Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , вещественная алгебраическая геометрия является суб-ветвь алгебраической геометрии изучения реального алгебраических множеств , то есть в реальном числе решений алгебраических уравнений с реальным числом коэффициентами и отображение между ними (в частности вещественных полиномиальных отображений ).

Полуалгебраическая геометрия - это изучение полуалгебраических множеств , т. Е. Вещественных решений алгебраических неравенств с вещественными коэффициентами и отображений между ними. Наиболее естественными отображениями между полуалгебраическими множествами являются полуалгебраические отображения , т. Е. Отображения , графики которых являются полуалгебраическими множествами.

Терминология [ править ]

В настоящее время слова «полуалгебраическая геометрия» и «реальная алгебраическая геометрия» используются как синонимы, поскольку реальные алгебраические множества нельзя серьезно изучать без использования полуалгебраических множеств. Например, проекция вещественного алгебраического множества на координатную ось не обязательно должна быть реальным алгебраическим множеством, но это всегда полуалгебраическое множество: это теорема Тарского – Зайденберга . [1] [2] Связанные области - это o-минимальная теория и вещественная аналитическая геометрия .

Примеры: Вещественные плоские кривые являются примерами вещественных алгебраических множеств, а многогранники - примерами полуалгебраических множеств. Действительные алгебраические функции и функции Нэша являются примерами полуалгебраических отображений. Кусочно-полиномиальные отображения (см. Гипотезу Пирса – Биркгофа ) также являются полуалгебраическими отображениями.

Вычислительная реальная алгебраическая геометрия связана с алгоритмическими аспектами реальной алгебраической (и полуалгебраической) геометрии. Основной алгоритм - цилиндрическая алгебраическая декомпозиция . Он используется для разрезания полуалгебраических множеств на красивые части и вычисления их проекций.

Реальная алгебра - это часть алгебры, относящаяся к реальной алгебраической (и полуалгебраической) геометрии. В основном это связано с изучением упорядоченных полей и упорядоченных колец (в частности, вещественных замкнутых полей ) и их приложений к изучению положительных многочленов и сумм квадратов многочленов . (См . 17-ю проблему Гильберта и Positivestellensatz Кривина .) Отношение реальной алгебры к реальной алгебраической геометрии аналогично отношению коммутативной алгебры к комплексной алгебраической геометрии . Связанные области - теория проблем моментов ,оптимизация выпуклая , теория квадратичных форм , теории оценки и теории моделей .

Хронология реальной алгебры и реальной алгебраической геометрии [ править ]

  • 1826 г. Алгоритм Фурье для систем линейных неравенств. [3] Вновь открыт Ллойдом Дайнсом в 1919 году. [4] и Теодором Моцкиным в 1936 году [5]
  • 1835 Теорема Штурма о подсчете действительных корней [6]
  • 1856 Теорема Эрмита о действительном подсчете корней. [7]
  • 1876 Теорема Гарнака о кривой . [8] (Эта оценка количества компонентов была позже распространена на все числа Бетти всех вещественных алгебраических множеств [9] [10] [11] и все полуалгебраические множества. [12] )
  • 1888 Теорема Гильберта о тройных квартиках. [13]
  • 1900 Проблемы Гильберта (особенно 16-я и 17-я проблемы)
  • Лемма Фаркаша 1902 г. [14] (Может быть переформулирована как linear positivstellensatz.)
  • 1914 Аннибале Комессатти показал, что не всякая вещественная алгебраическая поверхность бирациональна [15]
  • 1916 Гипотеза Фейера о неотрицательных тригонометрических полиномах. [16] (Решено Фриджес Риссом . [17] )
  • 1927 Решение Эмиля Артина 17-й проблемы Гильберта [18]
  • 1927 Теорема Крулля – Бэра [19] [20] (связь между порядками и оценками)
  • 1928 Теорема Полиа о положительных многочленах на симплексе [21]
  • 1929 Б.Л. ван дер Варден набрасывает доказательство того, что вещественные алгебраические и полуалгебраические множества триангулируемо [22], но необходимые инструменты не были разработаны, чтобы сделать аргументацию строгой.
  • 1931 Тарский «s устранение реальной квантор . [23] Улучшено и популяризировано Абрахамом Зайденбергом в 1954 году. [24] (Оба используют теорему Штурма ).
  • 1936 Герберт Зайферт доказал, что каждое замкнутое гладкое подмногообразие в с тривиальным нормальным расслоением может быть изотопно компоненте неособого вещественного алгебраического подмножества, которое является полным пересечением [25] (из заключения этой теоремы слово «компонент» не может быть удалить [26] ).
  • 1940 Теорема Маршалла Стоуна о представлении частично упорядоченных колец. [27] Улучшено Ричардом Кадисоном в 1951 году [28] и Дональдом Дюбуа в 1967 году [29] (теорема Кадисона – Дюбуа о представлении). Дальнейшие улучшения были выполнены Михаем Путинаром в 1993 г. [30] и Якоби в 2001 г. [31] (теорема Путинара – Якоби).
  • 1952 Джон Нэш доказал, что всякое замкнутое гладкое многообразие диффеоморфно неособой компоненте вещественного алгебраического множества. [32]
  • 1956 Сформулирована гипотеза Пирса – Биркгофа . [33] (Решено в размерах ≤ 2. [34] )
  • 1964 Nullstellensatz и Positivestellensatz Кривина . [35] Вновь открыт и популяризирован Стенглом в 1974 г. [36] (Кривин использует исключение вещественного квантора, а Стенгл использует теорему Ланга о гомоморфизме. [37] )
  • 1964 г. Триангулированные полуаналитические множества Лоясевича [38]
  • 1964 Хейсуке Хиронака доказал разрешение теоремы об особенностях [39].
  • 1964 Хасслер Уитни доказал, что каждое аналитическое многообразие допускает стратификацию, удовлетворяющую условиям Уитни . [40]
  • 1967 Теодор Моцкин находит положительный многочлен, который не является суммой квадратов многочленов . [41]
  • 1973 Альберто Тоньоли доказал, что всякое замкнутое гладкое многообразие диффеоморфно неособому вещественному алгебраическому множеству. [42]
  • 1975 Джордж Коллинз открывает алгоритм цилиндрической алгебраической декомпозиции , который улучшает исключение реального квантора Тарского и позволяет реализовать его на компьютере. [43]
  • 1973 Жан-Луи Вердье доказал, что каждое субаналитическое множество допускает стратификацию с условием (w). [44]
  • 1979 Мишель Кост и Мари-Франсуаза Рой открывают реальный спектр коммутативного кольца. [45]
  • 1980 Олег Виро представил технику «лоскутной обработки» и применил ее для классификации вещественных алгебраических кривых низкой степени. [46] Позже Илья Итенберг и Виро использовали его для получения контрпримеры к гипотезе Рэгсдэйла , [47] [48] и Григорий Михалкин применил его к тропической геометрии для подсчета кривого. [49]
  • 1980 Селман Акбулут и Генри К. Кинг дали топологическую характеристику вещественных алгебраических множеств с изолированными особенностями и топологически охарактеризовали неособые вещественные алгебраические множества (не обязательно компактные) [50]
  • 1980 Акбулут и Кинг доказали, что каждый узел в является звеном вещественного алгебраического множества с изолированной особенностью в [51].
  • 1981 Акбулут и Кинг доказали, что любое компактное PL-многообразие PL гомеоморфно вещественному алгебраическому множеству. [52] [53] [54]
  • 1983 Акбулут и Кинг представили «Башни топологических разрешений» как топологические модели реальных алгебраических множеств, из этого они получили новые топологические инварианты вещественных алгебраических множеств и топологически охарактеризовали все трехмерные алгебраические множества. [55] Эти инварианты позже были обобщены Мишелем Косте и Кшиштофом Курдыкой [56], а также Клинтом МакКрори и Адамом Парусински. [57]
  • Теорема 1984 Людвиг Brocker на минимальной генерации основных открытых полуалгебраических множеств [58] (улучшен и продлен до основных закрытых полуалгебраических наборов по Scheiderer. [59] )
  • 1984 Бенедетти и Дедо доказали, что не всякое замкнутое гладкое многообразие диффеоморфно вполне алгебраическому неособому вещественному алгебраическому множеству (полностью алгебраическое означает, что все его Z / 2Z-гомологические циклы представлены вещественными алгебраическими подмножествами). [60]
  • 1991 Акбулут и Кинг доказали, что каждое замкнутое гладкое многообразие гомеоморфно вполне алгебраическому вещественному алгебраическому множеству. [61]
  • 1991 Решение Шмюдгеном многомерной проблемы моментов для компактных полуалгебраических множеств и связанных с ним строгих позитивных представлений. [62] Алгебраическое доказательство, найденное Вёрманном. [63] Подразумевает версию Резника теоремы Артина с одинаковыми знаменателями. [64]
  • 1992 Акбулут и Кинг доказали объемлющие версии теоремы Нэша-Тонноли: каждое замкнутое гладкое подмногообразие R n изотопно неособым точкам (компоненте) вещественного алгебраического подмножества R n , и они распространили этот результат на погруженные подмногообразия в R n . [65] [66]
  • 1992 Бенедетти и Марин доказали, что каждое компактное замкнутое гладкое трехмерное многообразие M может быть получено последовательностью взлетов и падений вдоль гладких центров, и что M гомеоморфно возможно сингулярному аффинному вещественному алгебраическому рациональному трехмерному многообразию [67]
  • 1997 Бирстон и Мильман доказали каноническое разрешение теоремы об особенностях [68]
  • 1997 Михалкин доказал, что любое замкнутое гладкое n-многообразие может быть получено последовательностью топологических взлетов и падений [69]
  • 1998 Янош Коллар показал, что не всякое замкнутое трехмерное многообразие является проективным вещественным трехмерным многообразием, бирациональным для RP 3 [70]
  • 2000 Локально-глобальный принцип Шайдерера и связанное с ним нестрогое расширение positivstellensatz Шмюдгена в размерностях ≤ 2. [71] [72] [73]
  • 2000 Янош Коллар доказал, что каждое замкнутое гладкое 3-многообразие является вещественной частью компактного комплексного многообразия, которое может быть получено последовательностью вещественных раздутий и раздутий. [74]
  • 2003 Велшингер вводит инвариант для подсчета вещественных рациональных кривых [75]
  • 2005 Акбулут и Кинг показали, что не каждое неособое вещественное алгебраическое подмножество RP n гладко изотопно вещественной части неособого комплексного алгебраического подмножества CP n [76] [77]

Ссылки [ править ]

  • С. Акбулут и Х. К. Кинг, Топология вещественных алгебраических множеств, Паб ИИГС, 25. Springer-Verlag, Нью-Йорк (1992) ISBN  0-387-97744-9
  • Бочнак, Яцек; Косте, Мишель; Рой, Мари-Франсуаза. Реальная алгебраическая геометрия. Перевод с французского оригинала 1987 г. Отредактировано авторами. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 36. Springer-Verlag, Berlin, 1998. x + 430 pp. ISBN 3-540-64663-9 
  • Басу, Саугата; Поллак, Ричард; Рой, Мари-Франсуаза Алгоритмы в реальной алгебраической геометрии. Второе издание. Алгоритмы и вычисления в математике, 10. Springer-Verlag, Berlin, 2006. x + 662 стр. ISBN 978-3-540-33098-1 ; 3-540-33098-4 
  • Маршалл, Мюррей Положительные многочлены и суммы квадратов. Математические обзоры и монографии, 146. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2008. xii + 187 стр. ISBN 978-0-8218-4402-1 ; 0-8218-4402-4 

Заметки [ править ]

  1. ^ ван ден Дрис, Л. (1998). Ручная топология и о-минимальные структуры . Серия лекций Лондонского математического общества. 248 . Издательство Кембриджского университета . п. 31. Zbl 0953.03045 . 
  2. ^ Хованский, АГ (1991). Немногочисленные . Переводы математических монографий. 88 . Перевод с русского Смилки Здравковской. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-4547-0. Zbl  0728.12002 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
  3. ^ Джозеф BJ Фурье , Решение уникального вопроса по вычислению неизбежных. Бык. научный Soc. Philomn. Париж 99–100. OEuvres 2, 315–319.
  4. ^ Дайнс, Ллойд Л. (1919). «Системы линейных неравенств». Анналы математики . (2). 20 (3): 191–199. CS1 maint: discouraged parameter (link)
  5. ^ Теодор Моцкин , Beiträge zur Theorie der linearen Ungleichungen. IV + 76 S. Diss., Базель (1936).
  6. ↑ Жак Шарль Франсуа Штурм , Mémoires divers présentés par des savants étrangers 6, стр. 273–318 (1835).
  7. ^ Шарль Эрмит , Sur le Nombre des Racines d'une Équation Algébrique Comprise Entre des Limites Données, Journal für die reine und angewandte Mathematik , vol. 52. С. 39–51 (1856).
  8. ^ CGA Harnack Über Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven, Mathematische Annalen 10 (1876), 189–199
  9. ^ И. Г. Петровский, О. А. Олейник, О топологии вещественных алгебраических поверхностей, Известия Акад. АН СССР. Сер.мат. 13, (1949). 389–402
  10. ^ Джон Милнор , О числах Бетти действительных многообразий, Труды Американского математического общества 15 (1964), 275–280.
  11. ^ René Thom , Sur l'homologie де vari'et'es algebriques r'eelles в: SS Кэрнс (ред.), Дифференциальные и комбинаторной топологии, С. 255-265,. Princeton University Press , Принстон, НьюДжерси, 1965.
  12. ^ Бас, Saugata (1999). «Об ограничении чисел Бетти и вычислении эйлеровой характеристики полуалгебраических множеств». Дискретная и вычислительная геометрия . 22 (1): 1–18.
  13. ^ Гильберт, Дэвид (1888). «Uber die Darstellung Definiter Formen als Summe von Formenquadraten». Mathematische Annalen . 32 : 342–350. CS1 maint: discouraged parameter (link)
  14. ↑ Фаркас, Юлий . "Uber die Theorie der Einfachen Ungleichungen" . Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 124 : 1-27. CS1 maint: discouraged parameter (link)
  15. ^ Comessatti, Аннибале (1914). "Sulla connessione delle superfizie razionali reali". Annali di Math . 23 (3): 215–283.
  16. ^ Lipót Фейеровские , Uber trigonometrische полином, J. Reine Angew. Математика. 146 (1916), 53–82.
  17. ^ Frigyes Рисс и Сёкефальвьте-Надь , Функциональный анализ, Фредерик Ungar публ. Co., Нью-Йорк, 1955 год.
  18. ^ Артин, Эмиль (1927). «Uber die Zerlegung определяет Funktionen in Quadrate». Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург . 5 : 85–99. CS1 maint: discouraged parameter (link)
  19. ^ Крулл, Вольфганг (1932). "Allgemeine Bewertungstheorie". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 167 : 160–196. CS1 maint: discouraged parameter (link)
  20. ↑ Baer, ​​Reinhold (1927), «Über nicht-archimedisch geordnete Körper», Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften. Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse , 8 : 3–13. CS1 maint: discouraged parameter (link)
  21. ^ Пойа , Über положительный Darstellung фон Polynomen Vierteljschr, Naturforsch. Ges. Zürich 73 (1928) 141–145, в: RP Boas (Ed.), Collected Papers Vol. 2, MIT Press, Кембридж, Массачусетс, 1974, стр. 309–313.
  22. ^ Б. Л. ван дер Варден , Topologische Begründung де Kalküls дер abzählenden Geometrie. Математика. Аня. 102, 337–362 (1929).
  23. ^ Альфред Тарски , Метод решения для элементарной алгебры и геометрии, Rand. Corp .. 1948; UC Press, Беркли, 1951, Объявлено в: Ann. Soc. Pol. Математика. 9 (1930, опубл. 1931) 206–7; и в фонде. Математика. 17 (1931) 210–239.
  24. ↑ Абрахам Зайденберг , Новый метод принятия решений для элементарной алгебры, Annals of Mathematics 60 (1954), 365–374.
  25. ^ Герберт Зайферт , Алгебраическое приближение фон Маннигфальтигкайтен, Mathematische Zeitschrift 41 (1936), 1–17
  26. ^ Селман Акбулут и Генри К. Кинг, Подмногообразия и гомологии невырожденных вещественных алгебраических многообразий, Американский журнал математики , вып. 107, нет. 1 (февраль 1985 г.) стр.72
  27. ^ Стоун, Маршалл (1940). «Общая теория спектров. I.». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 26 : 280–283. CS1 maint: discouraged parameter (link)
  28. ^ Кадисон, Ричард В. (1951), "Теория представлений для коммутативной топологической алгебры", Мемуары Американского математического общества , 7 : 39 стр., MR 0044040  CS1 maint: discouraged parameter (link)
  29. ^ Дюбуа, Дональд В. (1967). «Заметка о теории препримеров Дэвида Харрисона» . Тихоокеанский математический журнал . 21 : 15–19. Руководство по ремонту 0209200 . 
  30. ^ Михай Путинар, Положительные многочлены на компактных полуалгебраических множествах. Математический журнал Индианского университета 42 (1993), вып. 3, 969–984.
  31. ^ Т. Якоби, Теорема представления для некоторых частично упорядоченных коммутативных колец. Mathematische Zeitschrift 237 (2001), нет. 2, 259–273.
  32. ^ Нэш, Джон (1952). «Вещественные алгебраические многообразия». Анналы математики . 56 : 405–421. CS1 maint: discouraged parameter (link)
  33. ^ Биркгоф, Гарретт ; Пирс, Ричард Скотт (1956). «Кольца с решетчатым заказом». Anais da Academia Brasileira de Ciências . 28 : 41–69.
  34. ^ Маэ, Луи (1984). «О гипотезе Пирса – Биркгофа» . Математический журнал Роки-Маунтин . 14 (4): 983–985. DOI : 10,1216 / RMJ-1984-14-4-983 . Руководство по ремонту 0773148 . 
  35. ^ J.-L. Krivine , Anneaux preordonnés, J. Analyze Math. 12 (1964), 307–326.
  36. ^ Г. Стенгл, Нулевой и позитивный в полуалгебраической геометрии. Математика. Аня. 207 (1974), 87–97.
  37. ^ С. Ланг, Алгебра. Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Рединг, Массачусетс, 1965 xvii + 508 с.
  38. ^ С. Лоясевич, Триангуляция полуаналитических множеств, Ann. Scu. Норма. ди Пиза, 18 (1964), 449–474.
  39. ^ Хейсуке Хиронака , Разрешение особенностей алгебраического многообразия над полем характеристики нуль. I, Annals of Mathematics (2) 79 (1): (1964) 109–203, и часть II, стр. 205–326.
  40. ^ Хасслер Уитни , Локальные свойства аналитических многообразий, Дифференциальная и комбинаторная топология (ред. С. Кэрнс), Princeton Univ. Press, Princeton NJ (1965), 205–244.
  41. ^ Теодор С. Моцкин , Арифметико-геометрическое неравенство. Неравенства 1967 г. (Proc. Sympos. База ВВС Райт – Паттерсон, Огайо, 1965 г.), стр. 205–224 MR 0223521 .
  42. ^ Альберто Tognoli , Су Una congettura ди Нэш, Annali делла Скуол Normale Superiore ди Пиза 27, 167-185 (1973).
  43. ^ Джордж Э. Коллинз , "Устранение квантора для вещественных замкнутых полей цилиндрическим алгебраическим разложением", Lect. Notes Comput. Sci. 33, 134–183, 1975 MR 0403962 .
  44. ↑ Жан-Луи Вердье , Стратификации Уитни и теории Бертини-Сарда, Inventiones Mathematicae 36, 295–312 (1976).
  45. ^ Мари-Франсуаза Кост-Рой , Мишель Кост, Топологии для реальной алгебраической геометрии. Теоретические методы топоса в геометрии, стр. 37–100, Разные опубл. Сер., 30, Орхусский университет, Орхус, 1979.
  46. ↑ Олег Я. Виро , Склеивание плоских вещественных алгебраических кривых и построение кривых степеней 6 и 7. В топологии (Ленинград, 1982), том 1060 конспектов лекций по математике , страницы 187–200. Шпрингер, Берлин, 1984 г.
  47. ^ Виро, Олег Я. (1980). «Кривые степени 7, кривые степени 8 и гипотеза Рэгсдейл» [Кривые степени 7, кривые степени 8 и гипотеза Рэгсдейла]. Доклады Академии Наук СССР . 254 (6): 1306–1309. CS1 maint: discouraged parameter (link)Переводчик советской математики - Доклады . 22 : 566–570. 1980. Zbl 0422.14032 .  Отсутствует или пусто |title=( справка )
  48. ^ Итенберг, Илья; Михалкин, Григорий; Шустин, Евгений (2007). Тропическая алгебраическая геометрия . Обервольфахские семинары. 35 . Базель: Биркхойзер. С. 34–35. ISBN 978-3-7643-8309-1. Zbl  1162,14300 .
  49. ↑ Михалкин, Григорий (2005). «Перечислительная тропическая алгебраическая геометрия в России ». Журнал Американского математического общества . 18 : 313–377.
  50. ^ Селман Акбулут и Генри К. Кинг, Топология вещественных алгебраических множеств с изолированными особенностями, Annals of Mathematics 113 (1981), 425–446.
  51. ^ Селман Акбулут и Генри К. Кинг, Все узлы являются алгебраическими, Commentarii Mathematici Helvetici 56, Fasc. 3 (1981), 339–351.
  52. ^ С. Акбулут и Х. К. Кинг, Вещественные алгебраические структуры на топологических пространствах, Publications Mathématiques de l'IHÉS 53 (1981), 79–162.
  53. ^ С. Акбулут и Л. Тейлор, Теорема о топологической разрешающей способности, Publications Mathématiques de l'IHÉS 53 (1981), 163–196.
  54. ^ С. Акбулут и Х. К. Кинг, Топология вещественных алгебраических множеств, L'Enseignement Mathématique 29 (1983), 221–261.
  55. ^ Селман Акбулут и Генри К. Кинг, Топология реальных алгебраических множеств, Паб ИИГС, 25. Springer-Verlag, Нью-Йорк (1992) ISBN 0-387-97744-9 
  56. ^ Кост, Мишель; Курдыка, Кшиштоф (1992). «О зацеплении страта в реальном алгебраическом множестве» . Топология . 31 (2): 323–336. DOI : 10.1016 / 0040-9383 (92) 90025-д . Руководство по ремонту 1167174 . 
  57. ^ МакКрори, Клинт; Парусинский, Адам (2007), "Алгебраически конструктивные функции: вещественная алгебра и топология", пространства Arc и аддитивные инварианты в реальной алгебраической и аналитической геометрии , Panoramas et Synthèses, 24 , Париж: Société mathématique de France , стр. 69–85, arXiv : математика / 0202086 , MR 2409689 
  58. ^ Bröcker, Людвиг (1984). "Minimale erzeugung von Positivbereichen". Geometriae Dedicata (на немецком языке). 16 (3): 335–350. DOI : 10.1007 / bf00147875 . Руководство по ремонту 0765338 . 
  59. ^ C. Шайдерер, Индекс устойчивости реальных разновидностей. Inventiones Mathematicae 97 (1989), нет. 3, 467–483.
  60. ^ Р. Бенедетти и М. Дедо, Контрпримеры представления классов гомологий вещественными алгебраическими подмногообразиями с точностью до гомеоморфизма, Compositio Mathematica , 53, (1984), 143–151.
  61. ^ С. Акбулут и Х. К. Кинг, Все компактные многообразия гомеоморфны вполне алгебраическим вещественным алгебраическим множествам, Комментарий. Математика. Helvetici 66 (1991) 139–149.
  62. ^ К. Шмюдген, Проблема K- моментов для компактных полуалгебраических множеств. Математика. Аня. 289 (1991), нет. 2, 203–206.
  63. ^ T. Wörmann Strikt Positive Polynome in der Semialgebraischen Geometrie, Univ. Дортмунд 1998.
  64. ^ Б. Резник, Равномерные знаменатели в семнадцатой проблеме Гильберта. Математика. Z.220 (1995), нет. 1, 75–97.
  65. ^ С. Акбулут и Х. Кинг Об приближении подмногообразий алгебраическими множествами и решении гипотезы Нэша, Inventiones Mathematicae 107 (1992), 87–98
  66. ^ С. Акбулут, Х.К. Кинг, Алгебраичность погружений, Топология , т. 31, нет. 4, (1992), 701–712.
  67. ^ Р. Бенедетти и А. Марин, Déchirures de varétés de Dimension trois ...., Comm. Математика. Helv. 67 (1992), 514–545.
  68. ^ Э. Бирстоун и П. Д. Мильман, Каноническая десингуляризация в нулевой характеристике путем разрушения максимальных слоев локального инварианта, Inventiones Mathematicae 128 (2) (1997) 207–302.
  69. ^ Г. Михалкин, Эквивалентность гладких замкнутых многообразий сразрывом, Топология , 36 (1997) 287–299
  70. ^ Янош Коллар , The Nash гипотеза для алгебраических многообразий, ERA АМС 4 (1998) 63-73
  71. ^ C. Шайдерер, Суммы квадратов регулярных функций на вещественных алгебраических многообразиях. Труды Американского математического общества 352 (2000), вып. 3, 1039–1069.
  72. ^ К. Шайдерер, Суммы квадратов на вещественных алгебраических кривых, Mathematische Zeitschrift 245 (2003), нет. 4, 725–760.
  73. ^ C. Шайдерер, Суммы квадратов на вещественных алгебраических поверхностях. Manuscripta Mathematica 119 (2006), вып. 4, 395–410.
  74. ^ Янош Коллар , Гипотеза Нэша для непроективных трехмерных многообразий, arXiv: math / 0009108v1
  75. ^ J.-Y. Велшингер, Инварианты вещественных рациональных симплектических 4-многообразий и нижние оценки в вещественной перечислительной геометрии, Inventiones Mathematicae 162 (2005), вып. 1, 195–234. Zbl 1082,14052 
  76. ^ С. Акбулут и Х. Кинг, Трансцендентные подмногообразия в RP n Comm. Математика. Helv., 80, (2005), 427–432
  77. ^ С. Акбулут, Реальные алгебраические структуры, Труды GGT, (2005) 49–58, arXiv: math / 0601105v3.

Внешние ссылки [ править ]

  • Роль задач Гильберта в реальной алгебраической геометрии (PostScript)
  • Сервер препринтов реальной алгебраической и аналитической геометрии