В математике , экспоненциальные полиномы являются функциями на полях , колец или абелевых групп , которые принимают форму многочленов в переменной и экспоненциальной функции .
Определение
В полях
Экспоненциальный многочлен обычно имеет как переменную x, так и некоторую экспоненциальную функцию E ( x ). В комплексных числах уже есть каноническая экспоненциальная функция, которая отображает x в e x . В этом случае термин экспоненциальный многочлен часто используется для обозначения многочленов вида P ( x , e x ), где P ∈ C [ x , y ] - многочлен от двух переменных. [1] [2]
Здесь нет ничего особенного в C ; экспоненциальные многочлены могут также относиться к такому многочлену на любом экспоненциальном поле или экспоненциальном кольце с его экспоненциальной функцией, занимающей место e x выше. [3] Точно так же нет причин иметь одну переменную, и экспоненциальный многочлен от n переменных будет иметь форму P ( x 1 , ..., x n , e x 1 , ..., e x n ) , где P - многочлен от 2 n переменных.
Для формальных экспоненциальных многочленов над полем K поступаем следующим образом. [4] Пусть Ш быть конечно порожденный Z - подмодуль из K и рассмотрит конечные суммы вида
где f i - многочлены от K [ X ], а exp ( w i X ) - формальные символы, индексированные w i в W, при условии, что exp ( u + v ) = exp ( u ) exp ( v ).
В абелевых группах
Более общая структура, в которой можно найти термин «экспоненциальный многочлен», - это использование экспоненциальных функций на абелевых группах. Аналогично тому , как экспоненциальная функция на показательных полей определены, дали топологическую абелеву группу G гомоморфизма из G в аддитивную группу комплексных чисел называется аддитивной функцией и гомоморфизм к мультипликативной группе ненулевых комплексных чисел называются экспоненциальным функция, или просто экспонента. Продукт аддитивных функций и экспонент называется экспоненциальный одночлен, а линейная комбинация из них является то экспоненциальный полином на G . [5] [6]
Характеристики
Теорема Ритта утверждает, что аналоги однозначной факторизации и факторной теоремы верны для кольца экспоненциальных многочленов. [4]
Приложения
Экспоненциальные многочлены на R и C часто появляются в трансцендентной теории чисел , где они появляются как вспомогательные функции в доказательствах, включающих экспоненциальную функцию. Они также служат связующим звеном между теорией моделей и аналитической геометрией . Если определить экспоненциальное многообразие как множество точек в R n, в которых обращается в нуль некоторый конечный набор экспоненциальных многочленов, то такие результаты, как теорема Хованского в дифференциальной геометрии и теорема Уилки в теории моделей, показывают, что эти многообразия ведут себя хорошо в том смысле, что набор таких многообразий стабилен при различных теоретико-множественных операциях до тех пор, пока разрешается включение изображения при проекциях многомерных экспоненциальных многообразий. Действительно, две вышеупомянутые теоремы следует , что множество всех экспоненциальных сортов образует о-минимальная структура над R .
Экспоненциальные многочлены появляются в характеристическом уравнении, связанном с линейными дифференциальными уравнениями с запаздыванием .
Заметки
- ↑ CJ Moreno, Нули экспоненциальных многочленов , Compositio Mathematica 26 (1973), стр.69–78.
- ^ М. Вальдшмидт, Диофантовы приближения на линейных алгебраических группах , Springer , 2000.
- ^ Мартин Бэйс, Джонатан Кирби, AJ Wilkie, Свойство Шануэля для экспоненциально трансцендентных сил , (2008), arXiv: 0810.4457v1
- ^ a b Эверест, Грэм; ван дер Поортен, Альф ; Шпарлинский, Игорь; Уорд, Томас (2003). Повторяющиеся последовательности . Математические обзоры и монографии. 104 . Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество . п. 140. ISBN 0-8218-3387-1. Zbl 1033.11006 .
- ^ Ласло Секелихиди, О расширении экспоненциальных многочленов , Mathematica Bohemica 125 (2000), стр. 365–370.
- ^ П.Г. Лэрд, О характеристиках экспоненциальных многочленов , Тихоокеанский математический журнал 80 (1979), стр. 503–507.