В дифференциальной геометрии , то формулы Френе-Serret описывают кинематические свойства частицы , движущейся вдоль непрерывной, дифференцируемой кривой в трехмерном евклидовом пространстве R 3 , или геометрических свойств самой кривой , независимо от любого движения. Более конкретно, формулы описывают производные так называемых касательных, нормальных и бинормальных единичных векторов в терминах друг друга. Формулы названы в честь двух французских математиков, которые независимо открыли их: Жана Фредерика Френе в его диссертации 1847 года и Жозефа Альфреда Серре. в 1851 году. Векторные обозначения и линейная алгебра, используемые в настоящее время для написания этих формул, еще не использовались на момент их открытия.
Касательные, нормальные и бинормальные единичные векторы, часто называемые T , N и B , или вместе фрейм Френе – Серре или TNB , вместе образуют ортонормированный базис, охватывающий R 3, и определяются следующим образом:
- T - единичный вектор, касательный к кривой, указывающий в направлении движения.
- N - нормальный единичный вектор, производная T по параметру длины дуги кривой, деленная на ее длину.
- В это бинормаль единичный вектор, то векторное произведение из T и N .
Формулы Френе – Серре:
где d / ds - производная по длине дуги, κ - кривизна , а τ - кручение кривой. Два скаляра κ и τ эффективно определяют кривизну и кручение пространственной кривой. Соответствующий набор T , N , B , κ и τ называется аппаратом Френе – Серре . Интуитивно кривизна измеряет отклонение кривой от прямой линии, в то время как кручение измеряет отклонение кривой от плоскости.
Определения
Пусть r ( t ) - кривая в евклидовом пространстве , представляющая вектор положения частицы как функцию времени. Формулы Френе – Серре применимы к невырожденным кривым , что примерно означает, что они имеют ненулевую кривизну . Более формально в этой ситуации требуется, чтобы вектор скорости r ′ ( t ) и вектор ускорения r ′ ′ ( t ) не были пропорциональными.
Пусть s ( t ) представляет собой длину дуги, по которой частица двигалась по кривой за время t . Величина s используется для придания кривой, очерченной траекторией частицы, естественной параметризации длиной дуги, поскольку множество различных траекторий частицы может прослеживать одну и ту же геометрическую кривую, проходя ее с разной скоростью. В деталях s определяется выражением
Более того, поскольку мы предположили, что r ′ ≠ 0, отсюда следует, что s ( t ) - строго монотонно возрастающая функция. Следовательно, можно найти t как функцию от s и, таким образом, написать r ( s ) = r ( t ( s )). Таким образом, кривая предпочтительно параметризуется длиной дуги.
С невырожденной кривой r ( s ), параметризованной длиной дуги, теперь можно определить рамку Френе-Серре (или рамку TNB ):
- Касательный единичный вектор T определяется как
( 1 )
- Нормальный единичный вектор N определяется как
( 2 )
Обратите внимание, что, вызывая кривизну мы автоматически получаем первое соотношение.
- Блок бинормаль вектор B определяется как векторное произведение из T и N :
( 3 )
Из уравнения ( 2 ) следует, что, поскольку T всегда имеет единичную величину , N (изменение T ) всегда перпендикулярно T , поскольку длина T не изменяется . Из уравнения ( 3 ) следует , что B всегда перпендикулярен как T и N . Таким образом, все три единичных вектора T , N и B перпендикулярны друг другу.
В формулах Френа-Серра являются:
где это кривизна иэто кручение .
Формулы Френе – Серре также известны как теорема Френе – Серре , и их можно сформулировать более кратко, используя матричную запись: [1]
Эта матрица кососимметрична .
Формулы в n измерениях
Формулы Френе – Серре были обобщены на многомерные евклидовы пространства Камиллом Жорданом в 1874 году.
Предположим, что r ( s ) - гладкая кривая в R n , и что первые n производных r линейно независимы. [2] Векторы в системе отсчета Френе – Серре представляют собой ортонормированный базис, построенный путем применения процесса Грама-Шмидта к векторам ( r ′ ( s ), r ′ ′ ( s ), ..., r ( n ) ( s )).
В деталях, единичный касательный вектор является первым вектором Френе e 1 ( s ) и определяется как
где
Нормальный вектор , иногда называемый вектор кривизны , указывает на девиаций кривой от того , чтобы быть прямой линией. Он определяется как
Его нормализованная форма, единичный вектор нормали , является вторым вектором Френе e 2 ( s ) и определяется как
Касательная и вектор нормали в точке s определяют соприкасающуюся плоскость в точке r ( s ).
Остальные векторы в системе отсчета (бинормаль, тринормаль и т. Д.) Определяются аналогично формулой
Последний вектор в кадре определяется перекрестным произведением первых n-1 векторов:
Действительные функции, используемые ниже χ i ( s ), называются обобщенной кривизной и определяются как
В трёхграннике френа , указанный в матричном языке, являются
Обратите внимание, что, как определено здесь, обобщенные кривизны и рама могут немного отличаться от условных обозначений, найденных в других источниках. Верхняя кривизна (в данном контексте также называемый кручением) и последний вектор в кадре , отличаются знаком
(ориентация базиса) от обычного кручения. Формулы Френе – Серре инвариантны относительно изменения знака обеих а также , и эта смена знака делает фрейм положительно ориентированным. Как определено выше, рамка наследует свою ориентацию от струи.
Доказательство
Рассмотрим матрицу
Строки этой матрицы являются взаимно перпендикулярными единичными векторами: ортонормированный базисом из. В результате, транспонированная из Q равна обратной из Q : Q представляет собой ортогональную матрицу . Достаточно показать, что
Обратите внимание, что первая строка этого уравнения уже выполняется по определению нормали N и кривизны κ , а также последняя строка по определению кручения. Итак, достаточно показать, чтоdQ/dsQ T - кососимметричная матрица . Поскольку I = QQ T , взяв производную и применив правило произведения, получаем
что устанавливает требуемую кососимметрию. [3]
Приложения и интерпретация
Кинематика кадра
Репер Френе – Серре, состоящий из касательной T , нормали N и бинормали B, вместе образует ортонормированный базис трехмерного пространства. В каждой точке кривой, это придает в системе отсчета или прямолинейную систему координат (см рисунок).
Формулы Френе – Серре допускают кинематическую интерпретацию. Представьте, что наблюдатель движется по кривой во времени, используя прикрепленную рамку в каждой точке в качестве своей системы координат. Формулы Френе – Серре означают, что эта система координат постоянно вращается, когда наблюдатель движется по кривой. Следовательно, эта система координат всегда неинерциальна . Угловой момент наблюдателя это система координат пропорциональна вектор Дарба кадра.
Конкретно, предположим, что наблюдатель несет (инерциальную) волчок (или гироскоп ) с собой вдоль кривой. Если ось верха направлена по касательной к кривой, то будет наблюдаться вращение вокруг своей оси с угловой скоростью -τ относительно неинерциальной системы координат наблюдателя. Если, с другой стороны, ось верха направлена в бинормальном направлении, то наблюдается вращение с угловой скоростью -κ. Это легко визуализировать в случае, когда кривизна положительна, а кручение обращается в нуль. Затем наблюдатель совершает равномерное круговое движение . Если вершина указывает в направлении бинормали, то по сохранению момента количества движения она должна вращаться в направлении, противоположном круговому движению. В предельном случае, когда кривизна исчезает, нормаль наблюдателя прецессирует относительно касательного вектора, и аналогично волчок будет вращаться в направлении, противоположном этой прецессии.
Общий случай проиллюстрирован ниже . На Викимедиа есть и другие иллюстрации .
Приложения. Кинематика рамы находит множество приложений в науке.
- В науках о жизни , особенно в моделях движения микробов, для объяснения механизма, с помощью которого движущийся организм в вязкой среде меняет свое направление, использовалась система координат Френе-Серре. [4]
- В физике система координат Френе-Серре полезна, когда невозможно или неудобно назначить естественную систему координат для траектории. Так часто бывает, например, в теории относительности . В этом случае кадры Френе-Серре использовались для моделирования прецессии гироскопа в гравитационной яме. [5]
Графические иллюстрации
- Пример движущегося базиса Френе ( T - синий, N - зеленый, B - фиолетовый) вдоль кривой Вивиани .
- На примере торического узла отображаются касательный вектор T , нормальный вектор N и бинормальный вектор B , а также кривизна κ (s) и кручение τ (s).
На пиках функции кручения отчетливо виден поворот системы Френе-Серре ( T , N , B ) вокруг касательного вектора.
- Кинематическое значение кривизны лучше всего иллюстрируется плоскими кривыми (имеющими постоянное кручение, равное нулю). См. Страницу о кривизне плоских кривых .
Формулы Френе – Серре в исчислении
Формулы Френе – Серре часто вводятся в курсах многомерного исчисления в качестве дополнения к изучению пространственных кривых, таких как спираль . Спираль может характеризоваться высотой 2π h и радиусом одного витка r . Кривизна и кручение спирали (постоянного радиуса) задаются формулами
Знак кручения определяется правой или левой рукой смысле , в котором спираль закручивается вокруг своей центральной оси. Явно параметризация одиночного витка правой спирали высотой 2π h и радиусом r имеет вид
- x = r cos t
- у = г грех т
- z = h t
- (0 ≤ t ≤ 2 π)
а для левой спирали
- x = r cos t
- y = - r sin t
- z = h t
- (0 ≤ t ≤ 2 π).
Обратите внимание, что это не параметризации длины дуги (в этом случае каждый из x , y и z должен быть разделен на.)
В своих пояснительных работах по геометрии кривых Руди Ракер [6] использует модель обтягивающего материала для объяснения значения кручения и кривизны. По его словам, обтягивающие характеристики характеризуются тем свойством, что количество
остается неизменным, если обтягивающий элемент вытянут вертикально вдоль его центральной оси. (Здесь 2π h - высота одного поворота обтяжки, а r - радиус.) В частности, кривизна и кручение дополняют друг друга в том смысле, что кручение может быть увеличено за счет кривизны путем растягивания обтягивающего материала.
Расширение Тейлора
Многократное дифференцирование кривой и применение формул Френе – Серре дает следующее приближение Тейлора к кривой вблизи s = 0: [7]
Для кривой общего положения с ненулевым кручением проекция кривой на различные координатные плоскости в системе координат T , N , B при s = 0 имеет следующие интерпретации:
- Соприкасающаяся плоскость является плоскостью , содержащей Т и N . Проекция кривой на эту плоскость имеет вид: Это парабола с точностью до членов порядка o ( s 2 ), кривизна которой в точке 0 равна κ (0).
- Нормальная плоскость является плоскостью , содержащей N и B . Проекция кривой на эту плоскость имеет вид: которая является каспидальной кубикой порядка o ( s 3 ).
- Выпрямления плоскость является плоскостью , содержащей T и B . Проекция кривой на эту плоскость: который вычерчивает график кубического многочлена до порядка o ( s 3 ).
Ленты и тубы
Аппарат Френе-Серре позволяет определять некоторые оптимальные ленты и трубки с центром вокруг кривой. Они имеют разнообразные применения в науке материалов и теории упругости , [8] , а также к компьютерному графику . [9]
Френе лента [10] вдоль кривой C представляет собой поверхность , проходимой подметание отрезка [- N , N ] , порожденный единичной нормаль вдоль кривой. Эта поверхность иногда путать с касательной развёртывающейся , которая является огибающими Е из соприкасающихся плоскостей C . Это возможно потому , что оба Френа лента и Е обладают сходными свойствами вдоль C . А именно, касательные плоскости обоих листов E около особого геометрического места C, где эти листы пересекаются, приближаются к соприкасающимся плоскостям C ; касательные плоскости ленты Френе вдоль C равны этим соприкасающимся плоскостям. Лента Frenet вообще не разворачивается.
Конгруэнтность кривых
В классической евклидовой геометрии каждый заинтересован в изучении свойств фигур на плоскости, которые инвариантны относительно конгруэнтности, так что если две фигуры конгруэнтны, то они должны иметь одинаковые свойства. Аппарат Френе-Серре представляет кривизну и кручение как числовые инварианты пространственной кривой.
Грубо говоря, две кривые C и C ′ в пространстве конгруэнтны, если одну можно жестко переместить в другую. Жесткое движение состоит из комбинации поступательного и вращательного движения. Перевод перемещает одну точку C в точку C '. Затем поворот регулирует ориентацию кривой C, чтобы она совпадала с ориентацией кривой C '. Такое сочетание сдвига и вращения называется евклидовым движением . В терминах параметризации r ( t ), определяющей первую кривую C , общее евклидово движение кривой C состоит из следующих операций:
- ( Перевод ) r ( t ) → r ( t ) + v , где v - постоянный вектор.
- ( Вращение ) r ( t ) + v → M ( r ( t ) + v ), где M - матрица поворота.
Система Френе-Серре особенно хороша в отношении евклидовых движений. Во-первых, поскольку все T , N и B могут быть заданы как последовательные производные параметризации кривой, каждая из них нечувствительна к добавлению постоянного вектора к r ( t ). Интуитивно понятно, что кадр TNB, прикрепленный к r ( t ), такой же, как кадр TNB, прикрепленный к новой кривой r ( t ) + v .
Остается рассмотреть только повороты. Интуитивно понятно, что если мы применим поворот M к кривой, то рамка TNB также повернется. Точнее, матрица Q , строки которой являются векторами TNB системы Френе-Серре, изменяется на матрицу поворота
А тем более матрица dQ/dsQ T не зависит от вращения:
поскольку MM T = I для матрицы поворота.
Следовательно, элементы κ и τ матрицы dQ/dsQ T являются инвариантами кривой относительно евклидовых движений: если евклидово движение применяется к кривой, то результирующая кривая имеет ту же кривизну и кручение.
Более того, используя систему отсчета Френе – Серре, можно доказать и обратное: любые две кривые, имеющие одинаковые функции кривизны и кручения, должны совпадать по евклидову движению. Грубо говоря, формулы Френе – Серре выражают производную Дарбу системы отсчета TNB . Если производные Дарбу двух систем отсчета равны, то одна из версий основной теоремы исчисления утверждает, что кривые конгруэнтны. В частности, кривизна и кручение представляют собой полный набор инвариантов кривой в трехмерном пространстве.
Другие выражения кадра
Приведенные выше формулы для T , N и B зависят от кривой, заданной в терминах параметра длины дуги. Это естественное предположение в евклидовой геометрии, потому что длина дуги является евклидовым инвариантом кривой. В терминологии физики параметризация длины дуги является естественным выбором калибровки . Однако на практике с этим может быть неудобно работать. Доступен ряд других эквивалентных выражений.
Предположим, что кривая задается r ( t ), где параметр t больше не обязательно должен быть длиной дуги. Тогда единичный касательный вектор T можно записать как
Вектор нормали N принимает вид
Бинормаль B тогда
Альтернативный способ получить те же выражения - взять первые три производные кривой r ′ ( t ), r ′ ′ ( t ), r ′ ′ ′ ( t ) и применить процесс Грама-Шмидта . Результирующий упорядоченный ортонормированный базис и есть кадр TNB . Эта процедура также обобщает создание фреймов Frenet в более высоких измерениях.
В терминах параметра t формулы Френе – Серре учитывают дополнительный множитель || r ′ ( t ) || из-за цепного правила :
Могут быть вычислены явные выражения для кривизны и кручения. Например,
Кручение может быть выражено с помощью тройного скалярного произведения следующим образом:
Особые случаи
Если кривизна всегда равна нулю, кривая будет прямой линией. Здесь векторы N , B и кручение не определены корректно.
Если кручение всегда равно нулю, кривая будет лежать на плоскости.
Кривая может иметь ненулевую кривизну и нулевое кручение. Например, окружность радиус R , заданный г ( т ) = ( R соза т , Р ет т , 0) в г = 0 плоскости имеет нулевое кручение и кривизна равна 1 / R . Обратное, однако, неверно. То есть регулярная кривая с ненулевым кручением должна иметь ненулевую кривизну. (Это просто противоположность того факта, что нулевая кривизна влечет нулевое кручение.)
Спираль имеет постоянную кривизну и постоянное кручение.
Плоские кривые
Для кривой, лежащей на плоскости x - y , ее касательный вектор T также содержится на этой плоскости. Его бинормальный вектор B естественным образом постулируется как совпадающий с нормалью к плоскости (вдоль оси z ). Наконец, кривые нормальная можно найти завершения правосторонней системы, N = B × T . [11] Эта форма хорошо определена, даже если кривизна равна нулю; например, нормаль к прямой на плоскости будет перпендикулярна касательной, причем все они будут копланарными.
Смотрите также
- Аффинная геометрия кривых
- Дифференциальная геометрия кривых
- Рамка Дарбу
- Кинематика
- Подвижная рама
Заметки
- ^ Кюнель 2002 , §1.9
- ^ Только первые n - 1 фактически должны быть линейно независимыми, так как последний оставшийся вектор кадра e n может быть выбран как единичный вектор, ортогональный промежутку других, так что результирующий кадр будет положительно ориентирован.
- ^ Это доказательство, вероятноизза Эли Картана . См. Griffiths (1974), где он дает то же доказательство, но с использованием формы Маурера-Картана . Наше явное описание формы Маурера-Картана с помощью матриц является стандартным. См., Например, Спивак, том II, с. 37. Обобщить это доказательство на n измерений несложно, но оно было опущено ради изложения. Опять же, см. Подробности в Griffiths (1974).
- ^ Креншоу (1993).
- ^ Айер и Вишвешвара (1993).
- Перейти ↑ Rucker, Rudy (1999). "Наблюдение за полетом мух: космические кривые Каппатау" . Государственный университет Сан-Хосе. Архивировано из оригинального 15 октября 2004 года.
- ^ Кюнель 2002 , стр. 19
- ^ Гориели и др. (2006).
- ^ Хэнсон.
- ^ Терминологию см. Штернберг (1964). Лекции по дифференциальной геометрии . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, Прентис-Холл. п. 252 -254..
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Нормальный вектор» . MathWorld . Вольфрам.
Рекомендации
- Креншоу, ХК; Эдельштайн-Кешет, Л. (1993), "Ориентация на винтовом движении II Изменение направления оси движения.", Бюллетень математической биологии , 55 (1): 213-230, DOI : 10.1016 / s0092-8240 (05 ) 80070-9
- Этген, Гаррет; Хилле, Эйнар; Салас, Сатурнино (1995), Исчисление Саласа и Хилле - одна и несколько переменных (7-е изд.), John Wiley & Sons, стр. 896
- Френе, Ф. (1847), Sur les Courbes à double Courbure (PDF) , Тезе, Тулуза. Резюме в Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 17 , 1852.
- Гориели, А .; Робертсон-Тесси, М .; Tabor, M .; Вандивер, Р. (2006), «Модели упругого роста», БИОМАТ-2006 (PDF) , Springer-Verlag, архивировано из оригинала (PDF) 29 декабря 2006 г..
- Гриффитс, Phillip (1974), «О методе Картана групп Ли и перемещения кадров применительно к единственности и существования вопросов в дифференциальной геометрии», Герцога математический журнал , 41 (4): 775-814, DOI : 10.1215 / S0012-7094- 74-04180-5 , S2CID 12966544.
- Гуггенхаймер, Генрих (1977), Дифференциальная геометрия , Дувр, ISBN 0-486-63433-7
- Hanson, AJ (2007), «Рамки Quaternion Frenet: создание оптимальных трубок и лент из кривых» (PDF) , Технический отчет Университета Индианы
- Айер, BR; Вишвешвара, CV (1993), "Описание гироскопической прецессии Френе-Серре", Phys. Rev. , D, 48 (12): 5706–5720, arXiv : gr-qc / 9310019 , Bibcode : 1993PhRvD..48.5706I , doi : 10.1103 / Physrevd.48.5706 , PMID 10016237
- Джордан, Камилла (1874 г.), "Sur la théorie des Courbes dans l'espace à n Dimensions", CR Acad. Sci. Париж , 79 : 795–797
- Кюнель, Вольфганг (2002), Дифференциальная геометрия , Студенческая математическая библиотека, 16 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2656-0, MR 1882174
- Серре, JA (1851), «Sur quelques formules Родственники à la théorie des Courbes à double Courbure» (PDF) , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 16.
- Спивак, Майкл (1999), Всеобъемлющее введение в дифференциальную геометрию (том второй) , Publish or Perish, Inc..
- Штернберг, Шломо (1964), Лекции по дифференциальной геометрии , Прентис-Холл
- Струик, Дирк Дж. (1961), Лекции по классической дифференциальной геометрии , чтение, масса: Аддисон-Уэсли.
Внешние ссылки
- Создавайте свои собственные анимированные иллюстрации движущихся рам Френе-Серре, функций кривизны и кручения ( Maple -Worksheet)
- KappaTau Paper Руди Ракера .
- Очень красивое визуальное представление трехгранника