Изгиб

Параболу , один из самых простых кривых, после того, как (прямых) линий

В математике , кривая (также называется кривой линии в старых текстах) является объект , похожий на линии , но это не должно быть прямой .

Интуитивно кривая может рассматриваться как след, оставленный движущейся точкой . Это определение появилось более 2000 лет назад в « Элементах » Евклида : «[Изогнутая] линия ^[а] - это […] первый вид величины, который имеет только одно измерение, а именно длину, без какой-либо ширины и глубины, и является не чем иным, как потоком или бегом точки, которая […] оставит от своего воображаемого движения некоторый след в длину, за исключением какой-либо ширины ». ^[1]

Это определение кривого было закреплено в современной математике , как: кривое представляет собой изображение из интервала на топологическое пространство с помощью непрерывной функции . В некоторых случаях функция, определяющая кривую, называется параметризацией , а кривая - параметрической кривой . В этой статье эти кривые иногда называют топологическими кривыми, чтобы отличать их от более ограниченных кривых, таких как дифференцируемые кривые . Это определение охватывает большинство кривых, изучаемых математикой; заметными исключениями являются кривые уровня (которые являются соединениямикривых и изолированных точек) и алгебраических кривых (см. ниже). Кривые уровня и алгебраические кривые иногда называют неявными кривыми , поскольку они обычно определяются неявными уравнениями .

Тем не менее, класс топологических кривых очень широк и содержит некоторые кривые, которые не выглядят так, как можно было бы ожидать от кривой, или даже не могли быть нарисованы. Это случай кривых заполнения пространства и фрактальных кривых . Для обеспечения большей регулярности функция, определяющая кривую, часто предполагается дифференцируемой , и тогда кривая называется дифференцируемой кривой .

Плоская кривая алгебраическим является множество нулей полинома в двух неизвестных . Более общо, алгебраические кривой является нулевым набором конечного множества полиномов, которая удовлетворяет еще одно условие того , чтобы быть алгебраическим многообразием по размерности один. Если коэффициенты многочленов принадлежат полю k , кривая называется определенной над k . В общем случае вещественной алгебраической кривой , где k - поле действительных чисел , алгебраическая кривая представляет собой конечное объединение топологических кривых. Когда сложныйучитываются нули, имеется сложная алгебраическая кривая , которая с топологической точки зрения является не кривой, а поверхностью и часто называется римановой поверхностью . Хотя алгебраические кривые, определенные над другими полями, не являются кривыми в обычном смысле, они широко изучались. В частности, в современной криптографии широко используются алгебраические кривые над конечным полем .

История [ править ]

Интерес к кривым возник задолго до того, как они стали предметом математических исследований. Это можно увидеть на многочисленных примерах их декоративного использования в искусстве и на предметах быта, относящихся к доисторическим временам. ^[2] Кривые или, по крайней мере, их графическое представление легко создать, например, с помощью палки на песке на пляже.

Исторически термин « линия» использовался вместо более современного термина « кривая» . Следовательно, термины прямая линия и правая линия использовались, чтобы отличить то, что сегодня называется линиями, от изогнутых линий. Например, в Книге I Элементов Евклида линия определяется как «длина без ширины» (определение 2), в то время как прямая линия определяется как «линия, равномерно лежащая с точками на самой себе» (определение 4). . Идея Евклида о прямой, возможно, поясняется утверждением «Концы линии суть точки» (Определение 3). ^[3] Более поздние комментаторы дополнительно классифицировали строки по разным схемам. Например: ^[4]

• Составные линии (линии, образующие угол)
• Несоставные строки
  • Определенный (линии, которые не могут продолжаться бесконечно, например круг)
  • Неопределенный (линии, которые простираются до бесконечности, например прямая линия и парабола)

Греческие геометры изучали множество других типов кривых. Одна из причин заключалась в их интересе к решению геометрических задач, которые нельзя было решить с помощью стандартного компаса и линейки . Эти кривые включают:

• Конические сечения, подробно изученные Аполлонием Пергским
• Циссоида диок , изучено Диок и используются в качестве метода удвоения куба . ^[5]
• Конхоида из Никомеда , изучена Никомедом в качестве метода как двойные куб , и делить на три равные части угла . ^[6]
• Резьб , изучен Архимед в качестве метода угла делить на три равные части и площадь круга . ^[7]
• В Шпирича секции , секции торов изученных Персея , как участки конусов были изучены Аполлония.

Фундаментальное достижение в теории кривых было введением аналитической геометрии на Рене Декарт в семнадцатом веке. Это позволило описать кривую с помощью уравнения, а не сложной геометрической конструкции. Это не только позволило определить и изучить новые кривые, но и позволило провести формальное различие между алгебраическими кривыми, которые можно определить с помощью полиномиальных уравнений , и трансцендентными кривыми, которые не могут. Раньше кривые описывались как «геометрические» или «механические» в зависимости от того, как они были или предположительно могли быть созданы. ^[2]

Конические сечения были применены в астрономии по Kepler . Ньютон также работал над ранним примером вариационного исчисления . Решения вариационных задач, таких как вопросы о брахистохронах и таутохронах , по-новому вводят свойства кривых (в данном случае - циклоиды ). Контактная сеть получила свое название в качестве решения проблемы висящей цепи, то вопрос , который стал регулярно доступен с помощью дифференциального исчисления .

В восемнадцатом веке началась теория плоских алгебраических кривых в целом. Ньютон изучал кубические кривые в общем описании реальных точек в «овалы». Формулировка теоремы Безу показала ряд аспектов, которые не были напрямую доступны геометрии того времени, а именно особые точки и сложные решения.

С девятнадцатого века теория кривых рассматривается как частный случай размерности один теории многообразий и алгебраических многообразий . Тем не менее, многие вопросы остаются специфичными для кривых, например, кривые, заполняющие пространство , теорема Жордана и шестнадцатая проблема Гильберта .

Topological curve[edit]

A topological curve can be specified by a continuous function ${\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X}$ from an interval I of the real numbers into a topological space X. Properly speaking, the curve is the image of ${\displaystyle \gamma .}$ However, in some contexts, ${\displaystyle \gamma }$ itself is called a curve, especially when the image does not look like what is generally called a curve and does not characterize sufficiently ${\displaystyle \gamma .}$

For example, the image of the Peano curve or, more generally, a space-filling curve completely fills a square, and therefore does not give any information on how ${\displaystyle \gamma }$ is defined.

A curve ${\displaystyle \gamma }$ is closed^[8] or is a loop if ${\displaystyle I=[a,b]}$ and ${\displaystyle \gamma (a)=\gamma (b)}$. A closed curve is thus the image of a continuous mapping of a circle.

If the domain of a topological curve is a closed and bounded interval ${\displaystyle I=[a,b]}$, it is called a path, also known as topological arc (or just arc).

A curve is simple if it is the image of an interval or a circle by an injective continuous function. In other words, if a curve is defined by a continuous function ${\displaystyle \gamma }$ with an interval as a domain, the curve is simple if and only if two different points of the interval have different images, except, possibly, if the points are the end points of the interval. Intuitively, a simple curve is a curve that "does not cross itself and has no missing points".^[9]

A simple closed curve is also called a Jordan curve. The Jordan curve theorem states that the set complement in a plane of a Jordan curve consists of two connected components (that is the curve divides the plane in two non-intersecting regions that are both connected).

A plane curve is a curve for which ${\displaystyle X}$ is the Euclidean plane—these are the examples first encountered—or in some cases the projective plane. A space curve is a curve for which ${\displaystyle X}$ is at least three-dimensional; a skew curve is a space curve which lies in no plane. These definitions of plane, space and skew curves apply also to real algebraic curves, although the above definition of a curve does not apply (a real algebraic curve may be disconnected).

The definition of a curve includes figures that can hardly be called curves in common usage. For example, the image of a simple curve can cover a square in the plane (space-filling curve) and thus have a positive area.^[10] Fractal curves can have properties that are strange for the common sense. For example, a fractal curve can have a Hausdorff dimension bigger than one (see Koch snowflake) and even a positive area. An example is the dragon curve, which has many other unusual properties.

Differentiable curve[edit]

Roughly speaking a differentiable curve is a curve that is defined as being locally the image of an injective differentiable function ${\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X}$ from an interval I of the real numbers into a differentiable manifold X, often ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

More precisely, a differentiable curve is a subset C of X where every point of C has a neighborhood U such that ${\displaystyle C\cap U}$ is diffeomorphic to an interval of the real numbers.^{[clarification needed]} In other words, a differentiable curve is a differentiable manifold of dimension one.

Differentiable arc[edit]

In Euclidean geometry, an arc (symbol: ⌒) is a connected subset of a differentiable curve.

Arcs of lines are called segments or rays, depending whether they are bounded or not.

A common curved example is an arc of a circle, called a circular arc.

In a sphere (or a spheroid), an arc of a great circle (or a great ellipse) is called a great arc.

Length of a curve[edit]

If ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ is the ${\displaystyle n}$-dimensional Euclidean space, and if ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ is an injective and continuously differentiable function, then the length of ${\displaystyle \gamma }$ is defined as the quantity

${\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~\mathrm {d} {t}.}$

The length of a curve is independent of the parametrization ${\displaystyle \gamma }$.

In particular, the length ${\displaystyle s}$ of the graph of a continuously differentiable function ${\displaystyle y=f(x)}$ defined on a closed interval ${\displaystyle [a,b]}$ is

${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}~\mathrm {d} {x}.}$

More generally, if ${\displaystyle X}$ is a metric space with metric ${\displaystyle d}$, then we can define the length of a curve ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$ by

${\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left(\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{and}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\}\right),}$

where the supremum is taken over all ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ and all partitions ${\displaystyle t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}}$ of ${\displaystyle [a,b]}$.

A rectifiable curve is a curve with finite length. A curve ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$ is called natural (or unit-speed or parametrized by arc length) if for any ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in [a,b]}$ such that ${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$, we have

${\displaystyle \operatorname {Length} \!\left(\gamma |_{[t_{1},t_{2}]}\right)=t_{2}-t_{1}.}$

If ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$ is a Lipschitz-continuous function, then it is automatically rectifiable. Moreover, in this case, one can define the speed (or metric derivative) of ${\displaystyle \gamma }$ at ${\displaystyle t\in [a,b]}$ as

${\displaystyle {\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{[a,b]\ni s\to t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}}$

and then show that

${\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {t}.}$

Differential geometry[edit]

While the first examples of curves that are met are mostly plane curves (that is, in everyday words, curved lines in two-dimensional space), there are obvious examples such as the helix which exist naturally in three dimensions. The needs of geometry, and also for example classical mechanics are to have a notion of curve in space of any number of dimensions. In general relativity, a world line is a curve in spacetime.

If ${\displaystyle X}$ is a differentiable manifold, then we can define the notion of differentiable curve in ${\displaystyle X}$. This general idea is enough to cover many of the applications of curves in mathematics. From a local point of view one can take ${\displaystyle X}$ to be Euclidean space. On the other hand, it is useful to be more general, in that (for example) it is possible to define the tangent vectors to ${\displaystyle X}$ by means of this notion of curve.

If ${\displaystyle X}$ is a smooth manifold, a smooth curve in ${\displaystyle X}$ is a smooth map

${\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X}$.

This is a basic notion. There are less and more restricted ideas, too. If ${\displaystyle X}$ is a ${\displaystyle C^{k}}$ manifold (i.e., a manifold whose charts are ${\displaystyle k}$ times continuously differentiable), then a ${\displaystyle C^{k}}$ curve in ${\displaystyle X}$ is such a curve which is only assumed to be ${\displaystyle C^{k}}$ (i.e. ${\displaystyle k}$ times continuously differentiable). If ${\displaystyle X}$ is an analytic manifold (i.e. infinitely differentiable and charts are expressible as power series), and ${\displaystyle \gamma }$ is an analytic map, then ${\displaystyle \gamma }$ is said to be an analytic curve.

A differentiable curve is said to be regular if its derivative never vanishes. (In words, a regular curve never slows to a stop or backtracks on itself.) Two ${\displaystyle C^{k}}$ differentiable curves

${\displaystyle \gamma _{1}\colon I\rightarrow X}$ and

${\displaystyle \gamma _{2}\colon J\rightarrow X}$

are said to be equivalent if there is a bijective ${\displaystyle C^{k}}$ map

${\displaystyle p\colon J\rightarrow I}$

such that the inverse map

${\displaystyle p^{-1}\colon I\rightarrow J}$

is also ${\displaystyle C^{k}}$, and

${\displaystyle \gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))}$

for all ${\displaystyle t}$. The map ${\displaystyle \gamma _{2}}$ is called a reparametrization of ${\displaystyle \gamma _{1}}$; and this makes an equivalence relation on the set of all ${\displaystyle C^{k}}$ differentiable curves in ${\displaystyle X}$. A ${\displaystyle C^{k}}$ arc is an equivalence class of ${\displaystyle C^{k}}$ curves under the relation of reparametrization.

Algebraic curve[edit]

Algebraic curves are the curves considered in algebraic geometry. A plane algebraic curve is the set of the points of coordinates x, y such that f(x, y) = 0, where f is a polynomial in two variables defined over some field F. One says that the curve is defined over F. Algebraic geometry normally considers not only points with coordinates in F but all the points with coordinates in an algebraically closed field K.

If C is a curve defined by a polynomial f with coefficients in F, the curve is said to be defined over F.

In the case of a curve defined over the real numbers, one normally considers points with complex coordinates. In this case, a point with real coordinates is a real point, and the set of all real points is the real part of the curve. It is therefore only the real part of an algebraic curve that can be a topological curve (this is not always the case, as the real part of an algebraic curve may be disconnected and contain isolated points). The whole curve, that is the set of its complex point is, from the topological point of view a surface. In particular, the nonsingular complex projective algebraic curves are called Riemann surfaces.

The points of a curve C with coordinates in a field G are said to be rational over G and can be denoted C(G). When G is the field of the rational numbers, one simply talks of rational points. For example, Fermat's Last Theorem may be restated as: For n > 2, every rational point of the Fermat curve of degree n has a zero coordinate.

Algebraic curves can also be space curves, or curves in a space of higher dimension, say n. They are defined as algebraic varieties of dimension one. They may be obtained as the common solutions of at least n–1 polynomial equations in n variables. If n–1 polynomials are sufficient to define a curve in a space of dimension n, the curve is said to be a complete intersection. By eliminating variables (by any tool of elimination theory), an algebraic curve may be projected onto a plane algebraic curve, which however may introduce new singularities such as cusps or double points.

A plane curve may also be completed to a curve in the projective plane: if a curve is defined by a polynomial f of total degree d, then w^df(u/w, v/w) simplifies to a homogeneous polynomial g(u, v, w) of degree d. The values of u, v, w such that g(u, v, w) = 0 are the homogeneous coordinates of the points of the completion of the curve in the projective plane and the points of the initial curve are those such that w is not zero. An example is the Fermat curve uⁿ + vⁿ = wⁿ, which has an affine form xⁿ + yⁿ = 1. A similar process of homogenization may be defined for curves in higher dimensional spaces.

Except for lines, the simplest examples of algebraic curves are the conics, which are nonsingular curves of degree two and genus zero. Elliptic curves, which are nonsingular curves of genus one, are studied in number theory, and have important applications to cryptography.

See also[edit]

Notes[edit]

References[edit]

• A.S. Parkhomenko (2001) [1994], "Line (curve)", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• B.I. Golubov (2001) [1994], "Rectifiable curve", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Euclid, commentary and trans. by T. L. Heath Elements Vol. 1 (1908 Cambridge) Google Books
• E. H. Lockwood A Book of Curves (1961 Cambridge)

External links[edit]

Wikimedia Commons has media related to Curves.

• Famous Curves Index, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland
• Mathematical curves A collection of 874 two-dimensional mathematical curves
• Gallery of Space Curves Made from Circles, includes animations by Peter Moses
• Gallery of Bishop Curves and Other Spherical Curves, includes animations by Peter Moses
• The Encyclopedia of Mathematics article on lines.
• The Manifold Atlas page on 1-manifolds.