Верхняя и нижняя границы
В математике, особенно в теории порядка , верхняя граница или мажоранта [1] подмножества S некоторого предупорядоченного множества ( K , ≤) — это элемент K , который больше или равен каждому элементу S. [2] [3] Двойственным образом нижняя граница или миноранта S определяется как элемент K , который меньше или равен каждому элементу S . Множество, имеющее верхнюю (соответственно нижнюю) границу, называется ограниченный сверху или мажорированный [1] (соответственно ограниченный снизу или миноризованный ) этой границей. Термины ограниченные сверху ( ограниченные снизу ) также используются в математической литературе для множеств, имеющих верхние (соответственно нижние) границы. [4]
Например, 5 — это нижняя граница для множества S = {5, 8, 42, 34, 13934} (как подмножества целых чисел или действительных чисел и т. д .), а также 4 . С другой стороны, 6 не является нижней границей для S , поскольку оно не меньше любого элемента в S.
Набор S = {42} имеет 42 как верхнюю, так и нижнюю границу; все остальные числа являются либо верхней границей, либо нижней границей для этого S .
Каждое подмножество натуральных чисел имеет нижнюю границу, поскольку натуральные числа имеют наименьший элемент (0 или 1, в зависимости от соглашения). Бесконечное подмножество натуральных чисел не может быть ограничено сверху. Бесконечное подмножество целых чисел может быть ограничено снизу или ограничено сверху, но не одновременно. Бесконечное подмножество рациональных чисел может быть ограничено или не ограничено снизу, а может быть ограничено или не ограничено сверху.
Учитывая функцию f с областью определения D и предварительно упорядоченным набором ( K , ≤) в качестве области значений , элемент y из K является верхней границей f , если y ≥ f ( x ) для каждого x в D . Верхняя граница называется точной , если равенство выполняется хотя бы для одного значения x . Это указывает на то, что ограничение является оптимальным и, следовательно, не может быть дополнительно уменьшено без аннулирования неравенства.
Точно так же функция g , определенная в области D и имеющая ту же область значений ( K , ≤) , является верхней границей f , если g ( x ) ≥ f ( x ) для каждого x в D . Далее говорят, что функция g является верхней границей набора функций, если она является верхней границей каждой функции в этом наборе.
