Комплекс дифференциальное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение , решения которого являются функциями комплексной переменной .
Построение интегралов включает выбор пути, а это означает, что необходимо изучить особенности и точки ветвления уравнения. Аналитическое продолжение используется для генерации новых решений, а это означает, что необходимо учитывать такие топологические соображения, как монодромия , покрытия и связность .
В теоремах существования и единственности используются мажоранты и миноранты .
Изучение рациональных ОДУ второго порядка в комплексной плоскости привело к открытию новых трансцендентных специальных функций , которые теперь известны как трансценденты Пенлеве .
Теорию Неванлинны можно использовать для изучения сложных дифференциальных уравнений. Это приводит к расширению теоремы Мальмквиста . [1]
Обобщения [ править ]
Обобщения включают уравнения в частных производных с несколькими комплексными переменными или дифференциальные уравнения на комплексных многообразиях . [2] Также существует по крайней мере несколько способов изучения сложных разностных уравнений : либо изучение голоморфных функций [3], которые удовлетворяют функциональным соотношениям, задаваемым разностным уравнением, либо изучение дискретных аналогов [4] голоморфности, таких как монодиффрические функции . Также интегральные уравнения можно изучать в комплексной области. [5]
История [ править ]
Некоторые из первых участников теории сложных дифференциальных уравнений включают:
- Пьер Бутру
- Поль Пенлеве
- Лазарь Фукс
- Анри Пуанкаре
- Дэвид Гильберт
- Джордж Дэвид Биркофф
- Косаку Ёсида
- Ганс Виттих
- Чарльз Брио
- Жан-Клод Букет
- Йоханнес Мальмквист
См. Также [ править ]
- Метод Фробениуса
- Уравнение Гойна
- Гипергеометрическое дифференциальное уравнение
- Дифференциальное уравнение Римана
- Проблема Римана – Гильберта
- Соответствие Римана – Гильберта
- Производная Шварца
- Уравнения Книжника – Замолодчикова
Ссылки [ править ]
- ↑ Ерёменко, А. (1982). «Мероморфные решения алгебраических дифференциальных уравнений» (PDF) . Российские математические обзоры . 37 (4): 61–94. CiteSeerX 10.1.1.139.8499 . DOI : 10.1070 / RM1982v037n04ABEH003967 .
- ^ Со-Чин Чен; Мей-Чи Шоу (2002). Уравнения в частных производных с несколькими комплексными переменными . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2961-5.
- ^ Комплекс разностных уравнения Мальмквист типа Архивированных 2005-08-25 на Wayback Machine
- ^ Введение в сложные функции на произведении двух шкал времени
- ^ Аналитические решения интегральных уравнений в комплексной области
Дальнейшее чтение [ править ]
- Эйнар Хилле (1976). Обыкновенные дифференциальные уравнения в комплексной области . Вайли. ISBN 978-0-471-39964-3., перепечатано Dover, 1997.
- Э. Инс (1926). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Дувр., перепечатано Dover, 2003.
- Громак, Лайне, Шимомура (2002). Дифференциальные уравнения Пенлеве на комплексной плоскости . де Грюйтер. ISBN 978-3-11-017379-6.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- Илпо Лайне (1992). Теория Неванлинны и комплексные дифференциальные уравнения . де Грюйтер. ISBN 978-3-11-013422-3.
- Нильс Эрик Норлунд (1924). Vorlesungen uber Differenzenrechnung . Springer., перепечатано Челси 1954 г.
