Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлен с O-minimal )
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математической логике , а точнее в теории моделей , бесконечная структура ( M , <, ...), которая полностью упорядочена по <, называется o-минимальной структурой тогда и только тогда, когда каждое определимое подмножество X  ⊂  M (с выбранными параметрами из М ) является конечным объединением из интервалов и точек.

О-минимальность можно рассматривать как слабую форму исключения квантора . Структура М о-минимально тогда и только тогда , когда каждая формула с одной свободными переменными и параметрами в М эквивалентна формуле бескванторной с участием только упорядочения, а также с параметрами M . Это аналог минимальных структур, которые являются в точности аналогичным свойством вплоть до равенства.

Теория T является о-минимальной теорией , если каждая модель из Т о-минимально. Известно, что полная теория T o-минимальной структуры является o-минимальной теорией. [1] Этот результат примечателен тем, что, напротив, полная теория минимальной структуры не обязательно должна быть строго минимальной теорией , то есть может существовать элементарно эквивалентная структура, которая не является минимальной.

Теоретико-множественное определение [ править ]

O-минимальные структуры могут быть определены без обращения к теории моделей. Здесь мы определяем структуру на непустом множестве M теоретико-множественным образом, как последовательность S  = ( S n ), n  = 0,1,2, ... такую, что

  1. S n - булева алгебра подмножеств M n
  2. если A  ∈  S n, то M  ×  A и A  × M лежат в S n +1
  3. множество {( x 1 , ..., x n ) ∈  M n  :  x 1  =  x n } принадлежит S n
  4. если A  ∈  S n +1 и π  :  M n +1  →  M n - отображение проекции на первые n координат, то π ( A ) ∈  S n .

Если M имеет плотный линейный порядок без концов на нем, скажем <, то структура S на M называется o-минимальной, если она удовлетворяет дополнительным аксиомам

  1. множество {( x , y ) ∈  M 2  :  x  <  y } принадлежит S 2
  2. множества в S 1 - это в точности конечные объединения интервалов и точек.

«O» означает «порядок», поскольку любая o-минимальная структура требует упорядочения в нижележащем наборе.

Теоретическое определение модели [ править ]

O-минимальные структуры возникли в теории моделей и поэтому имеют более простое, но эквивалентное определение с использованием языка теории моделей. [2] В частности, если L является языком, включающим бинарное отношение <, и ( M , <, ...) является L -структурой, где <интерпретируется как удовлетворяющий аксиомам плотного линейного порядка, [3] тогда ( M , <, ...) называется o-минимальной структурой, если для любого определимого множества X  ⊆  M существует конечное число открытых интервалов I 1 , ..., I r без концов в M  ∪ {± ∞} и конечное множество Х 0 такой, что

Примеры [ править ]

Примеры о-минимальных теорий:

  • Полная теория плотных линейных порядков на языке только с упорядочением.
  • RCF, то теория о реальных замкнутых полей . [4]
  • Полная теория вещественного поля с добавлением ограниченных аналитических функций (т. Е. Аналитических функций в окрестности [0,1] n , ограниченных до [0,1] n ; обратите внимание, что неограниченная синус-функция имеет бесконечно много корней и поэтому не может определима в о-минимальной структуре.)
  • Полная теория действительного поля с обозначением показательной функции по теореме Уилки . В более общем смысле, полная теория действительных чисел с добавлением функций Пфаффа .
  • Последние два примера можно объединить: для любого o-минимального расширения вещественного поля (такого как вещественное поле с ограниченными аналитическими функциями) можно определить его пфаффово замыкание, которое снова является o-минимальной структурой. [5] (Пфаффово замыкание структуры, в частности, замкнуто относительно цепочек Пфаффа, когда вместо полиномов используются произвольные определимые функции.)

В случае RCF определимые множества являются полуалгебраическими множествами . Таким образом, изучение o-минимальных структур и теорий обобщает реальную алгебраическую геометрию . Основное направление текущих исследований основано на обнаружении о-минимальных расширений реального упорядоченного поля. Несмотря на общность приложения, можно многое показать о геометрии множества, определяемого в o-минимальных структурах. Есть теорема о разложении клеток, [6] теоремы Уитни и Вердье о стратификации, а также хорошее понятие размерности и эйлеровой характеристики.

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

  1. ^ Knight, Пиллэй и Ч. Стейнхорн (1986), Пиллэй и Ч. Стейнхорн (1988).
  2. ↑ Маркер (2002), стр.81
  3. ^ Условие, что интерпретация <быть плотным, не является строго необходимым, но известно, что дискретные порядки приводят к существенно тривиальным o-минимальным структурам, см., Например, MR 0899083 и MR 0943306 .
  4. ^ Маркер (2002) стр.99
  5. ^ Патрик Спейсегер, Пфаффовы множества и о-минимальность, в: Конспекты лекций по о-минимальным структурам и реальной аналитической геометрии, К. Миллер, Ж.-П. Ролин и П. Спайссеггер (ред.), Fields Institute Communications, том. 62, 2012, с. 179–218. DOI : 10.1007 / 978-1-4614-4042-0_5
  6. ^ Маркер (2002) стр.103

Ссылки [ править ]

  • ван ден Дрис, Лу (1998). Ручная топология и о-минимальные структуры . Серия лекций Лондонского математического общества. 248 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-59838-5. Zbl  0953.03045 .
  • Маркер, Дэвид (2000). «Обзор„Tame топологии и о-минимальной структуры “ » (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 37 (3): 351–357. DOI : 10.1090 / S0273-0979-00-00866-1 .
  • Маркер, Дэвид (2002). Теория моделей: Введение . Тексты для выпускников по математике. 217 . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98760-6. Zbl  1003.03034 .
  • Пиллэй, Ананд; Стейнхорн, Чарльз (1986). «Определимые множества в упорядоченных структурах I» (PDF) . Труды Американского математического общества . 295 (2): 565–592. DOI : 10.2307 / 2000052 . JSTOR  2000052 . Zbl  0662.03023 .
  • Рыцарь, Джулия ; Пиллэй, Ананд; Стейнхорн, Чарльз (1986). «Определимые множества в упорядоченных структурах II» . Труды Американского математического общества . 295 (2): 593–605. DOI : 10.2307 / 2000053 . JSTOR  2000053 . Zbl  0662.03024 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
  • Пиллэй, Ананд; Стейнхорн, Чарльз (1988). «Определимые множества в упорядоченных структурах III» . Труды Американского математического общества . 309 (2): 469–476. DOI : 10.2307 / 2000920 . JSTOR  2000920 . Zbl  0707.03024 .
  • Уилки, AJ (1996). «Результаты полноты модели для разложений упорядоченного поля действительных чисел с помощью ограниченных функций Пфаффа и экспоненциальной функции» (PDF) . Журнал Американского математического общества . 9 (4): 1051–1095. DOI : 10.1090 / S0894-0347-96-00216-0 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
  • Denef, J .; ван ден Дрис, Л. (1989). « p -адические и вещественные субаналитические множества». Анналы математики . 128 (1): 79–138. DOI : 10.2307 / 1971463 . JSTOR  1971463 .

Внешние ссылки [ править ]

  • Сервер препринтов Model Theory
  • Сервер препринтов реальной алгебраической и аналитической геометрии