В математике , теорема Уилки в это результат от Алекса Уилки о теории упорядоченных полей с показательной функцией , или что то же самое о геометрической природе экспоненциальных сортов.
Составы
В терминах теории моделей теорема Уилки имеет дело с языком L exp = (+, -, ·, <, 0, 1, e x ), языком упорядоченных колец с экспоненциальной функцией e x . Предположим, что φ ( x 1 , ..., x m ) - формула на этом языке. Тогда теорема Уилки утверждает, что существует целое число n ≥ m и многочлены f 1 , ..., f r ∈ Z [ x 1 , ..., x n , e x 1 , ..., e x n ] такие, что φ ( х 1 , ..., х м ) являются эквивалентными к экзистенциальной формуле
Таким образом, хотя в этой теории нет полного исключения кванторов , формулы могут быть представлены в особенно простой форме. Этот результат доказывает, что теория структуры R exp , то есть реального упорядоченного поля с экспоненциальной функцией , является модельно полной . [1]
В терминах аналитической геометрии теорема утверждает, что любое определимое множество на указанном выше языке - в частности, дополнение к экспоненциальному многообразию - на самом деле является проекцией экспоненциального многообразия. Экспоненциальное многообразие над полем K - это множество точек в K n, в которых одновременно обращается в нуль конечный набор экспоненциальных многочленов . Теорема утверждает Уилки, что если у нас есть какой - либо определяемый набор в качестве L ехра структуры K = ( K , +, -, ·, 0, 1, е х ), говорят , X ⊂ K м , то будет экспоненциальное разнообразие в некоторых выше размерность К п такая , что проекция этого многообразия вниз на K м будет именно Х .
Теорема Габриэлова
Результат можно рассматривать как разновидность теоремы Габриэлова. Эта ранняя теорема Андрея Габриэлова имела дело с субаналитическими множествами или языком L an упорядоченных колец с функциональным символом для каждой собственной аналитической функции на R m, ограниченной замкнутым единичным кубом [0, 1] m . Теорема Габриэлова утверждает, что любая формула на этом языке эквивалентна экзистенциальной, как указано выше. [2] Следовательно, теория вещественного упорядоченного поля с ограниченными аналитическими функциями является модельно полной.
Промежуточные результаты
Теорема Габриэлова применима к реальному полю со всеми присоединенными ограниченными аналитическими функциями, тогда как теорема Уилки устраняет необходимость ограничения функции, но позволяет только добавить экспоненциальную функцию. В качестве промежуточного результата Уилки спросил, может ли дополнение субаналитического набора быть определено с использованием тех же аналитических функций, которые описывали исходный набор. Оказывается, требуемые функции - это функции Пфаффа . [1] В частности, теория вещественного упорядоченного поля с ограниченными, полностью определенными функциями Пфаффа является модельно полной. [3] Подход Уилки к этому последнему результату несколько отличается от его доказательства теоремы Уилки, и результат, который позволил ему показать, что структура Пфаффа является модельной полной, иногда известен как теорема Уилки о дополнении. Смотрите также. [4]
Рекомендации
- ^ а б А.Дж. Уилки, Результаты полноты модели для разложений упорядоченного поля действительных чисел с помощью ограниченных пфаффовых функций и экспоненциальных функций , J. Amer. Математика. Soc. 9 (1996), стр. 1051–1094.
- ^ А. Габриэлов, Проекции полуаналитических множеств , Функциональный анализ . Прил. 2 (1968), стр.282–291.
- ^ AJ Wilkie, Теорема дополнения и некоторые новые o-минимальные структуры , Sel. Математика. 5 (1999), pp.397–421.
- ^ М. Карпински и А. Макинтайр, Обобщение теоремы Уилки о дополнении и приложение к пфаффовскому замыканию , Sel. математика, Новая сер. 5 (1999), стр 507-516