58488-213-1, MR  1888641.
  5. ^ Banchoff, Томас Ф. (1970), "Общая центральная кривизна кривых", Герцога математический журнал , 37 (2): 281-289, DOI : 10,1215 / S0012-7094-70-03736-1 , МР 0259815 .