Дифференциальное уравнение задержки

Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения Навье – Стокса, используемые для моделирования воздушного потока вокруг препятствия
Объем Естественные науки Инженерное дело Астрономия Физика Химия Биология Геология Прикладная математика Механика сплошной среды Теория хаоса Динамические системы Социальные науки Экономика Динамика населения
Классификация
Типы Обычный Частичное Дифференциально-алгебраический Интегро-дифференциал Дробное Линейный Нелинейный По типу переменной Зависимые и независимые переменные Автономный Сложный Связанный / развязанный Точный Однородный  / неоднородный Функции Заказ Оператор Обозначение
Отношение к процессам Разница (дискретный аналог) Стохастик Стохастический частичный Задерживать
Решение
Существование и уникальность Теорема Пикара – Линделёфа Теорема существования Пеано Теорема существования Каратеодори Теорема Коши – Ковалевского
Общие темы Вронскиан Фазовый портрет Фазовое пространство Ляпунов  / Асимптотика  / Экспоненциальная устойчивость Скорость сходимости Серии  / Интегральные решения Численное интегрирование Дельта-функция Дирака
Методы решения Осмотр Метод характеристик Эйлер Формула экспоненциального отклика Конечная разность  ( Кривошип – Николсон ) Заключительный элемент Бесконечный элемент Конечный объем Галеркин Петров – Галеркин Интегрирующий фактор Интегральные преобразования Теория возмущений Рунге-Кутта Разделение переменных Неопределенные коэффициенты Вариация параметров
Люди Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Леонард Эйлер Эмиль Пикар Юзеф Мария Хене-Вроньски Эрнст Линделёф Рудольф Липшиц Огюстен-Луи Коши Джон Крэнк Филлис Николсон Карл Давид Толме Рунге Мартин Кутта
v т е

В математике , дифференциальные уравнения задержки ( DDEs ) представляют собой тип дифференциального уравнения , в котором производная от неизвестной функции в определенный момент времени дается в терминах значений функции в предыдущий раз. DDE также называют системами с запаздыванием , системами с последействием или мертвым временем, наследственными системами, уравнениями с отклоняющимся аргументом или дифференциально-разностными уравнениями. Они принадлежат к классу систем с функциональным состоянием , то есть уравнений в частных производных (PDE), которые являются бесконечномерными, в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений.(ОДУ), имеющие конечномерный вектор состояния. Четыре момента могут дать возможное объяснение популярности DDE: ^[1]

1. Последействие - это прикладная проблема: хорошо известно, что, наряду с растущими ожиданиями динамических характеристик, инженерам необходимо, чтобы их модели вели себя как реальный процесс. Многие процессы включают в свою внутреннюю динамику явления последействия. Кроме того, исполнительные механизмы , датчики и сети связи , которые теперь участвуют в контурах управления с обратной связью, вносят такие задержки. Наконец, помимо фактических задержек, для упрощения моделей очень высокого порядка часто используются временные запаздывания. Затем интерес к DDE продолжает расти во всех областях науки и особенно в области техники управления.
2. Системы с задержкой по-прежнему устойчивы ко многим классическим контроллерам: можно было подумать, что простейший подход состоит в замене их какими-то конечномерными приближениями. К сожалению, игнорирование эффектов, которые адекватно представлены DDE, не является общей альтернативой: в лучшем случае (постоянные и известные задержки) это приводит к такой же степени сложности в конструкции управления. В худших случаях (например, с изменяющимися во времени задержками) это может иметь катастрофические последствия с точки зрения стабильности и колебаний.
3. Добровольное введение отсрочек может принести пользу системе контроля . ^[2]
4. Несмотря на свою сложность, DDE часто появляются как простые бесконечномерные модели в очень сложной области дифференциальных уравнений в частных производных (PDE).

Общая форма дифференциального уравнения с запаздыванием для :${\ Displaystyle х (т) \ в \ mathbb {R} ^ {п}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = f (t, x (t), x_ {t}),}$

где представляет собой траекторию решения в прошлом. В этом уравнении - функциональный оператор от до${\ Displaystyle х_ {т} = \ {х (\ тау): \ тау \ leq т \}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {n} \ times C ^ {1} (\ mathbb {R}, \ mathbb {R} ^ {n})}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}. \,}$

Примеры [ править ]

• Непрерывная задержка

${\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = f \ left (t, x (t), \ int _ {- \ infty} ^ { 0} х (t + \ tau) \, {\ rm {d}} \ mu (\ tau) \ right)}$

• Дискретная задержка

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=f(t,x(t),x(t-\tau _{1}),\dotsc ,x(t-\tau _{m}))}$для .${\displaystyle \tau _{1}>\dotsb >\tau _{m}\geq 0}$

• Линейный с дискретными задержками

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\dotsb +A_{m}x(t-\tau _{m})}$

где .${\displaystyle A_{0},\dotsc ,A_{m}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$

• Уравнение пантографа

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=ax(t)+bx(\lambda t),}$

где a , b и λ - константы и 0 <λ <1. Это уравнение и некоторые более общие формы названы в честь пантографов на поездах. ^{[3] [4]}

Решение DDE [ править ]

DDE в основном решаются поэтапно с помощью принципа, называемого методом шагов. Например, рассмотрим DDE с одной задержкой

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=f(x(t),x(t-\tau ))}$

с заданным начальным условием . Тогда решение на интервале задается как решение неоднородной начальной задачи${\displaystyle \phi \colon [-\tau ,0]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle [0,\tau ]}$${\displaystyle \psi (t)}$

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\psi (t)=f(\psi (t),\phi (t-\tau ))}$,

с . Это может быть продолжено для последовательных интервалов, используя решение для предыдущего интервала как неоднородный член. На практике проблема начального значения часто решается численно.${\displaystyle \psi (0)=\phi (0)}$

Пример [ править ]

Допустим и . Тогда проблема начального значения может быть решена интегрированием,${\displaystyle f(x(t),x(t-\tau ))=ax(t-\tau )}$${\displaystyle \phi (t)=1}$

${\displaystyle x(t)=x(0)+\int _{s=0}^{t}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(s)\,{\rm {d}}s=1+a\int _{s=0}^{t}\phi (s-\tau )\,{\rm {d}}s,}$

т.е., где начальное условие задается формулой . Точно так же для интервала мы интегрируем и подбираем начальное условие,${\displaystyle x(t)=at+1}$${\displaystyle x(0)=\phi (0)=1}$${\displaystyle t\in [\tau ,2\tau ]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)=x(\tau )&{}+\int _{s=\tau }^{t}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(s)\,{\rm {d}}s=(a\tau +1)\\&{}+a\int _{s=\tau }^{t}a(s-\tau )+1\,{\rm {d}}s=(a\tau +1)+a\int _{s=0}^{t-\tau }as+1\,{\rm {d}}s,\end{aligned}}}$

т.е. ${\displaystyle x(t)=(a\tau +1)+a(t-\tau )\left({\frac {a(t-\tau )}{2}}+1\right).}$

Сведение к ODE [ править ]

В некоторых случаях дифференциальные уравнения могут быть представлены в формате, напоминающем дифференциальные уравнения с запаздыванием .

• Пример 1 Рассмотрим уравнение

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )e^{\lambda \tau }\,{\rm {d}}\tau \right).}$

Представьте, чтобы получить систему ODE${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )e^{\lambda \tau }\,{\rm {d}}\tau }$

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=f(t,x,y),\quad {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}y(t)=x-\lambda y.}$

• Пример 2 Уравнение

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\cos(\alpha \tau +\beta )\,{\rm {d}}\tau \right)}$

эквивалентно

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=f(t,x,y),\quad {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}y(t)=\cos(\beta )x+\alpha z,\quad {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}z(t)=\sin(\beta )x-\alpha y,}$

куда

${\displaystyle y=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\cos(\alpha \tau +\beta )\,{\rm {d}}\tau ,\quad z=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\sin(\alpha \tau +\beta )\,{\rm {d}}\tau .}$

Характеристическое уравнение [ править ]

Подобно ODE , многие свойства линейных DDE можно охарактеризовать и проанализировать с помощью характеристического уравнения . ^[5] Характеристическое уравнение, связанное с линейным DDE с дискретными задержками.

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\dotsb +A_{m}x(t-\tau _{m})}$

является

${\displaystyle {\rm {det}}(-\lambda I+A_{0}+A_{1}e^{-\tau _{1}\lambda }+\dotsb +A_{m}e^{-\tau _{m}\lambda })=0}$.

Корни λ характеристического уравнения называются характеристическими корнями или собственными значениями, а множество решений часто называют спектром . Из-за экспоненты в характеристическом уравнении DDE имеет, в отличие от случая ODE, бесконечное количество собственных значений, что делает спектральный анализ более сложным. Однако у спектра есть некоторые свойства, которые можно использовать при анализе. Например, даже несмотря на то, что существует бесконечное количество собственных значений, существует только конечное количество собственных значений справа от любой вертикальной линии в комплексной плоскости. ^{[ необходима цитата ]}

Это характеристическое уравнение представляет собой нелинейную задачу о собственных значениях, и существует множество методов для численного вычисления спектра. ^[6] В некоторых особых случаях можно явно решить характеристическое уравнение. Рассмотрим, например, следующий DDE:

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=-x(t-1).}$

Характеристическое уравнение:

${\displaystyle -\lambda -e^{-\lambda }=0.\,}$

Для комплексного λ существует бесконечное число решений этого уравнения. Они даны

${\displaystyle \lambda =W_{k}(-1)}$,

где W _к является к - й ветви функции Ламберта W .

Приложения [ править ]

• Динамика диабета ^[7]
• Эпидемиология ^{[8] [9]}
• Динамика населения ^[10]

См. Также [ править ]

• Функционально-дифференциальное уравнение

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Беллен, Альфредо; Дзеннаро, Марино (2003). Численные методы решения дифференциальных уравнений с запаздыванием . Вычислительная математика и научные вычисления. Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0198506546.
• Беллман, Ричард; Кук, Кеннет Л. (1963). Дифференциально-разностные уравнения (PDF) . Математика в науке и технике. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 978-0120848508.
• Бриат, Корентин (2015). Линейные системы с изменяющимися параметрами и с задержкой: анализ, наблюдение, фильтрация и управление . Успехи в задержках и динамике. Гейдельберг, Германия: Springer-Verlag. ISBN 978-3662440490.
• Драйвер, Родни Д. (1977). Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с запаздыванием . Прикладные математические науки. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0387902319.
• Эрнё, Томас (2009). Прикладные дифференциальные уравнения с запаздыванием . Обзоры и учебные пособия по прикладным математическим наукам. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. ISBN 978-0387743714.

Внешние ссылки [ править ]

• Скип Томпсон (ред.). «Дифференциальные уравнения с запаздыванием» . Scholarpedia .