Функция Пфаффа

В математике , пфаффовы функции являются некоторым классом функций которого производная может быть записана в терминах исходной функции. Первоначально они были введены Аскольдом Хованским в 1970-х годах, но названы в честь немецкого математика Иоганна Пфаффа .

Основное определение [ править ]

Некоторые функции при дифференцировании дают результат, который можно записать в терминах исходной функции. Возможно , самый простой пример является экспоненциальной функцией , е ( х ) =  е ^х . Если мы дифференцируем эту функцию, мы снова получим e ^x , то есть

${\ displaystyle f ^ {\ prime} (x) = f (x).}$

Другой пример такой функции - обратная функция, g ( x ) = 1 / x . Если мы дифференцируем эту функцию, то увидим, что

${\ displaystyle g ^ {\ prime} (x) = - g (x) ^ {2}.}$

Другие функции могут не обладать вышеуказанным свойством, но их производные могут быть записаны в терминах функций, подобных приведенным выше. Например, если мы возьмем функцию h ( x ) =  e ^x  log ( x ), то мы увидим

${\ displaystyle h ^ {\ prime} (x) = e ^ {x} \ log x + x ^ {- 1} e ^ {x} = h (x) + f (x) g (x).}$

Подобные функции образуют звенья так называемой цепи Пфаффа . Такая цепочка представляет собой последовательность функций, скажем, f ₁ , f ₂ , f ₃ и т. Д., Обладающих тем свойством, что если мы дифференцируем любую из функций в этой цепочке, то результат может быть записан в терминах самой функции и всех функции, предшествующие ему в цепочке (в частности, как полином от этих функций и задействованных переменных). Итак, с функциями выше мы имеем, что f , g , h - цепь Пфаффа.

Тогда функция Пфаффа - это просто полином от функций, входящих в цепочку Пфаффа, и аргумент функции. Итак, с упомянутой цепочкой Пфаффа такие функции, как F ( x ) =  x ³ f ( x ) ²  - 2 g ( x ) h ( x ), являются пфаффовскими.

Строгое определение [ править ]

Пусть U - открытая область в R ⁿ . Пфаффова цепь порядка г  ≥ 0 и степень & alpha ;  ≥ 1 в U представляет собой последовательность вещественных аналитических функций F ₁ , ..., е _т в U , удовлетворяющие дифференциальные уравнения

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {i}} {\ partial x_ {j}}} = P_ {i, j} ({\ boldsymbol {x}}, f_ {1} ({\ boldsymbol {x}) }), \ ldots, f_ {i} ({\ boldsymbol {x}}))}$

для i  = 1,…, r, где P _{i ,  j}  ∈  R [ x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _i  ] - многочлены степени ≤  α . Функция f на U называется функцией Пфаффа порядка r степени ( α , β ), если

${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {x}}) = P ({\ boldsymbol {x}}, f_ {1} ({\ boldsymbol {x}}), \ ldots, f_ {r} ({\ boldsymbol { Икс}})),\,}$

где P  ∈  R [ x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _r  ] - многочлен степени не выше β  ≥ 1. Числа r , α и β вместе известны как формат функции Пфаффа и дать полезную меру ее сложности.

Примеры [ править ]

• Самыми тривиальными примерами функций Пфаффа являются многочлены от R [ X ]. Такая функция будет многочленом от цепочки Пфаффа порядка r  = 0, то есть цепочки без функций. Такая функция будет иметь α  = 0 и β, равное степени полинома.
• Возможно, простейшая нетривиальная функция Пфаффа - это f ( x ) =  e ^x . Это пфаффиан с порядком r  = 1 и α  =  β  = 1 из-за уравнения f  ′ =  f .
• Индуктивно можно определить f ₁ ( x ) = exp ( x ) и f _{m  +1} ( x ) = exp ( f _m ( x )) для 1 ≤  m  <  r . Тогда f _m ′ =  f ₁ f ₂  ···  f _m . Итак, это цепь Пфаффа порядка r и степени α  =  r .
• Все алгебраические функции пфаффовы на подходящих областях, как и гиперболические функции . В тригонометрических функциях на ограниченных интервалах являются Пфаффианом, но они должны быть сформированы косвенно. Например, функция cos ( x ) является полиномом в цепи Пфаффа tan ( x / 2), cos ² ( x / 2) на интервале (−π, π).
• Фактически все элементарные функции и лиувиллевы функции являются пфаффовскими. ^[1]

В теории моделей [ править ]

Рассмотрим структуру R  = ( R , +, -, ·, <, 0, 1), упорядоченное поле действительных чисел. В 1960-х Андрей Габриэлов доказал, что структура, полученная путем начала с R и добавления функционального символа для каждой аналитической функции, ограниченной единичным блоком [0, 1] ^m, является модельной . ^[2] То есть любое множество, определяемое в этой структуре R _an, было просто проекцией некоторого многомерного множества, определенного тождествами и неравенствами, включающими эти ограниченные аналитические функции.

В 1990-х годах Алекс Уилки показал, что можно получить тот же результат, если вместо добавления каждой аналитической функции просто добавить экспоненциальную функцию к R, чтобы получить упорядоченное вещественное поле с возведением в степень, R _exp , результат, известный как теорема Уилки . ^[3] Затем Уилки занялся вопросом, какие конечные наборы функций можно добавить к R, чтобы получить этот результат. Оказалось, что добавление любой цепи Пфаффа, ограниченной блоком [0, 1] ^m , даст тот же результат. В частности, можно добавить все функции Пфаффа к R, чтобы получить структуру R _Pfaffкак промежуточный результат между результатом Габриэлова и теоремой Уилки . Поскольку экспоненциальная функция сама по себе является цепочкой Пфаффа, результат возведения в степень можно рассматривать как частный случай этого последнего результата. ^[4]

Этот результат Уилки доказал, что структура R _Pfaff является o-минимальной структурой .

Нётеровские функции [ править ]

Вышеупомянутые уравнения, которые определяют цепь Пфаффа, как говорят, удовлетворяют треугольному условию, поскольку производная каждой последующей функции в цепочке является полиномом от одной дополнительной переменной. Таким образом, если они записываются по очереди, появляется треугольная форма:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}^{\prime }&=P_{1}(x,f_{1})\\f_{2}^{\prime }&=P_{2}(x,f_{1},f_{2})\\f_{3}^{\prime }&=P_{3}(x,f_{1},f_{2},f_{3}),\end{aligned}}}$

и так далее. Если это условие треугольности ослабить так, чтобы производная каждой функции в цепочке была полиномом от всех других функций в цепочке, тогда цепочка функций известна как нётерова цепочка , а функция, построенная как полином в этой цепочке называется нётеровой функцией . ^[5] Так, например, нетерова цепь третьего порядка состоит из трех функций f ₁ , f ₂ , f ₃ , удовлетворяющих уравнениям

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}^{\prime }&=P_{1}(x,f_{1},f_{2},f_{3})\\f_{2}^{\prime }&=P_{2}(x,f_{1},f_{2},f_{3})\\f_{3}^{\prime }&=P_{3}(x,f_{1},f_{2},f_{3}).\end{aligned}}}$

Название происходит от того факта, что кольцо, порожденное функциями в такой цепочке, является нётеровым . ^[6]

Любая цепь Пфаффа также является нётеровой; дополнительные переменные в каждом полиноме в этом случае просто избыточны. Но не всякая нётерская цепочка пфаффовская; например, если мы возьмем f ₁ ( x ) = sin ( x ) и f ₂ ( x ) = cos ( x ), то получим уравнения

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}^{\prime }(x)&=f_{2}(x)\\f_{2}^{\prime }(x)&=-f_{1}(x),\end{aligned}}}$

и они выполнены для всех действительных чисел х , так что F ₁ , F ₂ является нетеров цепи на всех R . Но не существует многочлена P ( x ,  y ) такого, что производная sin ( x ) может быть записана как P ( x , sin ( x )), и поэтому эта цепочка не пфаффова.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Хованский, АГ (1991). Немногочисленные . Переводы математических монографий. 88 . Перевод с русского Смилки Здравковской. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-4547-0. Zbl  0728.12002 .