В простейшей дифференциальной геометрии кривых в трех измерениях , то торсионный о наличии кривого мерли , как он резко скручивание из плоскости кривизны. Взятые вместе, кривизна и кручение пространственной кривой аналогичны кривизне плоской кривой. Например, они являются коэффициентами в системе дифференциальных уравнений для системы отсчета Френе, задаваемой формулами Френе – Серре .
Определение
Пусть г быть пространственным кривым параметризованной длиной дуги s и с единичным касательным вектором Т . Если кривизна κ из г в определенный момент не равен нулю , то основным вектором нормали и вектора бинормаль в этой точке единичные векторы
соответственно, где штрих означает производную вектора по параметру s . В кручении т измеряет скорость вращения бинормали вектора в данной точке. Находится из уравнения
что значит
Замечание : Производная вектора бинормали перпендикулярна как бинормали, так и касательной, поэтому она должна быть пропорциональна вектору главной нормали. Отрицательный знак - это просто вопрос условности: это побочный продукт исторического развития предмета.
Геометрическая релевантность: кручение τ ( s ) измеряет оборот бинормального вектора. Чем больше кручение, тем быстрее вектор бинормали вращается вокруг оси, заданной касательным вектором (см. Графические иллюстрации ). На анимированном рисунке вращение вектора бинормали хорошо видно на пиках функции кручения.
Характеристики
- Плоская кривая ненулевой кривизны имеет нулевое кручение во всех точках. Наоборот, если кручение регулярной кривой с ненулевой кривизной тождественно равно нулю, то эта кривая принадлежит фиксированной плоскости.
- Кривизна и скручивание спирали постоянны. И наоборот, любая пространственная кривая, кривизна и кручение которой постоянны и не равны нулю, является спиралью. Кручение положительно для правой [1] спирали и отрицательно для левой.
Альтернативное описание
Пусть r = r ( t ) - параметрическое уравнение пространственной кривой. Предположим, что это обычная параметризация и кривизна кривой не обращается в нуль. Аналитический, г ( т ) является три раза дифференцируемой функцией от т со значениями в R 3 и векторы
являются линейно независимыми .
Тогда кручение можно вычислить по следующей формуле:
Здесь штрихи обозначают производные по t, а крестик обозначает перекрестное произведение . Для r = ( x , y , z ) формула в компонентах имеет вид
Заметки
Рекомендации
- Прессли, Эндрю (2001), Элементарная дифференциальная геометрия , серия Springer для студентов-математиков, Springer-Verlag , ISBN 1-85233-152-6